Xác suất và các công thức tính – Bộ môn Xác suất thống kê | Trường đại học sư phạm kỹ thuật TP. Hồ Chí Minh

Chương 2: Xác suất và các công thức tính
A/ Mối quan hệ giữa các biến cố: Xung khắc; Đối nhau; Kéo theo; Tương đương; Độc lập.
B/ Phép toán giữa các biến cố: Nhân, Cộng.
Bài 1: Cho A, B là 2 biến cố của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Ký hiệu A’ ; B’ là
biến cố đối của A; B. Mệnh đề sau là đúng hay sai: 1/ A và A’ xung khắc
2/ A, B xung khắc khi và chỉ khi biến cố AB là rỗng.
3/ A, B xung khắc khi và chỉ khi P(AB)=0.
4/ A, B xung khắc thì P(AB) khác 0.
Bài 2: Mệnh đề nào dưới đây là sai:
a/ Nếu hai biến cố đối nhau thì xung khắc.
b/ Hệ có các biến cố xung khắc từng đôi một là hệ đầy đủ.
c/ Nếu A, B độc lập thì: P(A.B)=P(A)P(B)
d/ Nếu A, B xung khắc thì P(A+B)=P(A)+P(B)
Bài 3: A, B là biến cố khác rỗng của một thí nghiệm ngẫu nhiên. Ký hiệu: A’; B’
lần lượt là biến cố đối của biến cố A; B. Mệnh đề nào sau đây đúng?
a/ A, B là 2 biến cố đối của nhau thì A’ và B’ cũng là 2 biến cố đối nhau.
b/ A, B xung khắc thì A’ và B’ cũng xung khắc.
c/ A, B là 2 biến cố đối của nhau thì A, B độc lập. d/ cả a/ b/ c/ đều sai.
Bài 4: Lấy ngẫu nhiên lần lượt không hoàn lại từ một kiện hàng có sản phẩm tốt và
phế phẩm cho đến khi được 3 sản phẩm. Gọi Ai là biến cố có i sản phẩm tốt với
i=1,2,3. Mệnh đề nào sau đây là đúng.
a/ A1 ; A2 ; A3 là các biến cố độc lập.
b/ A1 ; A2 ; A3 là các biến cố xung khắc.
c/ Hệ các biến cố A1 ; A2 ; A3 là một hệ biến cố đầy đủ.
d/ Tất cả các mệnh đề a/ b/ c/ đều sai.
Các công thức xác suất
công thức cộng xác suất
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵),
𝐴, 𝐵 xung khắc 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).
Công thức nhân xác suất
𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴/𝐵) ,
𝐴, 𝐵 độc lập 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).
Công thức xác suất điều kiện 𝑃(𝐴 𝐵 ⁄ ) = 𝑃(𝐴𝐵), 𝑃(𝐵)
Công thức xác suất đầy đủ
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐸/𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐸/𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐸/𝐶)
Công thức Bayes 𝑃(𝐴 𝐸
⁄ ) = 𝑃(𝐴𝐸) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐸/𝐴). 𝑃(𝐸) 𝑃(𝐸)
Bài tập công thức xác suất .
Bài 1: Biết 𝑃(𝐴) = 0,5; 𝑃(𝐵) = 0,4 và 𝑃(𝐴𝐵) = 0,2.
1/Tính xác suất ít nhất một trong hai biến cố 𝐴, 𝐵 xảy ra.
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) = 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7
2/ Tính xác suất hai biến cố 𝐴, 𝐵 không xảy ra.
𝑃(𝐴’𝐵’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 0,3
3/ Tính xác suất chỉ có cố 𝐴 xảy ra.
𝑃(𝐴. 𝐵’) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴𝐵) = 0,5 − 0,2 = 0,3.
Vì A.B’+AB=A và AB’ xung khắc AB
4/ Thấy biến cố B xảy ra tính xác suất biến cố 𝐴 xảy ra. 0,2 𝑃(𝐴 𝑃(𝐴𝐵) 𝐵
⁄ ) = 𝑃(𝐵) = 0,4 = 0,5
Bài 2: Tính Biết 𝑃(𝐴) = 0,3; 𝑃(𝐵) = 0,25; 𝑃(𝐶) = 0,4 và
𝑃(𝐴𝐵) = 0,1; 𝑃(𝐴𝐶) = 0,2; 𝑃(𝐵𝐶) = 0,15; 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 0,05
1/ Tính xác suất không có biến cố nào trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶 xảy ra
𝑃(𝐴’𝐵’𝐶’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
= 1 − (0,3 + 0,25 + 0,4 − 0,1 − 0,2 − 0,15 + 0,05) = 1 − 0,55 = 0,45
2/ Tính xác suất 2 biến cố A và B không xảy ra
𝑃(𝐴’𝐵’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 1 − (0,3 + 0,25 − 0,1) = 0,55
3/ Tính xác suất có chỉ có biến cố C xảy ra trong 3 biến cố 𝐴, 𝐵, 𝐶
𝑃(𝐴’𝐵’𝐶) = 𝑃(𝐴’𝐵’) − 𝑃(𝐴’𝐵’𝐶’) = 0,55 − 0,45 = 0,1
4/ Tính xác suất có ít nhất một biến cố A hoặc B xảy ra biết biến cố C xảy ra 𝑃 ((𝐴 + 𝐵)⁄
𝑃((𝐴 + 𝐵)𝐶) 𝑃(𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) 𝐶) = 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐶) = 0,75
𝑃(𝐴𝐶 + 𝐵𝐶) = 𝑃(𝐴𝐶) + 𝑃(𝐵𝐶) − 𝑃(𝐴𝐵𝐶) = 0,2 + 0,15 − 0,05 = 0,3
Chứng minh công thức A, B độc lập thì A’ và B’ cũng độc lập
𝑃(𝐴’𝐵’) = 1 − 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴𝐵)
= 𝑃(𝐴’) + 𝑃(𝐵’) − 1 + 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)
= 𝑃(𝐴’) + 𝑃(𝐵’) − 1 + (1 − 𝑃(𝐴’))(1 − 𝑃(𝐵’)) = 𝑃(𝐴’)𝑃(𝐵’)
Bài tập áp dụng
Bài 1 Công ty M đầu tư vào 2 dự án A, B một cách độc lập, với xác suất dự án A,
B mang lại lợi nhuận lần lượt là 0,7 và 0,8. Biết chỉ có một dự án mang lại lợi
nhuận, tính xác suất đó là dự án A. Giải
Gọi A, B là biến cố công ty có lợi nhuận khi đầu tư vào dự án A, B.
A, B độc lập P(A)=0,7; P(B)=0,8; P(AB)=P(A)P(B)=0,56
Gọi D là biến cố chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận
D=AB’+A’B; P(D)=P(AB’)+P(A’B)=0,14+0,24=0,38
AD=A(AB’+A’B)=AB’; P(AB’)=P(A)P(B’)=0,14
Biết chỉ có một dự án mang lại lợi nhuận, xác suất đó là dự án A là
𝑃(𝐴𝐷) 𝑃(𝐴𝐵′) 0,14
𝑃(𝐴/𝐷) = 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐷) =0,38
Bài 2 Một chi tiết được gia công qua 3 công đoạn liên tiếp với khả năng gây ra khuyết tật
cho chi tiết ở mỗi công đoạn là độc lập và lần lượt là 0,1; 0,05 và 0,04.
1/ Tính xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi.
2/ Tính xác suất chỉ có công đoạn 1 có lỗi .
3/ Thấy rằng sau khi gia công chi tiết có lỗi, tính xác suất chỉ bị lỗi ở công đoạn 1 Giải:
Gọi Ai là biến cố chi tiết bị lỗi khi gia công công đoạn thứ i với i=1,2,3.
P(A1)=0,1; P(A2)=0,05; P(A3)=0,04.
1/ xác suất sau khi gia công chi tiết có lỗi
P(A1+A2+A3)=1-P(A’1) P(A’2) P(A’3)=
2/ xác suất chỉ có công đoạn 1 có lỗi
P(A1A’2A’3)=1-P(A1) P(A’2) P(A’3)=
3/ Thấy rằng sau khi gia công chi tiết có lỗi, tính xác suất chỉ bị lỗi ở công đoạn 1 𝑃(𝐴 𝑃 (𝐴1𝐴′2𝐴′3 1𝐴′2𝐴′3) ( ⁄ 𝐴 ) = 1 + 𝐴2 + 𝐴3) 𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3)
Bài 3 Ba người cùng bắn vào một tiêu với xác suất bắn trúng lần lượt là 0,4; 0,55 và 0,65.
