Chuyên đề dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Tài liệu gồm 28 trang, được biên soạn bởi tác giả Toán Học Sơ Đồ, tổng hợp kiến thức trọng tâm, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng bài tập tự luận & trắc nghiệm chuyên đề dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Hình học 9 chương 2 bài số 5.

71 36 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 2: Đường tròn

Môn: Toán 9

Thông tin:

28 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
DẤU HIỆU NHẬN BIỂT-TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đường thẳng âỳ là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2. Theo định nghĩa tiếp tuyến.
B.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm
C, ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Cách 1. Chứng minh C nằm trên (O) và OC vuông góc vói a tại C.
Cách 2. Kẻ OH vuông góc a tại H và chứng minh OH = OC = R.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến a' của (O) và chứng minh a a'.
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 crn. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng
minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 2. Cho đường thẳng d và A là điểm nằm trên d; B là điểm nằm ngoài d. Hãy dựng đường tròn
(O) đi qua điểm B và tiếp xúc với d tại A.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 4. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là
tiếp tuyên của (O).
Dạng 2. Tính độ dài
Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyên và sử dụng
các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các đoạn thẳng.
Bài 5. Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp
tuyến tại A của (O) ở điểm C.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây AB = 24 cm.
Tính độ dài đoạn thẳng OC.
Bài 6. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho
CAB 30 . Trên tia đối của tia
BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của (O);
b)
MC R 3
.
Bài 7. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc vói OA tại trung điểm M của
OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài BE theo R.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm,BC = 16 cm. Gọi D là điểm đôi
xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ớ E.
a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tính độ dài đoạn thẳng HE.
Dạng 3.Tổng hợp
Bài 9.Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến
tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:
a) Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O);
b) Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.
Bài 10.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt
tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt
OD tại F.
a) Chứng minh
COD 90
.
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 11.Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường
tròn (A; AH) với D, E là các tiếp diêm. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 12.Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm o đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi
C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao diện
tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài 13.Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm
trên (O) sao cho
CAB 30 và E là giao điểm của các tia AC, Bx.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CE vả BC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.
Bài 14.Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lâỳ điểm M thuộc (O) sao cho
MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C
vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc đường tròn.
b) Chứng minh BK là tia phân giác của góc MBN.
c) Chứng minh
KMC cân và KM là tiếp tuyến của (O).
d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi.
HƯỚNG DẪN
Bài 1. Ta có
222
0
BC AB AC
BAC 90 BA AC


Bài 2. Trung trực AB cắt đường thẳng
vuông góc với d ở A tại O. Đường tròn
(O;OA) là đường tròn cần dựng.
Bài 3.
a) Chứng minh được
0
BKA 90
b) Gọi O là trung điểm AI.
Ta có:
+ OK = OA
OKA OAK
+
OAK HBK (cïng phô ACB)
+ HB = HK
HBK HKB
+
0
OKA HKB HKO 90
.
Bài 4.
a) Gọi O là trung điểm của AH thì
OE = OA = OH = OD
b) Tương tự 2A
Bài 5.
a)
0
OAC OBC(c.g.c)
OBC OAB 90


ĐPCM
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
OBC tính được OC=25cm
Bài 6.
a) Vì OCB là tam giác đều nên BC=BO=BM=R
0
OCM 90
MC là tiếp tuyến (O;R)
b) Ta có
22 2
22
OM OC MC
MC 3R


Bài 7.
a) OA vuông góc với BC tại M
M là trung điểm của BC
OCAB là hình thoi
b) Tính được BE=R
3
Bài 8.
a) Gọi O là trung điểm CD.
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD và tam giác ODE đều
DE = DH = DO =
BC
4
0
HEO 90
HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
b) HE = 4
3
Bài 9.
a) Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O)
OA BC
OA AD (v× AD BC)


AD là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh được ON là tia phân giác
của
AOD mà
OAC
cân tại O nên ON cũng
là đường trung tuyến
ON cắt AC tại trung
điểm I của AC
ON,AC,BD cùng đi qua trung
điểm I của AC.
Bài 10.
a) Dễ thấy
00
AMB 90 ha
y
EMF 90
tiếp tuyến CM,CA
0
OC AM OEM 90
Tương tự
0
OFM 90
Chứng minh được
CAO CMO AOC MOC OC
là tia phân giác của
AMO
Tương tự OD là tia phân giác của
BOM
suy ra
0
OC OD COD 90
b) Do
AOM
cân tại O nên OE là đường phân
giác đồng thời là đường cao
0
OEM 90
chứng minh tương tự
0
OFM 90
.
Vậy MEOF là hình chữ nhật
c) Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn
đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình
thang vuông tại A và B nên
IO AC BD
và IO
vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính CD.
Bài 11.
a) Vì BH, BD là tiếp tuyến của (A;AH)
HAD 2HAB
Vì CH,CE là tiếp tuyến của (A;AH)
HAE 2HAC
0
HAD HAE 2(HAB HAC) 180
D,A,E thẳng hàng
b) Tương tự 8.
Bài 12. Ta có ABCD là hình thang vuông tại C và D
Mà O Là trung điểm AB và OM vuông góc với
CD( tiếp tuyến của (O)
AD+BC=2OM=2R. Chú ý rằng CD AB
( hình chiếu đường xiên)
ABCD
2
1
S(ADBC).CD
2
R.CD R.AB 2R


Do đó
ABCD
S
lớn nhất khi CD=AB hay M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB
Bài 13.
a) Tính được BC=5cm
53
AC 5 3cm, CE = cm
3
b) Tính được
10 3
BE cm
3
Bài 14.
a)
0
CKA CMA 90 C,K,A,M
thuộc đường tròn đường kính AC
b)
MBN
cân tại B có BA là đường cao, trung tuyến và phân giác .
c)
BCD cã BK CD vμ CN BN
nên A là trực tâm của
BCD
D,A,M thảng hàng
Ta có
DMC
vuông tại M có MK là trung tuyến nên
KMC
cân tại
0
KKCMKMC
l¹i cã KBC OM B nªn
KMC OMB KCB KBC 90


Vậy
0
KMO 90
mà OM là bán kính
nên KM là tiếp tuyến của (O)
d) MNKC là hình thoi
0
MN CK vμ CM=CK
KCM ®Òu
KBC 30 AM R



C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ.
Câu 1: Cho
(; )OR
. Đường thẳng
d
là tiếp tuyến của đường tròn
(; )OR
tại tiếp điểm
A
khi
A.
dOA^
tại
A
và
()AOÎ
. B.
dOA^
. C.
()AOÎ
. D.
//dOA
.
Câu 2: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và … thì đường thẳng ấy là một tiếp
tuyến của đường tròn”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là
A. Song song với bán kính khi qua điểm đó. B. Vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
C. Song song với bán kính đường tròn. D. Vuông góc với bán kính bất kì.
Câu 3: Cho
(;5 )Ocm
. Đường thẳng
d
là tiếp tuyến của đường tròn
(;5 )Ocm
, khi đó:
A. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
nhỏ hơn
5cm
.
B. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
lớn hơn
5cm
.
C. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
bằng
5cm
.
D. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
bằng
6cm
.
Câu 4: Cho
(;4 )Ocm
. Đường thẳng
d
là tiếp tuyến của đường tròn
(;4 )Ocm
, khi đó:
A. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
nhỏ hơn
4cm
.
B. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
bằng
4cm
.
C. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
lớn hơn
4cm
.
D. Khoảng cách từ
O
đến đường thẳng
d
bằng
5cm
.
