Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy LAGRANGE | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG
ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE ĐA THỨC NỘI SUY - Cho bộ điểm
x , y = f (x ) , x  x i
  j, x [a,b] i i i =0, i j i i n
- Đa thức bậc không quá n, P x n ( ) đi qua bộ
điểm trên được gọi là đa thức nội suy với các
mốc nội suy xii=0,n - Khi đó
f ( x)  P x n ( ) ĐA THỨC NỘI SUY ĐỊNH LÝ:
Với bộ điểm x , y  , x  x i   j i i = i j cho i 0,n
trước, đa thức nội suy tồn tại và duy nhất. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE
• Đa thức Lagrange cơ bản x − x x − x x − x x − x x − x − + L x = i ( ) ( 0 ) ( 1 ) ( i 1 ) ( i 1 ) ( n ) ( . x − x x − x x − x x − x x − x i 0 ) ( i 1 )
( i i 1−)( i i 1+) ( i n)  i = j L x =  L  n i ( j ) 1 deg 0 i i  j
• Đa thức nội suy Lagrange P ( x) n =  y L x n i i ( ) i=0 Đánh giá sai số
f (x) = P x + R x n ( ) n ( ) M R x +  x n ( ) n 1 ( + n + ) wn 1( ) 1 ! n + w
x =  x − x M = f x n+ ( ) ( i) (n )1 , sup | | 1 n 1 + ( ) i=0 x [  a,b] VÍ DỤ Xét hàm số 3x y = x -1 0 1 y 1/3 1 3
1. Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange đi qua
các điểm trên? Tính giá trị gần đúng của hàm số tại điểm x = 0.1
2. Hãy đánh giá sai số tại x = 0.1 − L ( x) x ( x )1 1 2 1 = = x − x 0 ( 1 − − 0)( 1 − − ) 1 2 2 + −
L ( x) ( x ) 1 ( x ) 1 2 = = −x +1 1 (0 + ) 1 (0 − ) 1 + L ( x) (x ) 1 x 1 2 1 = = x + x 2 (1+ ) 1 (1− 0) 2 2 P ( x) 1
= L (x) + L (x) + L (x) 2 2 4 3 = x + x +1 0 1 2 3 3 3  1    10 1 f = 3  P =1.14     10  10  (3) x 3 f (x) = 3 (ln(3)) (3)
→ M = sup | f (x) | 3.9779069 3 x [  1 − ,1] M3 | R(x) |
| (x + 1)x(x −1) | 3! | → R(0.1) | 0.0656355 Ví dụ
• Xấp xỉ hàm f ( x) 1 = 2 25x + 1 • Với 5 mốc nội suy Ví dụ
• Với 10 và 17 mốc nội suy
Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức