Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy newton | Bài giảng môn Phương pháp tính và matlab CTTT | Đại học Bách khoa hà nội

XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG
ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON KHAI TRIỂN TAYLOR
f ( x) = a + a ( x − x ) + a ( x − x )2 + 0 1 0 2 0 f ( x = a 0 ) 0
f '( x = a 0 ) 1 ( f '' x f ' x = 2!a  a = 0 ) ( 0) 2 2 2! ( ) n n ( f x f x
= n!a  a = 0 ) ( 0) n n n! ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON
• Ý tưởng: Tìm đa thức nội suy theo cách
xây dựng khai triển Taylor của hàm số
f ( x) = a + a x − x + a x − x x − x + 0 1 ( 0 ) 2 ( 0 ) ( 1 )
f ( x = a  a = y 0 ) 0 0 0 −
f ( x ) = a + a ( x − x ) y y 1 0 = y  a =  f ' x 1 0 1 1 0 1 1 ( 0) x − x 1 0 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON • Tỷ hiệu  f x − f x f x , x := 0 1 ( 1) ( 0) x − x 1 0  f x , x − f x , x
f x , x , x := 0 1 2   1 2  0 1 x − x 2 0  f x ,..., x
− f x ,..., x −
f x , x ,..., x : k k = 0 1 k   1   0 1 x − x k 0 NỘI SUY NEWTON TIẾN
• Xây dựng đa thức nội suy Newton theo
quy nạp các mốc theo thứ tự tăng dần  f x − y f x, x  ( ) 0 = 0 x − x0
 f (x) = y + f x, x x − x 0  0( 0 )  f x, x − f x , x
f x, x , x = 0 1  0  0 1 x − x1
 f x, x = f x , x + f x, x , x x − x 0   0 1  0 1( 1 )
 f (x) = y + f x , x x − x + f x, x , x x − x x − x 0  0 1( 0 )  0 1( 0 ) ( 1 ) NỘI SUY NEWTON LÙI
• Xây dựng đa thức nội suy Newton theo
quy nạp các mốc theo thứ tự giảm dần  f x − y f x, x  ( ) n = n x − xn
 f (x) = y + f x x x − x n  , n( n ) 
f x, x − f x , x − f x, x , n n n x = n n 1 −     1 x − xn 1 −
 f x,x = f x x + f x x x x − x n   , , , n n 1 −   n n 1−( n 1 − )
 f (x) = y + f x x x − x + f x x x x − x x − x n  , , , n n 1 − ( n )  n n 1−( n )( n 1 − )
ĐTNS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
• Sai phân x = x + kh k 0 y  = y − y = y k k 1 + k k 1 + l −
 y =   y k ( l 1 k ) l −
 y =   y k ( l 1 k )  k k  y  y f x ,..., x = = k  0 k 0 k ! k h k ! k h
ĐTNS NEWTON MỐC CÁCH ĐỀU
P x = P x + th n ( ) n ( 0 ) 2 n y   y  y 0 0 = y + t + t (t − ) 0 1 + + t t −1 t − n +1 0 ( ) ( ) 1! 2! n! = P x + th n ( n ) 2 y  y  = y + t + t (t + ) n y n n 1 n + + t t + t + n − n ( )1 ( )1 1! 2! n! ĐÁNH GIÁ SAI SỐ
f (x) = P x + R x n ( ) n ( ) M R x +  x n ( ) n 1 ( + n + ) wn 1( ) 1 ! n + w
x =  x − x M = f x n+ ( ) ( i) (n )1 , sup | | 1 n 1 + ( ) i=0 x [  a,b]