Câu 5: Cho tam giác
MNP
có 5, 12, 13MN cm NP cm MP cm== =. Vẽ đường tròn
(; )MNM
.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
NP
là tiếp tuyến của
(; )MMN
. B.
MP
là tiếp tuyến của
(; )MMN
.
C.
MNPD
vuông tại
M
. D.
MNPD
vuông tại
P
.
Câu 6: Cho tam giác
ABC
có 3, 4, 5AC cm AB cm BC cm===. Vẽ đường tròn
(; )CCA
. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng
BC
cắt đường tròn
(; )CCA
tại một điểm.
B.
AB
là cát tuyến của đường tròn
(; )CCA
.
C.
AB
là tiếp tuyến của
(; )CCA
.
D.
BC
là tiếp tuyến của
(; )CCA
.
Câu 7: Cho tam giác
ABC
cân tại
A
; đường cao
AH
và
BK
cắt nhau tại
I
. Khi đó đường thẳng
nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AI
.
A.
HK
. B.
IB
. C.
IC
. D.
AC
.
Câu 8: Hình chữ nhật
ABCD
,
H
là hình chiếu của
A
lên
BD
. ,MN lần lượt là trung điểm của
,BH CD . Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn tâm
A
, bán kính
AM
.
A.
BN
. B.
MN
. C.
AB
. D.
CD
.
Câu 9: Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, đường cao
AH
. Đường tròn đường kính
BH
cắt
AB
tại
D
, đường tròn đường kính
CH
cắt
AC
tại
E
. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A.
DE
là cát tuyến của đường tròn đường kính
BH
.
B.
DE
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
BH
.
C. Tứ giác
AEHD
là hình chữ nhật.
D.
DE DI^
(với
I
là trung điểm
BH
).
Cho đường tròn
(; )OR
đường kính
AB
. Vẽ dây
AC
sao cho
30ABC =
. Trên tia đối của tia
AB
lấy điểm
M
sao cho
AM R=
.
Câu 10: Chọn khẳng định đúng?
A.
MC
là tiếp tuyến của
(; )OR
. B.
MC
là cát tuyến của
(; )OR
. C.
MC BC^
. D.
MC A C^
.
Câu 11: Tính độ dài
MC
theo
R
.
A.
2MC R=
. B.
3MC R=
. C. 3MC R= . D. 2MC R= .
Cho đường tròn
(;2 )Ocm
đường kính
AB
. Vẽ dây
AC
sao cho
60OBC =
. Trên tia
OB
lấy điểm
M
sao cho
2BM cm=
.
Câu 12: Chọn khẳng định đúng?
A.
MC
là tiếp tuyến của
()O
. B.
MC
là cát tuyến của
()O
. C.
MC BC^
. D.
45MCB =
.
Câu 13: Tính độ dài
MC
.
A.
22MC cm=
. B.
3MC cm=
. C.
23MC cm=
. D.
4MC cm=
.
Từ một điểm
A
ở bên ngoài đường tròn
(; )OR
, vẽ hai tiếp tuyến ,AB AC với
()O
. Đường thẳng
vuông góc với
OB
tại
O
cắt tia
AC
tại
N
. Đường thẳng vuông góc với
OC
cắt tia
AB
tại
M
.
Câu 14: Tứ giác
AMON
là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình thang. D. Hình chữ nhật.
Câu 15: Điểm
A
phải cách
O
một khoảng là bao nhiêu để cho
MN
là tiếp tuyến của
()O
?
A.
2OA R=
. B.
3
2
OA R=
. C.
3OA R=
. D.
4
3
OA R=
.
Cho đường tròn
()O
, dây
AB
khác đường kính. Qua
O
kẻ đường vuông góc với
AB
, cắt tiếp tuyến
tại
A
của đường tròn ở điểm
C
.
Câu 16: Chọn khẳng định đúng?
A.
BC
là cát tuyến của
()O
. B.
BC
là tiếp tuyến của
()O
.
C.
BC AB^
. D.
//BC AB
.
Câu 17: Cho bán kính của đường tròn bằng 15 ; 24cm AB cm= . Tính
OC
.
A.
35OC cm=
. B.
20OC cm=
. C.
25OC cm=
. D.
15OC cm=
.
Cho đường tròn
()O
, dây
MN
khác đường kính. Qua
O
kẻ đường vuông góc với
MN
, cắt tiếp
tuyến tại
M
của đường tròn ở điểm
P
.
Câu 18: Chọn khẳng định đúng?
A.
PN
là tiếp tuyến của
()O
tại
P
. B.
MOP POND=D
.
C.
PN
là tiếp tuyến của
()O
tại
N
. D.
80ONP =
.
Câu 19: Cho bán kính của đường tròn bằng 10 ; 12cm MN cm= . Tính
OP
.
A. 12,5OP cm= . B. 17, 5OP cm= . C.
25OP cm=
. D.
15OP cm=
.
Cho tam giác
ABC
có hai đường cao ,BD CE cắt nhau tại
H
.
Câu 20: Xác định tâm
F
của đường tròn đi qua bốn điểm ,,,ADH E.
A.
FBº
. B.
F
là trung điểm đoạn
AD
.
C.
F
là trung điểm đoạn
AH
. D.
F
là trung điểm đoạn
AE
.
Câu 21: Gọi
M
là trung điểm
BC
. Đường tròn
()F
ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là
tiếp tuyến.
A. ;ME MF . B.
ME
. C.
MF
. D.
EC
.
Cho nửa đường tròn đường kính
AB
.
C
là một điểm thuộc nửa đường tròn. Vẽ dây
BD
là phân
giác của góc
ABC
.
BD
cắt
AC
tại
E
.
AD
cắt
BC
tại
G
.
H
là điểm đối xứng với
E
qua
D
.
Câu 22: Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác
AHGE
là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật.
Câu 23: Chọn câu đúng:
A.
AH
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AB
.
B.
HG
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AB
.
C.
90ADB =
.
D. Cả A và C đều đúng.
Cho hình vẽ dưới đây: Biết
60BAC =
;
10AO cm=
. Chọn đáp án đúng:
Câu 25: Độ dài bán kính
OB
là:
A.
43
. B.
5
. C.
53
. D.
10 3
.
Câu 26: Độ dài tiếp tuyến
AB
là:
A.
43
. B.
5
. C.
53
. D.
10 3
.
C
O
B
A
Cho hình vẽ dưới đây. Biết
AB
và
AC
là hai tiếp tuyến của
(), 120, 8O BAC AO cm= =
. Chọn
đáp án đúng.
Câu 27: Độ dài bán kính
OB
là:
A.
43
. B.
5
. C.
4
. D.
83
.
Câu 28: Độ dài đoạn
AB
là:
A.
43
. B.
5
. C.
53
. D.
4
.
Câu 29: Cho nửa đường tròn
(; ),OR AB
là đường kính. Dây
BC
có độ dài R . Trên tia đối của tia
CB
lấy điểm
D
sao cho
3CD R=
. Chọn câu đúng.
A.
AD
là tiếp tuyến của đường tròn. B.
90ACB =
.
C.
AD
cắt đường tròn
(; )OR
tại hai điểm phân biệt. D. Cả A, B đều đúng.
Câu 30: Cho
xOy
, trên
Ox
lấy
P
, trên Oy lấy Q sao cho chu vi POQD bằng
2a
không đổi. Chọn
câu đúng.
A. PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
B. PQ không tiếp xúc với một đường tròn cố định nào.
C. PQ a= .
D. PQ OP= .
HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì
đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
A
O
C
B
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì
đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Đáp án cần chọn là B.