Tính xác suất người thứ 2 bắn trúng biết có ít nhất một người bắn trúng mục tiêu.
Bài 4 Qua kinh nghiệm, một người quản lý cửa hàng bán đồ thể thao biết rằng xác
suất một đôi giày có cả 2 chiếc bị hỏng là 0,04. Tính xác suất một đôi giày có một chiếc bị hỏng.
Gợi ý : Hai chiếc giày mỗi chiếc bị hỏng là độc lập nhau, xác suất xảy ra cũng như nhau
(vì ko có giả thuyết khả năng bị mỗi chiếc là khác nhau :D).
Từ đó tính xác suất bị hỏng của một chiếc giày.
Bài 5 Có 5 sinh viên trường Đại học M và 4 sinh viên trường Đại học P cùng nộp
hồ sơ tuyển dụng vào công ty X. Xác suất mỗi sinh viên trường M; P được tuyển
lần lượt là 0,6 và 0,5. Tính xác suất có đúng 2 sinh viên được chọn trong 9 sinh viên này.
Gợi ý: Giống ví dụ học sinh giỏi, khá, trung bình thi kì thi PTTH Quốc Gia.
Bài 6 Chia ngẫu nhiên 12 sản phẩm gồm 7 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B
thành 3 phần, mỗi phần có 4 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất một phần chỉ có đúng 1 loại sản phẩm. Giải:
Gọi A là biến cố trong 3 phần có phần chỉ có đúng sản phẩm A;
B là biến cố trong 3 phần có phần chỉ có đúng sản phẩm B;
A+B là có ít nhất một phần chỉ có đúng 1 loại sản phẩm . 𝐶4.𝐶4.𝐶4 4.𝐶4.𝐶4 4.𝐶4.𝐶 4 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 7 8 4 8 4 5 4
𝐶4 4 4 + 𝐶54 4 4 − 𝐶74 4 4 12.𝐶8 .𝐶4 𝐶12.𝐶8 .𝐶4 𝐶12.𝐶8.𝐶4
Bài 7 Có 3 kiện hàng. Kiện thứ nhất có 15 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện
thứ hai có 17 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Kiện thứ ba có 19 sản phẩm tốt và 2
xấu. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi kiện 1 sản phẩm. Tính xác suất lấy ít nhất 2 sản phẩm tốt.
Giải: TNNN là Lấy ngẫu nhiên từ mỗi kiện 1 sản phẩm
Không gian mẫu S có n(S)= 20.22.21=
Gọi A là biến cố lấy ít nhất 2 sản phẩm tốt
n(A)= 15.17.2 + 15.5.19 + 5.17.19 + 15.17.19=
Xác suất lấy ít nhất 2 sản phẩm tốt 𝑛(𝐴) 𝑃(𝐴) = 𝑛(𝑆) =
Bài 8 Khu vực A trong thời gian thiếu điện bị cắt điện theo quy luật: ngày lẻ xác
suất bị cắt điện là 0,2; ngày chẵn xác suất bị cắt điện khi ngày lẻ trước đó bị cắt điện
là 0,1 còn nếu ngày lẻ trước đó không bị cắt điện thì xác suất bị mất điện là 0,4. Hỏi
khả năng ngày chẵn bị mất điện là bao nhiêu?
Mất điện (0,2) Ngày chẵn mất điện (0,1) Ngày lẻ
Không mất điện (0,8) Ngày chẵn mất điện (0,4)
Gọi A là biến cố ngày lẻ mất điện, tức là A’ là biến cố ngày lẻ có điện.
