Vậy hệ có nghiệm duy nhất hay đa thức nội suy tồn tại và duy nhất | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 9/2020 ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm
x , y = f (x ) , x  x i
  j, x [a,b] i i i =0, i j i i n
- Đa thức bậc không quá n, P x n ( ) đi qua bộ
điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các mốc nội suy
xii=0,n - Khi đó
f ( x)  P x n ( ) ĐA THỨC NỘI SUY • Định lý:
Với bộ điểm x , y x  x i   j i i  , , cho =0, i j i n
trước, đa thức nội suy tồn tại và duy nhất ĐA THỨC NỘI SUY P ( x) 2 n
= a + a x + a x + + a x n 0 1 2 n 2 n
a + a x + a x + a x = y o 1 0 2 0 n 0 0 
a + a x + a x + a x = y P x = y i  = n   n ( i ) 2 n o 1 1 2 1 n 1 1 0, i   2 n
a + a x + a x + a x = y  o 1 n 2 n n n n ĐA THỨC NỘI SUY • Định thức 1 n x x 0 0 1 n x x 1
1 =  (x − x  i j ) 0. i j 1 n x x n n
• Vậy hệ có nghiệm duy nhất hay đa thức nội suy tồn tại và duy nhất
SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY • Đặt
F (t ) = R t − kw t n ( ) n 1 + ( ) • Chọn k sao cho
F ( x) := f ( x) − P ( x) − kw x = 0 n n 1 + ( )
• F(t) có ít nhất n+2 nghiệm phân biệt nên F’(x) có ít
nhất n+1 nghiệm phân biệt, …..
SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY (n 1 + ) 
 [a,b], F ( ) = 0 (n+ )1 f ( )  k = (n+ )1! (n+ )1 f   R x = x n ( ) ( ) ( + n + ) w(n ) 1 ( ) 1 ! Ví dụ
• Xấp xỉ hàm f (x) 1 = 2 25x + 1 • Với 5 mốc nội suy Ví dụ
• Với 10 và 17 mốc nội suy Tối ưu hóa mốc nội suy
• Bài toán: Chọn mốc nội suy sao cho sai số xấp
xỉ hàm đạt được nhỏ nhất
f − P = sup R x n n ( ) a,b R ( x) M n 1 +  ( + n + ) w x n 1 ( ) 1 !
f − P → min  w x → min n n 1 + ( ) Tối ưu mốc nội suy
• Xét khoảng nội suy [-1,1]
• Xét họ các hàm đa thức Chebysev: T x = n x n ( ) cos( .arccos ) T x = 2xT x − T x n 1 + ( ) n ( ) n 1−( )
T x = 1, T x = x 0 ( ) 1 ( ) − T ( x) 2 = 2x −1, T x = x + n ( ) n 1 2 n 2 Tối ưu mốc nội suy
• Định lý: trong các đa thức bậc n có hệ số cả 1 bằng 1, đa thức T x − n ( ) là đa thức có độ n 1 2
lệch so với 0 nhỏ nhất, tức là − p ( x) n n 1 = x + a x + + a n 1 − 0 T x max p ( x) n ( )  max −  −  n 1 − 1,1 1,1 2 Tối ưu mốc nội suy
• Chọn mốc nội suy là n+1 các nghiệm của T x n ( ) i x = cos , i = 0, . n i n
• Trường hợp khoảng nội suy đặt a,b ẩn:
2x − (b + a) t = b − a