3. Lời giải:
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.
Đáp án cần chọn là C.
4. Lời giải:
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó.
Đáp án cần chọn là B.
5. Lời giải:
Xét tam giác
MNP
có
22 2 222
13 169; 5 12 169MP NM NP== + =+=
222
MP NM NP=+
MNPD
vuông tại
N
(định lý Pytago đảo)
MN NP^
mà
(; )NMMNÎ
nên
NP
là tiếp tuyến của
(; )MNM
.
Đáp án cần chọn là A.
6. Lời giải:
Xét tam giác
ABC
có
22 2 222 2 2 2
525; 4325BC AB AC BC AB AC== + =+= = +
ABCD
vuông tại
A
(định lý Pytago đảo)
AB AC^
mà
(; )ACCAÎ
nên
AB
là tiếp tuyến của
(; )CCA
.
Đáp án cần chọn là C.
M
N
P
C
A
B
7. Lời giải:
Gọi
O
là trung điểm
AI
. Xét tam giác vuông
AIK
có
;
2
AI
OK OI OA K O
æö
÷
ç
÷
== Î
ç
÷
ç
÷
ç
èø
(*)
Ta đi chứng minh
OK KH^
tại
K
.
Xét tam giác
OKA
cân tại
O
ta có:

OKA OKA=
(1)
Vì tam giác
ABC
cân tại
A
có đường cao
AH
nên
H
là trung điểm của
BC
. Xét tam giác vuông
BKC
có
2
BC
HK HB HC===
.
Suy ra tam giác
KHB
cân tại
H
nên
HKB HBK=
(2)
Mà
HBK KA H=
(cùng phụ với
ACB
) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra
HKB AKO=
mà
90 90 90AKO OK I HKB O KI OKH+= += =
hay
OK KH^
tại
K
(**)
Từ (*) và (**) thì
HK
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AI
.
Đáp án cần chọn là A.
8. Lời giải:
O
I
K
H
C
B
A
E
N
M
H
C
A
B
D
Lấy
E
là trung điểm của
AH
. Do
M
là trung điểm của
BH
(gt) nên
EM
là đường trung bình của
AHBD
//EM AB
và
1
2
EM AB=
.
Hình chữ nhật
ABCD
có
//CD AB
và
CD A B=
mà
N
là trung điểm của
DC
, suy ra:
//DN AB
và
1
2
DN AB=
.
Từ (1) và (2) ta có
//EM DN
và
EM DN=
.
Suy ra tứ giác
EMN D
là hình bình hành, do đó
//DI MN
.
Do
//EM AB
mà
AB AD^
(tính chất hình chữ nhật)
AH DM^
(gt) nên
E
là trực tâm của
ADMD
Suy ra
DE AM^
, mà
//DE MN
(cmt)
MN AM^
tại
M
.
Vì vậy
MN
là tiếp tuyến của đường tròn
(; )AAM
.
Đáp án cần chọn là B.
9. Lời giải:
Gọi ,IJ lần lượt là trung điểm của
BH
và
CH
.
Để chứng minh
DE
là tiếp tuyến của đường tròn tâm
I
đường kính
BH
ta chứng minh
ID DE^
hay
90ODI =
.
Vì ,DE lần lượt thuộc đường tròn đường kính
BH
và
HC
nên ta có:
90BDH CEH==
Suy ra tứ giác
ADHE
là hình chữ nhật.
Gọi
O
là giao điểm của
AH
và
DE
, khi đó ta có
OD OH OE OA===
.
Suy ra
ODHD
cân tại
OODHOHD=
Ta cũng có
IDHD
cân tại
IIDHIHD=
Từ đó
90ID H HDO IHD DH O ID O ID DE+ =+ =^
O
E
D
I
H
B
C
J
A
Ta có
,()ID DE D I^Î
nên
DE
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
BH
.
Từ chứng minh trên suy ra các phương án B, C, D đúng.
Đáp án cần chọn là A.
10. Lời giải:
Tam giác
OBC
cân tại
O
có
30ABC =
suy ra
60AOC =
(góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai
góc trong không kề với nó).
Nên tam giác
OCA
là tam giác đều suy ra
90AC AO AM R OCM MC== = =
là tiếp
tuyến của
(; )OR
.
Đáp án cần chọn là A.
11. Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OCM
, ta có
22 2
OM OC MC=+
2222
33MC OM OC R MC R=-==
.
Đáp án cần chọn là B.
12. Lời giải:
M
A
B
O
C
M
A
B
O
C
Tam giác
OBC
cân tại
O
có
60OBC =
Nên tam giác
OCB
là tam giác đều suy ra
2BC OB OC===
Xét tam giác
OCM
có 2
2
OM
BC OB BM== == nên
OCMD
vuông tại
C
OC CM MC^ là tiếp tuyến của
(;2 )Ocm
.
Đáp án cần chọn là A.
13. Lời giải:
Theo câu trước ta có
OCMD
vuông tại
C
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông
OCM
, ta có
22 2
OM OC MC=+
22222
42 12 23MC OM OC M C cm=-=-==
.
Đáp án cần chọn là C.
14. Lời giải:
M
O
B
C
M
O
B
C
Dễ có
AMON
là hình bình hành (Vì
// ; //ON AM OM AN
)
Ta chứng minh
OM ON=
Xét tam giác
OBM
và tam giác
OCN
có:
90OBM OCN==
;
OB OC R==
,
Và
OMB ONC A==
OBM OCND =D OM ON AMON=
là hình thoi.
Đáp án cần chọn là B.
15. Lời giải:
Tứ giác
AMON
là hình thoi nên
OA MN^
và
Mà độ dài
OA
bằng
2
lần khoảng cách từ
O
đến
MN
.
A
M
B
N
O
C
A
M
B
O
C
N
Do đó
MN
là tiếp tuyến đường tròn
(; )OR
khoảng cách từ
O
đến
MN
bằng
2ROA R=
.
Đáp án cần chọn là A.
16. Lời giải:
Ta có
OC AB OC^
đi qua trung điểm của
AB
.
OC
là đường cao đồng thời là trung tuyến của
ABCD
.
ABCD
cân tại
C
ACO BCO
AOC BOC
AC CB
ì
ï
=
ï
ï
D=D
í
ï
=
ï
ï
î
(c – g – c)
OB BC^
BC
là tiếp tuyến của
()O
Đáp án cần chọn là B.
17. Lời giải:
Gọi
I
là giao điểm của
OC
và
12
2
AB
AB AI BI cm== =
.
Xét tam giác vuông
OAI
có
22
9OI OA AI cm=-=
Xét tam giác vuông
AOC
có
22
2
15
.25
9
AO
AO OI OC OC cm
OI
====
.
Vậy
25OC cm=
.
Đáp án cần chọn là C.
18. Lời giải:
I
C
O
A
B
Gọi
I
là giao điểm của
MN
và
OP
Ta có
OP MN^
tại
II
là trung điểm của
MN
.
PI là đường cao đồng thời là trung tuyến của
MNPD
MNPD cân tại
P
MPO NPO
PMO PNO
PM PN
ì
ï
=
ï
ï
D=D
í
ï
=
ï
ï
î
(c – g – c)
90PMO PNO ON NP==^
PN
là tiếp tuyến của
()O
Đáp án cần chọn là C.
