Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
1. Định nghĩa về Delta trong toán học
+ Delta là một chữ cái trong bảng chữ Hy Lạp, được kí hiệu là Δ (đối với chữ hoa) và δ
(đối với chữ thường).
+ Trong toán học, đặc biệt là Toán 9, ký hiệu Δ chỉ một biệt thức trong phương trình bậc
hai mà dựa vào từng giá trị của delta ta có thể kết luận được số nghiệm của phương trình bậc hai.
 Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
 Nếu Δ = 0, phương trình có một nghiệm kép.
 Nếu Δ < 0, phương trình không có nghiệm thực.
+ Ngoài ra delta còn dùng để kí hiệu cho đường thẳng mà các bạn sẽ được học ở các lớp cao hơn.
Tóm lại, "Delta" trong toán học có thể đề cập đến ký hiệu chữ cái trong bảng chữ Hy
Lạp hoặc có ý nghĩa đặc biệt trong việc giải phương trình bậc hai và đại diện cho
đường thẳng trong các lớp toán cao hơn.
2. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0
Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.
3. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:
+ Tính: ∆ = b2 – 4ac (được gọi là biệt thức đelta)
 Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b +△2a; x2=−b −△2a
 Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: x1=x2=−b2a
 Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
+ Tính : ∆’ = b’2 - ac trong đó
b′=b2 (được gọi là biệt thức đelta phẩy)
 Nếu ∆' > 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′ +△′a; x2=−b −△′a
 Nếu ∆' = 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép: x1=x2=−b′a
 Nếu ∆' < 0 thì phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
4. Tại sao phải tìm ∆?
Ta xét phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
a(x2+bax)+c=0 (rút hệ số a làm nhân tử chung) ⇔
a[x2+2.b2ax+(b2a)2−(b2a)2]+c=0 (thêm
bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)
⇔ a(x+b2a)2 −b24a+c=0 (biến đổi hằng đẳng thức)
⇔a(x+b2a)2=b24a−c (chuyển vế)
⇔a(x+b2a)2=b2−4ac4a (quy đồng mẫu thức)
⇔4a2.(x+b2a)2=b2−4ac (1) (nhân chéo do a ≠ 0)
Vế phải của phương trình (1) chính là △ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình
bậc hai. Vì 4a2 > 0 với mọi a ≠ 0 và
(x+b2a)2≥0 nên vế trái luôn dương.
Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b2 – 4ac.
Biện luận nghiệm của biểu thức
+ Với b2 – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương
trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.
+ Với b2 – 4ac = 0, phương trình trên trở thành: 4a2(x+b2a)2=0⇔x=−b2a
Phương trình đã cho có nghiệm kép x1=x2=−b2a.
+ Với b2 – 4ac > 0, phương trình trên trở thành: 4a2(x+b2a)2=b2−4ac
⇔[2a(x+b2a)]2=b2−4ac⇔[2a(x+b2a)=b2−4ac2a(x+b2a)=−b2−4ac
⇔[x+b2a=b2−4ac2ax+b2a=−b2−4ac2a⇔[x=−b+b2−4ac2ax=−b−b2−4ac2a
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=−b+b2−4ac2a và x2=−b−b2−4ac2a
Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận
thấy rằng b2 – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc
hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b2 – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm
trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.
5. Bảng tổng quát nghiệm của phương trình bậc 2
Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Trường hợp Công thức
Công thức nghiệm thu gọn nghiệm nghiệm
(áp dụng khi hệ số b chẵn) Δ=b2−4ac Δ=b′2−ac với b′=b2 Phương trình Δ<0 Δ′<0 vô nghiệm Phương trình Δ=0. Phương trình có Δ′=0. Phương trình
có nghiệm kép nghiệm kép: có nghiệm kép: x1=x2=−b2a x1=x2=−b′a Phương trình Δ>0. Phương trình có Δ′>0. Phương trình
có hai nghiệm hai nghiệm phân biệt:
có hai nghiệm phân biệt: phân biệt x1=−b+Δ2a x1=−b′+Δ′a x2=−b−Δ2a x2=−b′−Δ′a
6. Các dạng bài tập sử dụng công thức delta, delta phẩy
6.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Giải các phương trình dưới đây: a, x2 – 5x + 4 = 0 b, 6x2 + x + 5 = 0 c, 16x2 – 40x + 25 = 0 d, x2 – 10x + 21 = 0 e, x2 – 2x – 8 = 0 f, 4x2 – 5x + 1 = 0 g, x2 + 3x + 16 = 0 h, 2x2 + 2x + 1 = 0
Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc
hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai. Lời giải: a, x2 – 5x + 4 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (– 5)2 – 4 . 1 . 4 = 25 – 16 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+Δ2a=5+32=4 x2=−b−Δ2a=5−32=1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4} b, 6x2 + x + 5 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 – 4 . 6 . 5 = 1 – 120 = – 119 < 0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c, 16x2 – 40x + 25 = 0
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (– 20)2 – 16 . 25 = 400 – 400 = 0
Phương trình đã cho có nghiệm kép: x1=x2=−b′a=2016=54
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S={54} d, x2 – 10x + 21 = 0
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (– 5)2 – 1 . 21 = 25 – 21 = 4 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b′+Δ′a=−5+21=−3 và
x2=−b′−Δ′a=−5−21=−7
Vậy phương trình có tập nghiệm S = {– 7; – 3}
e, x2 – 2x – 8 = 0
Ta có: ∆' = b'2 – ac = (– 1)2 – 1 . (– 8) = 1 + 8 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x1=−b′+Δ′a=1+31=4 và
x2=−b′−Δ′a=1−31=−2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4} f, 4x2 - 5x + 1 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = (-5)2 - 4 . 4 . 1 = 25 - 16 = 9 > 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1=1 và x2=14
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={14;1} g, x2 + 3x + 16 = 0
Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 32 – 4 . 1 . 16 = 9 – 64 = – 55 < 0
Vậy phương trình vô nghiệm. h, 2x2 + 2x + 1 = 0 Ta có:
Δ=b′2−4ac=12−4.2.1=1−8=−7<0
Phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Cho phương trình x2−6x+m2−4m=0 (1)
a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1
b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính
công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp
nghiệm của phương trình bậc hai. Lời giải:
a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:
12−6.1+m2−4m=0⇔m2−4m−5=0 (2) Xét phương trình (2)
Có 0'" width="321" height="25" data-i="50" style="margin: 0px; padding: 0px; border:
0px; font: inherit; max-width: 100%; height: 25px; pointer-events: none; position:
absolute; width: 321px;">Δ′=b′2−ac=(−2)2−1.(−5)=9>0
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt m1=5 và m2=−1
Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
b, Xét phương trình (1) có:
Δ′=b′2−ac=(−3)2−1.(m2−4m)=−m2+4m+9
Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ′=0 ⇔−m2+4m+9=0 (2)
Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có m=2±13 Vậy với
m=2±13 thì phương trình (1) có nghiệm kép
c, Xét phương trình (1) có:
Δ′=b′2−ac=(−3)2−1.(m2−4m)=−m2+4m+9
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ′>0 ⇔−m2+4m+9>0 ⇔2−13Vậy với 2−13phân biệt.