Gọi B là biến cố ngày chẵn mất điện
𝑃(𝐴) = 0,2; 𝑃(𝐴’) = 0,8. 𝑃(𝐵/𝐴) = 0,1; 𝑃(𝐵/𝐴’) = 0,4
Xác suất ngày chẵn mất điện là
𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) + 𝑃(𝐴’)𝑃(𝐵/𝐴’) =
Bài 9 Trong một kho hàng có 40% sản phẩm công ty A; 35 % sản phẩm công ty B,
còn lại là sản phẩm công ty C. Tỷ lệ phế phẩm của công ty A là 1,5%; của công ty
B là 1,7% và của công ty C là 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho này. Tính
xác suất để được phế phẩm. (Tính tỷ lệ phế phẩm của kho hàng).
Sản phẩm công ty A (40%) Tỷ lệ phế phẩm 1,5%
Kho hàng Sản phẩm công ty B (35%) Tỷ lệ phế phẩm 1,7%
Sản phẩm công ty C (25%) Tỷ lệ phế phẩm 2%
Gọi A, B, C là biến cố sản phẩm lấy ra của công ty A, B, C
Gọi E là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm
𝑃(𝐴) = 0,4; 𝑃(𝐵) = 0,3 ; 5 𝑃(𝐶) = 0,25
𝑃(𝐸/𝐴) = 0,015; 𝑃(𝐸/𝐵) = 0,0 ; 1 𝑃(𝐸/𝐶) = 0,02
Xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm (tỷ lệ phế phẩm của kho hàng)
𝑃(𝐸) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐸/𝐴) + 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐸/𝐵) + 𝑃(𝐶). 𝑃(𝐸/𝐶)
Bài tập thêm:
Bài 1: Công ty M đầu tư vào 3 dự án A, B, C độc lập. Xác suất dự án A, B, C mang
lại lợi nhuận lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Khi hoàn thành có ít nhất 2 dự án mang lại
lợi nhuận, tính xác suất t
rong các dự án mang lại lợi nhuận có dự án A.
Bài 2: Khả năng mỗi khách mời A, B, C đến dự sự kiện E là như nhau và bằng 0,3.
Biết A xung khắc với B, C nên khả năng A và B hay A và C cùng tới là bằng 0. Khả
năng B và C cùng tới là 0,2. Biết có ít nhất 1 người trong 3 khách A, B, C tới dự.
Tính xác suất đó là khách mời A.
Bài 3: Trong lớp có 40 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ. Gọi ngẫu nhiên lần lượt
từng sinh viên cho đến khi được 2 sinh viên nam thì dừng. Tính xác suất sinh viên
gọi ra thứ hai là nam biết rằng gọi tới sinh viên thứ 5 thì dừng.
B1 Xác định TNNN: Gọi ngẫu nhiên lần lượt từng sinh viên
B2 Gọi tên biến cố xuất hiện:
Gọi Ai là biến cố sinh viên gọi ra thứ i là sinh viên nam, i= 1, 2, …,5
Gọi B là biến cố gọi được sinh viên thứ 5 thì dừng
𝐵 = 𝐴1𝐴′2𝐴′3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴2𝐴′3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴′2𝐴3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴′2𝐴′3𝐴4𝐴5
𝐵𝐴2 = 𝐴2(𝐴1𝐴′2𝐴′3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴2𝐴′3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴′2𝐴3𝐴′4𝐴5 + 𝐴′1𝐴′2𝐴′3𝐴4𝐴5)
= 𝐴′1𝐴2𝐴′3𝐴′4𝐴5 𝑃(𝐵𝐴 ′ ′
2) = 𝑃(𝐴 1𝐴2𝐴′3𝐴 4𝐴5) = 𝑃(𝐴′ ′
1). 𝑃(𝐴2/𝐴 1). 𝑃(𝐴′3/𝐴′1𝐴2). 𝑃(𝐴′4/𝐴′1𝐴2𝐴′3). 𝑃(𝐴5 10 40 9 8 39 /𝐴′ ′
1𝐴2𝐴′3𝐴 4) = 50 . 49 .48 .47 .46 10 40 9 8 39
𝑃(𝐵) = 5.50.49. 48.47.46 10 1 𝑃 (𝐴2 𝑃(𝐵𝐴2) 50 . 40 49 . 9 48 . 8 47 . 39 46 𝐵 ⁄ ) = 𝑃(𝐵) = = 5. 10 5 50 . 40 49 . 9 48 . 8 47 . 39 46