19. Lời giải:
Gọi
I
là giao điểm của
MN
và
OP
Ta có
OP MN^
tại II là trung điểm của
MN
, nên
12
6
22
MN
IM cm===
xét tam giác vuông
OMI
có
22 22
10 6 8OI OM MI cm=-=-=
xét tam giác vuông
MPO
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
I
P
M
O
N
I
P
M
O
N
22
2
10
.12,5
8
MO
MO OI OP OP cm
OI
====
Vậy 12, 5OP cm= .
Đáp án cần chọn là A.
20. Lời giải:
Gọi
F
là trung điểm của
AH
Xét hai tam giác vuông
AEH
và
ADH
ta có
2
AH
FA FH FE FD====
Nên bốn đỉnh ,,,ADH E cùng thuộc đường tròn tâm
F
bán kính
2
AH
.
Đáp án cần chọn là C.
21. Lời giải:
AH
cắt
BC
tại
KAKBC^
vì
H
là trực tâm tam giác
ABC
Ta chứng minh
ME EF^
tại
E
.
FAED
cân tại
F
(vì
FA FE=
) nên
FEA FAE=
F
H
E
D
B
C
A
M
K
F
H
E
D
A
C
B
MECD
cân tại
M
(vì
2
BC
ME MC MB===
) nên
MEC MCE=
mà
BAK ECB=
(cùng phụ
với
ABC
)
Nên
90MEC FEA MEC FEC FEA FEC MEF ME EF= +=+ =^
tại
E
.
Từ đó
ME
là tiếp tuyến của
;
2
AH
F
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Tương tự ta cũng có
MF
là tiếp tuyến của
;
2
AH
F
æö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
èø
.
Đáp án cần chọn là A.
22. Lời giải:
Vì
D
thuộc đường tròn đường kính
AB
nên
BD A D BD^
là đường cao của
ABGD
, mà
BD
là
đường phân giác của
ABG
(gt) nên
BD
vừa là đường cao vừa là đường phân giác của
ABGD
.
Do đó
ABGD
cân tại
B
suy ra
BD
là trung trực của
AG
(1).
Vì
H
đối xứng với
E
qua
D
(gt) nên
D
là trung điểm của
HE
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
D
là trung điểm của
HE
và
AG
Do đó tứ giác
AHGE
là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà
HE AG^
nên
HGED
là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
Đáp án cần chọn là B.
23. Lời giải:
H
E
G
A
B
D
C
Vì tứ giác
AHGE
là hình thoi (theo câu trước) nên
//AH G E
(1)
và
HE AG^
(tính chất) nên
90ADB =
(do đó C đúng).
Xét
ABCD
có
BD
và
AC
là đường cao, mà
BD
cắt
AD
tại
E
Suy ra
E
là trực tâm cua
ABGD
, do đó
GE A B^
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
AH AB^
Do đó
AH
là tiếp tuyến của đường tròn đường kính
AB
.
Đáp án cần chọn là D.
25. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có ;AB A C là tiếp tuyến của
()O
tại ,BC suy ra
OC AC^
tại
C
.
Suy ra
ABO ACOD=D
(c – g – c) nên
30
2
BAC
BAO CAO== =
Xét
ABOD
có . sin 10.sin 30 5OB AO A cm===.
Đáp án cần chọn là B.
26. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có ;AB A C là tiếp tuyến của
()O
tại ,BC suy ra
OC AC^
tại
C
.
Suy ra
ABO ACOD=D
(c – g – c) nên
30
2
BAC
BAO CAO== =
Xét
ABOD
có
.cos 10.cos 30 5 3AB AO A cm===
.
H
E
G
A
B
D
C
C
O
B
A
Đáp án cần chọn là C.
27. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có ;AB A C là tiếp tuyến của
()O
tại ,BC suy ra
OC AC^
tại
C
.
Suy ra
ABO ACOD=D
(c – g – c) nên
60
2
BAC
BAO CAO== =
Xét
ABOD
có
.sin 10.sin60 4 3OB AO A cm===
.
Đáp án cần chọn là A.
28. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có ;AB A C là tiếp tuyến của
()O
tại ,BC suy ra
OB A B^
tại
B
và
OC AC^
tại
C
.
Suy ra
ABO ACOD=D
(c – g – c) nên
60
2
BAC
BAO CAO== =
Xét
ABOD
có
.cos 8. cos 6 0 4AB AO A cm===
.
Đáp án cần chọn là D.
29. Lời giải:
Vì
AB
là đường kính của
(; )OR
nên 2AB R= .
Vì
D
thuộc tia đối của tia
CB
nên
34BD CD BC R R R=+=+=
Suy ra
21 1
;
42 22
AB R BC R
BD R AB R
== ==
Xét
ABDD
và
CBAD
có
B
chung và
1
2
BC AB
AB BD
==
(cmt)
Vì vậy
ABDD
∽
CBAD
(c.g.c)
DAB ACB=
D
O
A
B
C
Mà
C
thuộc
(; )OR
và
AB
là đường kính nên
2
AB
OC OA OB===
suy ra
ACBD
vuông tại
C
hay
90ACB =
Do đó
90DAB ACB==
hay
AD AB^
Suy ra
AD
là tiếp tuyến của
(; )OR
.
Đáp án cần chọn là D.
30. Lời giải:
Gọi
I
là giao điểm các tia phân giác của
;xPQ yQP
và ,,ABC
lần lượt là hình chiếu của
I
lên ,Ox PQ và Oy .
Vì
I
thuộc phân giac của góc xPQ nên
IA IB=
.
Xét
PAID
và
PBID
có:
IA IB=
(cmt)
Chung
PI
90PAI PBI==
Nên
PAI PBID=D
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra
PA PB=
Lí luận tương tự, ta có QB QC= .
2OA OC OP PA OQ QC OP PB OQ QB OP PQ QO a+=+++=+++=++= (do chu vi
OPQD bằng
2a
)
Vì
IA IB=
và
IB IC=
(cmt) nên
IA IC=
.
Xét
OAID
và
OCID
có:
IA IC=
(cmt)
90OAI OCI==
y
x
A
C
B
I
O
P
Q
Cạnh chung
OI
Nên
OAI OCID=D
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
2
2
a
OA OC a= ==
.
Vì
a
không đổi và ,AC thuộc tia ,Ox Oy cố định nên
A
và
C
cố định.
Do
A
và
C
lần lượt là hình chiếu của
I
lên ,Ox Oy nên hai đường thẳng
AI
và
CI
cố định hay
I
cố định.
Do
I
và
A
cố định nên độ dài đoạn thẳng
AI
không đổi.
Do
IA IB=
(cmt) nên
IB
là bán kính của đường tròn
(; )IIA
, mà IB PQ^ tại
B
nên PQ tiếp xúc
với đường tròn
(; )IIA
cố định.
Đáp án cần chọn là A.
D.TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có 6, 6, 10AB AC BC-==. Vẽ đường tròn
(; )BBA
, đường tròn
(; )CCA
Chứng minh rằng:
AB là tiếp tuyến của đường tròn
(; )CCA
CA là tiếp tuyến của đường tròn
(; )BBA
.
Bài 2: Từ điểm A ở ngoài đường tròn
(; )OR
vẽ tiếp tuyến AB (B là tiếp điểm), C là điểm trên
đường tròn
()O
sao cho AC AB=
a) Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của đường tròn
()O
b) D là điểm trên AC . Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại M cắt đường tròn
()O
tại
E (E khác C ). Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn
()O
.