Bài 3: Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình: a)4x2+4x+1=0; b)13852x2−14x+1=0; Lời giải: a)4x2+4x+1=0 Ta có: a=4, b′=2, c=1 Suy ra Δ′=22−4.1=0
Do đó phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−24=−12. b)13852x2−14x+1=0 Ta có: a=13852, b′=−7, c=1 Suy ra
Δ′=(−7)2−13852.1=−13803<0
Do đó phương trình vô nghiệm.
Dạng 2: Biện luận nghiệm phương trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x2−2x+m=0 Lời giải: Ta có: Δ=(−2)2−4.1.m=4−4m + Với
Δ<0⇔4−4m<0⇔m<1, phương trình vô nghiệm. + Với
Δ=0⇔4−4m=0⇔m=1, phương trình có nghiệm kép: x1=x2=−b2a=22=1 + Với
Δ>0⇔4−4m>0⇔m>1, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1=−b+Δ2a=2+4−4m2;x2=−b−Δ2a=2−4−4m2
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 2x2−4x+m=0
a) Có hai nghiệm phân biệt b) Có nghiệm kép c) Vô nghiệm d) Có nghiệm Hướng dẫn giải Xét phương trình
2x2−4x+m=0 với các hệ số a = 2, b = – 4, c = m Ta có Δ′=22−2m=4−2m
a) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì Δ′>0
Suy ra 4 – 2 m > 0 hay m < 2
b) Để phương trình có nghiệm kép thì Δ′=0 Suy ra 4 – 2m = 0 hay m = 2
c) Để phương trình vô nghiệm thì Δ′<0
Suy ra 4 – 2 m < 0 hay m > 2
d) Để phương trình có nghiệm thì Δ′≥0
Suy ra 4 – 2m ≥ 0 hay m ≤ 2
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 a) Có nghiệm
b) Có 2 nghiệm phân biệt c) Có nghiệm kép d) Vô nghiệm Hướng dẫn giải
Xét phương trình mx2 + 6(m – 2)x + 4m – 7 = 0 với các hệ số a = m, b' = 3(m – 2), c = 4m – 7 Ta có:
Δ′=[3(m−2)]2−m.(4m−7)=9m2−36m+36−4m2+7m = 5m2 – 29m + 36
a) Để phương trình có nghiệm thì:
Xét m = 0. Phương trình trở thành:
0x2 + 6(0 – 2)x + 4 . 0 – 7 = 0 – 12x – 7 = 0 ⇒ x=−712 Xét m ≠ 0:
Δ′≥0⇔5m2−29m+36⇔[m≤95m≥4
b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì.
{Δ′>0⇔5m2−29m+36⇔[m<95m>4m≠0
c) Để phương trình có nghiệm kép thì
Δ′=0⇔5m2−29m+36⇔[m=95m=4
d) Để phương trình vô nghiệm thì
Δ′<0⇔5m2−29m+36⇔957. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + m +1 = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm
Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:
(a + 1)x2 – 2 (a + b)x + (b – 1) = 0
Bài 3: Giả sử phương trình bậc hai x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng
minh rằng a2 + b2 là một hợp số.
Bài 4: Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4 )x + 5m + 2 = 0 (m #½)
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.
Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.
Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.
Bài 5: Cho phương trình x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có
hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.
Bài 6: Cho phương trình bậc hai: 2x2 + (2m – 1)x +m – 1 =0
Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phan biệt x1, x2 thỏa mãn – 1 < x1 < x2 < 1
Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.
Bài 7: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x+ 6m +1
Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.
Đặt x = t + 2; tình f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Bài 8: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c thỏa mãn điều kiện|f(x)| ≤ 1 với mọi x ∈ {
– 1; 1}. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a2 + 3b2.
Bài 9: Cho phương trình (x2)2 – 13x2 + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
a. Có bốn nghiệm phân biệt.
b. Có ba nghiệm phân biệt.
c. Có hai nghiệm phân biệt. d. Có một nghiệm e. Vô nghiệm.