Bài 3: Cho đường tròn
(; )OR
, đường kính AB , M là điểm trên
()O
, AM cắt tiếp tuyến của đường
tròn
()O
tại B và C
a) Tính .AM AC theo R
b) Xác định vị trí M để
2AM AC+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho nửa đường tròn
(; )OR
đường kính AB . M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua
M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi ,DC lần lượt là hình chiếu của ,AB trên tiếp tuyến ấy.
a) Chứng minh rằng AD BC+ không đổi
b) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Bài 5: Cho đường tròn
(; )OR
có AB là dây cung cố định không qua tâm O , C là điểm di động trên
cung lớn AB (C không trùng với A và B )
Gọi
()d
là tiếp tuyến tại C của đường tròn
(; )OR
và ,MN lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ
từ A và B đến
()d
. Tìm vị trí của C sao cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn nhất.
C
B
A
D
E
M
A
C
B
O
C
M
B
A
O
Bài 6: Cho nửa đường tròn
(; )OR
đường kính AB . Điểm M trên đường tròn
()O
. H là hình chiếu
của
M trên AB .
Xác định vị trí của
M để
AH H M+
lớn nhất.
HƯỚNG DẪN
Bài 1:
2222
8 6 100AB A C+=+=
2
10 100BC ==
ABCD có:
22 2
AB AC BC+=
, theo định lí Py-ta-go
đảo ta có tam giác ABC vuông tại A .
AB CA^
Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn
(; )CCA
, CA là tiếp tuyến của đường tròn
(; )BBA
Bài 2:
a) Xét OACD và OABD
Có
()OC OB R==
OA (cạnh chung)
AC AB= (gt)
Do đó: OAC OABD=D (c.c.c)
0
90OCA OBA==
AC là tiếp tuyến của đường tròn
()O
b) OD EC^ (gt)
M
là trung điểm EC
(Định lí đường kính vuông góc dây cung)
OD là đường trung trực của đoạn thẳng EC .
DE DC=
Do đó:
0
90OED OCD==
(tính chất đối xứng trục)
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn
()O
Bài 3:
a) MABD nội tiếp đường tròn đường kính AB
MABD
vuông tại M
CB là tiếp tuyến của đường tròn
()O
E
M
D
C
B
A
O
0
90ABC=
ABCD vuông tại ,BBM là đường cao
Nên:
22
.4AM AC AB R==
b) Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số dương có:
222.AM AC AM AC+³
242AM AC R+³
, không đổi
Dấu “=” xảy ra 2AM AC=
M là trung điểm AC
ABCD
vuông cân tại B
M
trên
()O
sao cho
0
45MAB =
Vậy khi M trên đường tròn
()O
sao cho
0
45MAB =
thì
2AM AC+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4:
a) AD CD^ (gt), BC CD^ (gt)
OM CD^ (CD là tiếp tuyến của đường tròn
()O
)
Suy ra
AD BC OM
Hình thang ABCD
()AD BC
có:
OM AD BC
O là trung điểm của AB
M
là trung điểm của CD
Ta có OM là đường trung bình của hình thang ABCD
2
AD BC
OM
+
=
2AD BC R+=
, không đổi
b) Vẽ AE BC^ tại E
Tứ giác ADCE có
0
90ADC DCE CEA===
nên là hình chữ nhật
CD AE=
2AE BC AE AB R^£=
K
N
M
C
B
A
O
K
H
M
N
CBA
O
Do đó:
...2
2
ABCD
AD BC
SCDRCDRR
+
==£
2
2
ABCD
SR£
, không đổi
Dấu “=” xảy ra
EBº
DC AB
M là giao điểm của đường thẳng vuông góc AB vẽ từ O và đường tròn
()O
.
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ O và đường tròn
()O
thì diện
tích vẽ từ O và đường tròn ABCD lớn nhất.
Bài 5:
Vẽ ,AK BN K BN^Î
Tứ giác AMNK có:
0
90MNK===
Nên là hình chữ nhật
MN AK=
Mà
AK KB AK AB^£
Do đó
MN AB£
không đổi
Dấu “=” xảy ra
KBº
MN A B
C
là giao điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB .
Vậy khoảng cách MN dài nhất khi C là điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB .
Ta có:
0MN ³
Dấu “=” xảy ra
MNº
,,,MNAB thẳng hàng
dAB^
C
là một đầu mút của đường kính song song AB
Vậy khoảng cách ngắn nhất C là một đầu mút của đường kính của đường tròn
()O
song song với
AB .
Bài 6:
Vẽ N ở trên đường tròn
(; )OR
sao cho
0
45BON =
. Tiếp tuyến của nửa đường
tròn
()O
tại N cắt AB tại C . Ta có ,NC cố định:
NOCD vuông cân tại N
Xét MNº
Ta có: MNº nên HKº
Do đó:
AH HM AK KN AK KC AC+=+=+=
Xét MN¹
Tia CM nằm giữa hai tia ,CA CN
Do đó:
0
45ACM ACN<=
MHCD có
0
90MHC =
Nên
0
90HMC HCM+=
Mà
0
45HCM < nên
0
45HMC HCM HMC> <
HMCD có
HCM HMC HM HC<<
Do đó:
AH HM AH HC AC+<+=
Vậy khi M ở trên đường tròn
(; )OR
sao cho
0
45BOM =
thì tổng
AH H M+
lớn nhất.
-------------------- HẾT --------------------
| 1/28
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

DẤU HIỆU NHẬN BIỂT-TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Dấu hiệu 1. Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi
qua điểm đó thì đường thẳng âỳ là một tiếp tuyến của đường tròn.
Dấu hiệu 2. Theo định nghĩa tiếp tuyến.
B.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại tiếp điểm
C, ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Cách 1. Chứng minh C nằm trên (O) và OC vuông góc vói a tại C.
Cách 2. Kẻ OH vuông góc a tại H và chứng minh OH = OC = R.
Cách 3. Vẽ tiếp tuyến a' của (O) và chứng minh a a'.
Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 10 crn. Vẽ đường tròn (B; BA). Chứng
minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B).
Bài 2. Cho đường thẳng d và A là điểm nằm trên d; B là điểm nằm ngoài d. Hãy dựng đường tròn
(O) đi qua điểm B và tiếp xúc với d tại A.
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) Đường tròn đường kính AI đi qua K;
b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Bài 4. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyên của (O). Dạng 2. Tính độ dài
Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm để vận dụng định lý về tính chất của tiếp tuyên và sử dụng
các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các đoạn thẳng.
Bài 5. Cho đường tròn (O) có dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp
tuyến tại A của (O) ở điểm C.
a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho bán kính của (O) bằng 15 cm và dây AB = 24 cm.
Tính độ dài đoạn thẳng OC.
Bài 6. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho  CAB 3
 0 . Trên tia đối của tia
BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a) MC là tiếp tuyến của (O); b) M C  R 3 .
Bài 7. Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc vói OA tại trung điểm M của OA.
a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, cắt đường thẳng OA tại E.
Tính độ dài BE theo R.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, AB = 8 cm,BC = 16 cm. Gọi D là điểm đôi
xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ớ E.
a) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Tính độ dài đoạn thẳng HE. Dạng 3.Tổng hợp
Bài 9.Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn tâm O. Vẽ hình bình hành ABCD. Tiếp tuyến
tại C của đường tròn cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh:
a) Đường thẳng AD là tiếp tuyến của (O);
b) Ba đường thẳng AC, BD và ON đồng quy.
Bài 10.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt
tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F. a) Chứng minh  COD 90   .
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 11.Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi BD, CE là các tiếp tuyến của đường
tròn (A; AH) với D, E là các tiếp diêm. Chứng minh:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Bài 12.Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm o đường kính AB. Qua M vẽ tiếp tuyến xy và gọi
C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên xy. Xác định vị trí của điểm M trên (O) sao diện
tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn nhất.
Bài 13.Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm trên (O) sao cho  CAB 3
 0 và E là giao điểm của các tia AC, Bx.
a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC, CE vả BC.
b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.
Bài 14.Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lâỳ điểm M thuộc (O) sao cho
MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C
vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
a) Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc đường tròn.
b) Chứng minh BK là tia phân giác của góc MBN.
c) Chứng minh  KMC cân và KM là tiếp tuyến của (O).
d) Tìm vị trí của M trên (O) để tứ giác MNKC trở thành hình thoi. HƯỚNG DẪN Bài 1. Ta có 2 2 2 BC  AB  AC  0  BAC  90  BA  AC
Bài 2. Trung trực AB cắt đường thẳng
vuông góc với d ở A tại O. Đường tròn
(O;OA) là đường tròn cần dựng. Bài 3. a) Chứng minh được  0 BKA  90
b) Gọi O là trung điểm AI. Ta có: + OK = OA    OKA  OAK +    OAK  HBK (cïng phô ACB) + HB = HK    HBK  HKB +    0
 OKA  HKB  HKO  90 . Bài 4.
a) Gọi O là trung điểm của AH thì OE = OA = OH = OD b) Tương tự 2A Bài 5. a) OAC  OBC(c.g.c)   0  OBC  OAB  90  ĐPCM
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC tính được OC=25cm Bài 6.
a) Vì OCB là tam giác đều nên BC=BO=BM=R  0
 OCM  90  MC là tiếp tuyến (O;R) b) Ta có 2 2 2 O M  O C  M C 2 2  M C  3 R Bài 7.
a) OA vuông góc với BC tại M
M là trung điểm của BC  OCAB là hình thoi b) Tính được BE=R 3 Bài 8.
a) Gọi O là trung điểm CD.
Từ giả thiết suy ra tam giác ABD và tam giác ODE đều  DE = DH = DO = BC 4   0 H EO  90
 HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD b) HE = 4 3 Bài 9.
a) Tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O)  OA  BC  OA  AD (v× AD  BC)
 AD là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh được ON là tia phân giác của  AOD mà OAC  cân tại O nên ON cũng
là đường trung tuyến  ON cắt AC tại trung
điểm I của AC  ON,AC,BD cùng đi qua trung điểm I của AC. Bài 10. a) Dễ thấy  0  0
AMB  90 hay EMF  90 tiếp tuyến CM,CA  0
 OC  AM  OEM  90 Tương tự  0  OFM  90 Chứng minh được  
CAO  CMO  AOC  MOC  OC là tia phân giác của  AM O
Tương tự OD là tia phân giác của  BOM suy ra  0 OC  OD  COD  90
b) Do AOM cân tại O nên OE là đường phân
giác đồng thời là đường cao  0
 OEM  90 chứng minh tương tự  0 OFM  90 .
Vậy MEOF là hình chữ nhật
c) Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn
đường kính CD và IO=IC=ID. Có ABDC là hình
thang vuông tại A và B nên IO  AC  BD và IO
vuông góc với AB. Do đó AB là tiếp tuyến của
đường tròn đường kính CD. Bài 11.
a) Vì BH, BD là tiếp tuyến của (A;AH)    HAD  2HAB
Vì CH,CE là tiếp tuyến của (A;AH)    HAE  2HAC     0
 H A D  HA E  2(HA B  HA C )  180  D,A,E thẳng hàng b) Tương tự 8.
Bài 12. Ta có ABCD là hình thang vuông tại C và D
Mà O Là trung điểm AB và OM vuông góc với CD( tiếp tuyến của (O)
 AD+BC=2OM=2R. Chú ý rằng CD AB
( hình chiếu đường xiên) 1  S  (AD  BC ).CD A B C D 2 2  R.CD  R.AB  2R Do đó S
lớn nhất khi CD=AB hay M là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính AB ABCD Bài 13. a) Tính được BC=5cm 5 3 AC  5 3cm , CE = cm 3 b) Tính được 10 3 BE  cm 3 Bài 14. a)   0
C K A  C M A  90  C , K , A , M thuộc đường tròn đường kính AC
b) MBN cân tại B có BA là đường cao, trung tuyến và phân giác .
c) BCD cã BK  CD vμ CN  BN nên A là trực tâm của BCD  D,A,M thảng hàng
Ta có DMC vuông tại M có MK là trung tuyến nên  K M C cân tại   K  K C M  K M C  
l ¹ i c ã K B C  O M B n ª n     0
K M C  O M B  K C B  K B C  9 0 Vậy  0
KMO  90 mà OM là bán kính
nên KM là tiếp tuyến của (O) d) MNKC là hình thoi  M N  C K vμ C M = C K   K C M ®Òu  0
 K B C  3 0  A M  R
C.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ.
Câu 1: Cho (O;R). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại tiếp điểm A khi
A. d ^ OA tại A và A Î (O) .
B. d ^ OA . C. A Î (O) .
D. d//OA .
Câu 2: “Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và … thì đường thẳng ấy là một tiếp
tuyến của đường tròn”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trống là
A. Song song với bán kính khi qua điểm đó. B. Vuông góc với bán kính đi qua điểm đó.
C. Song song với bán kính đường tròn.
D. Vuông góc với bán kính bất kì.
Câu 3: Cho (O; 5cm). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 5cm), khi đó:
A. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 5cm .
B. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 5cm .
C. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm .
D. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 6cm .
Câu 4: Cho (O; 4cm) . Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O; 4cm) , khi đó:
A. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d nhỏ hơn 4cm .
B. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 4cm .
C. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn hơn 4cm .
D. Khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng 5cm .
Câu 5: Cho tam giác MNP có MN = 5cm,NP = 12 ,
cm MP = 13cm . Vẽ đường tròn (M;NM ) .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. NP là tiếp tuyến của (M;MN ) . B. MP là tiếp tuyến của (M;MN ) .
C. DMNP vuông tại M .
D. DMNP vuông tại P .
Câu 6: Cho tam giác ABC có AC = 3 , cm AB = 4 ,
cm BC = 5cm . Vẽ đường tròn (C ;C ) A . Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. Đường thẳng BC cắt đường tròn (C ;C )
A tại một điểm.
B. AB là cát tuyến của đường tròn (C ;C ) A .
C. AB là tiếp tuyến của (C ;C ) A .
D. BC là tiếp tuyến của (C ;C ) A .
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A ; đường cao AH và BK cắt nhau tại I . Khi đó đường thẳng
nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI .
A. HK . B. IB . C. IC . D. AC .
Câu 8: Hình chữ nhật ABCD , H là hình chiếu của A lên BD . M,N lần lượt là trung điểm của
BH,CD . Đường nào sau đây là tiếp tuyến của đường tròn tâm A , bán kính AM .
A. BN . B. MN . C. AB . D. CD .
Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Đường tròn đường kính BH cắt AB tại
D , đường tròn đường kính CH cắt AC tại E . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. DE là cát tuyến của đường tròn đường kính BH .
B. DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH .
C. Tứ giác AEHD là hình chữ nhật.
D. DE ^ DI (với I là trung điểm BH ).
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho 
ABC = 30 . Trên tia đối của tia
AB lấy điểm M sao cho AM = R .
Câu 10: Chọn khẳng định đúng?
A. MC là tiếp tuyến của (O;R). B. MC là cát tuyến của (O;R). C. MC ^ BC . D. MC ^ AC .
Câu 11: Tính độ dài MC theo R .
A. MC = 2R .
B. MC = 3R .
C. MC = 3R .
D. MC = 2R .
Cho đường tròn (O;2cm) đường kính AB . Vẽ dây AC sao cho 
OBC = 60 . Trên tia OB lấy điểm
M sao cho BM = 2cm .
Câu 12: Chọn khẳng định đúng?
A. MC là tiếp tuyến của (O) . B. MC là cát tuyến của (O) . C. MC ^ BC . D. MCB = 45 .
Câu 13: Tính độ dài MC .
A. MC = 2 2cm .
B. MC = 3cm .
C. MC = 2 3cm .
D. MC = 4cm .
Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O;R), vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với (O) . Đường thẳng
vuông góc với OB tại O cắt tia AC tại N . Đường thẳng vuông góc với OC cắt tia AB tại M .
Câu 14: Tứ giác AMON là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình thang. D. Hình chữ nhật.
Câu 15: Điểm A phải cách O một khoảng là bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O) ?
A. OA = 2R . B. 3 OA = R .
C. OA = 3R . D. 4 OA = R . 2 3
Cho đường tròn (O) , dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB , cắt tiếp tuyến
tại A của đường tròn ở điểm C .
Câu 16: Chọn khẳng định đúng?
A. BC là cát tuyến của (O) .
B. BC là tiếp tuyến của (O) .
C. BC ^ AB .
D. BC //AB .
Câu 17: Cho bán kính của đường tròn bằng 15cm;AB = 24cm . Tính OC .
A. OC = 35cm .
B. OC = 20cm .
C. OC = 25cm .
D. OC = 15cm .
Cho đường tròn (O) , dây MN khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với MN , cắt tiếp
tuyến tại M của đường tròn ở điểm P .
Câu 18: Chọn khẳng định đúng?
A. PN là tiếp tuyến của (O) tại P . B. DMOP = DPON .
C. PN là tiếp tuyến của (O) tại N . D. ONP = 80 .
Câu 19: Cho bán kính của đường tròn bằng 10cm;MN = 12cm . Tính OP .
A. OP = 12, 5cm .
B. OP = 17, 5cm .
C. OP = 25cm .
D. OP = 15cm .
Cho tam giác ABC có hai đường cao ,
BD CE cắt nhau tại H .
Câu 20: Xác định tâm F của đường tròn đi qua bốn điểm , A , D H,E .
A. F º B .
B. F là trung điểm đoạn AD .
C. F là trung điểm đoạn AH . D. F là trung điểm đoạn AE .
Câu 21: Gọi M là trung điểm BC . Đường tròn (F) ở trên nhận các đường thẳng nào dưới đây là tiếp tuyến.
A. ME;MF .
B. ME . C. MF . D. EC .
Cho nửa đường tròn đường kính AB . C là một điểm thuộc nửa đường tròn. Vẽ dây BD là phân
giác của góc ABC . BD cắt AC tại E . AD cắt BC tại G . H là điểm đối xứng với E qua D .
Câu 22: Chọn đáp án đúng nhất. Tứ giác AHGE là hình gì?
A. Hình bình hành. B. Hình thoi. C. Hình vuông. D. Hình chữ nhật.
Câu 23: Chọn câu đúng:
A. AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB .
B. HG là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . C. ADB = 90 .
D. Cả A và C đều đúng.
Cho hình vẽ dưới đây: Biết 
BAC = 60 ; AO = 10cm . Chọn đáp án đúng: B A O C
Câu 25: Độ dài bán kính OB là: A. 4 3 . B. 5 .
C. 5 3 . D. 10 3 .
Câu 26: Độ dài tiếp tuyến AB là: A. 4 3 . B. 5 .
C. 5 3 . D. 10 3 .
Cho hình vẽ dưới đây. Biết AB và AC là hai tiếp tuyến của  (O),BAC = 120 ,
AO = 8cm . Chọn đáp án đúng. B A C O
Câu 27: Độ dài bán kính OB là: A. 4 3 . B. 5 . C. 4 . D. 8 3 .
Câu 28: Độ dài đoạn AB là: A. 4 3 . B. 5 . C. 5 3 . D. 4 .
Câu 29: Cho nửa đường tròn (O;R),AB là đường kính. Dây BC có độ dài R . Trên tia đối của tia
CB lấy điểm D sao cho CD = 3R . Chọn câu đúng.
A. AD là tiếp tuyến của đường tròn. B. ACB = 90 .
C. AD cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm phân biệt.
D. Cả A, B đều đúng. Câu 30: Cho 
xOy , trên Ox lấy P , trên Oy lấy Q sao cho chu vi DPOQ bằng 2a không đổi. Chọn câu đúng.
A. PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
B. PQ không tiếp xúc với một đường tròn cố định nào.
C. PQ = a .
D. PQ = OP . HƯỚNG DẪN 1. Lời giải:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì
đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì
đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Đáp án cần chọn là B. 3. Lời giải:
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó. Đáp án cần chọn là C. 4. Lời giải:
Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính của đường tròn đó. Đáp án cần chọn là B. 5. Lời giải: M N P
Xét tam giác MNP có 2 2 2 2 2 2
MP = 13 = 169;NM + NP = 5 + 12 = 169 2 2 2
MP = NM + NP
 DMNP vuông tại N (định lý Pytago đảo)
MN ^ NP mà N Î (M;MN) nên NP là tiếp tuyến của (M;NM) . Đáp án cần chọn là A. 6. Lời giải: C A B
Xét tam giác ABC có 2 2 2 2 2 2 2 2 2
BC = 5 = 25;AB + AC = 4 + 3 = 25  BC = AB + AC
 DABC vuông tại A (định lý Pytago đảo)
AB ^ AC mà A Î (C;C )
A nên AB là tiếp tuyến của (C;C ) A . Đáp án cần chọn là C. 7. Lời giải: A O K I C H B æ AI ö
Gọi O là trung điểm AI . Xét tam giác vuôngAIK có OK = OI = OA K Î O çç ; ÷÷ ç (*) çè 2 ÷÷ø
Ta đi chứng minh OK ^ KH tại K .
Xét tam giác OKA cân tại O ta có:   OKA = OKA (1)
Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên H là trung điểm của BC . Xét tam giác vuông BC
BKC có HK = HB = HC = . 2
Suy ra tam giác KHB cân tại H nên   HKB = HBK (2) Mà  
HBK = KAH (cùng phụ với  ACB ) (3) Từ (1); (2); (3) suy ra  
HKB = AKO mà     
AKO +OKI = 90  HKB +OKI = 90 OKH = 90
hay OK ^ KH tại K (**)
Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI . Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải: A B E M H D N C
Lấy E là trung điểm của AH . Do M là trung điểm của BH (gt) nên EM là đường trung bình của
DAHB EM / /AB và 1 EM = AB . 2
Hình chữ nhật ABCD có CD//AB và CD = AB mà N là trung điểm của DC , suy ra: DN//AB và 1 DN = AB . 2
Từ (1) và (2) ta có EM//DN và EM = DN .
Suy ra tứ giác EMND là hình bình hành, do đó DI//MN .
Do EM / /AB mà AB ^ AD (tính chất hình chữ nhật)
AH ^ DM (gt) nên E là trực tâm của DADM
Suy ra DE ^ AM , mà DE//MN (cmt) MN ^ AM tại M .
Vì vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn ( ; A AM). Đáp án cần chọn là B. 9. Lời giải: A E O D B I H C J
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BH và CH .
Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID ^ DE hay  ODI = 90 .
Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có:  
BDH =CEH = 90
Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
Gọi O là giao điểm của AH và DE , khi đó ta có OD = OH = OE = OA .
Suy ra DODH cân tại  
O ODH = OHD
Ta cũng có DIDH cân tại  
I IDH = IHD Từ đó     
IDH + HDO = IHD + DHO IDO = 90  ID ^ DE
Ta có ID ^ DE,D Î (I) nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH .
Từ chứng minh trên suy ra các phương án B, C, D đúng.
Đáp án cần chọn là A. 10. Lời giải: M A O B C
Tam giác OBC cân tại O có  ABC = 30 suy ra 
AOC = 60 (góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai
góc trong không kề với nó).
Nên tam giác OCA là tam giác đều suy ra 
AC = AO = AM = R OCM = 90  MC là tiếp tuyến của ( ; O ) R . Đáp án cần chọn là A. 11. Lời giải: M A O B C
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM , ta có 2 2 2
OM = OC + MC 2 2 2 2
MC = OM -OC = 3R MC = 3R . Đáp án cần chọn là B. 12. Lời giải: O B M C
Tam giác OBC cân tại O có  OBC = 60
Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2 OM
Xét tam giác OCM có BC = OB = BM = 2 =
nên DOCM vuông tại C 2
OC ^ CM MC là tiếp tuyến của (O;2cm). Đáp án cần chọn là A. 13. Lời giải: O B M C
Theo câu trước ta có DOCM vuông tại C
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM , ta có 2 2 2
OM = OC + MC 2 2 2 2 2
MC = OM -OC = 4 - 2 = 12  MC = 2 3cm . Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải: O C B N M A
Dễ có AMON là hình bình hành (Vì ON//AM;OM//AN )
Ta chứng minh OM = ON
Xét tam giác OBM và tam giác OCN có:  
OBM = OCN = 90 ;
OB = OC = R , Và   
OMB =ONC = A
 DOBM = DOCN OM = ON AMON là hình thoi. Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải: O C N B M A
Tứ giác AMON là hình thoi nên OA ^ MN và
Mà độ dài OA bằng 2 lần khoảng cách từ O đến MN .
Do đó MN là tiếp tuyến đường tròn ( ; O )
R  khoảng cách từ O đến MN bằng R OA = 2R . Đáp án cần chọn là A. 16. Lời giải: A O I B C
Ta có OC ^ AB OC đi qua trung điểm của AB .
OC là đường cao đồng thời là trung tuyến của DABC . ìï  ACO ï = BCO
 DABC cân tại C ï  í  AOC D = B D OC (c – g – c) ï AC = CB ïïî
OB ^ BC BC là tiếp tuyến của (O) Đáp án cần chọn là B. 17. Lời giải: Gọi AB
I là giao điểm của OC và AB AI = BI = = 12cm . 2
Xét tam giác vuông OAI có 2 2
OI = OA - AI = 9cm 2 2 Xét tam giác vuông AO 15 AOC có 2
AO = OI.OC OC = = = 25cm . OI 9
Vậy OC = 25cm . Đáp án cần chọn là C. 18. Lời giải: M O I N P
Gọi I là giao điểm của MN và OP
Ta có OP ^ MN tại I I là trung điểm của MN .
PI là đường cao đồng thời là trung tuyến của DMNP  DMNP cân tại P ìï  MPO ï = NPO ï  í  PMO D = P D NO (c – g – c) ï PM = PN ïïî  
PMO = PNO = 90 ON ^ NP
PN là tiếp tuyến của (O) Đáp án cần chọn là C. 19. Lời giải: M O I N P
Gọi I là giao điểm của MN và OP Ta có MN
OP ^ MN tại I I là trung điểm của MN , nên 12 IM = = = 6cm 2 2
xét tam giác vuông OMI có 2 2 2 2
OI = OM - MI = 10 - 6 = 8cm
xét tam giác vuông MPO theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 MO 10 2
MO = OI.OP OP = = = 12, 5cm OI 8
Vậy OP = 12, 5cm . Đáp án cần chọn là A. 20. Lời giải: A F D E H B C
Gọi F là trung điểm của AH AH
Xét hai tam giác vuông AEH và ADH ta có FA = FH = FE = FD = 2 Nên bốn đỉnh AH , A ,
D H,E cùng thuộc đường tròn tâm F bán kính . 2 Đáp án cần chọn là C. 21. Lời giải: A F D E H M B K C
AH cắt BC tại K AK ^ BC vì H là trực tâm tam giác ABC
Ta chứng minh ME ^ EF tại E .
DFAE cân tại F (vì FA = FE ) nên   FEA = FAE BC
DMEC cân tại M (vì ME = MC = MB = ) nên  
MEC = MCE mà  
BAK = ECB (cùng phụ 2 với  ABC ) Nên       
MEC = FEA MEC + FEC = FEA + FEC MEF = 90  ME ^ EF tại E . æ AH ö
Từ đó ME là tiếp tuyến của F çç ; ÷÷ ç . çè 2 ÷÷ø æ AH ö
Tương tự ta cũng có MF là tiếp tuyến của F çç ; ÷÷ ç . çè 2 ÷÷ø Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải: G C H D E A B
Vì D thuộc đường tròn đường kính AB nên BD ^ AD BD là đường cao của DABG , mà BD là
đường phân giác của ABG (gt) nên BD vừa là đường cao vừa là đường phân giác của DABG .
Do đó DABG cân tại B suy ra BD là trung trực của AG (1).
Vì H đối xứng với E qua D (gt) nên D là trung điểm của HE (2)
Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của HE và AG
Do đó tứ giác AHGE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Mà HE ^ AG nên DHGE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi). Đáp án cần chọn là B. 23. Lời giải: G C H D E A B
Vì tứ giác AHGE là hình thoi (theo câu trước) nên AH//GE (1)
và HE ^ AG (tính chất) nên 
ADB = 90 (do đó C đúng).
Xét DABC có BD và AC là đường cao, mà BD cắt AD tại E
Suy ra E là trực tâm cua DABG , do đó GE ^ AB (2).
Từ (1) và (2) suy ra AH ^ AB
Do đó AH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB . Đáp án cần chọn là D. 25. Lời giải: B A O C
Từ hình vẽ ta có AB;AC là tiếp tuyến của (O) tại B,C suy ra OC ^ AC tại C .  BAC
Suy ra DABO = DACO (c – g – c) nên   BAO = CAO = = 30 2
Xét DABO có OB = AO. sin A = 10.sin 30 = 5cm . Đáp án cần chọn là B. 26. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có AB;AC là tiếp tuyến của (O) tại B,C suy ra OC ^ AC tại C .  BAC
Suy ra DABO = DACO (c – g – c) nên   BAO = CAO = = 30 2
Xét DABO có AB = A .
O cos A = 10.cos 30 = 5 3cm . Đáp án cần chọn là C. 27. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có AB;AC là tiếp tuyến của (O) tại B,C suy ra OC ^ AC tại C .  BAC
Suy ra DABO = DACO (c – g – c) nên   BAO = CAO = = 60 2
Xét DABO có OB = A .s
O in A = 10.sin 60 = 4 3cm . Đáp án cần chọn là A. 28. Lời giải:
Từ hình vẽ ta có AB;AC là tiếp tuyến của (O) tại B,C suy ra OB ^ AB tại B và OC ^ AC tại C .  BAC
Suy ra DABO = DACO (c – g – c) nên   BAO = CAO = = 60 2
Xét DABO có AB = AO. cos A = 8.cos 60 = 4cm . Đáp án cần chọn là D. 29. Lời giải: D C A O B
Vì AB là đường kính của ( ; O )
R nên AB = 2R .
Vì D thuộc tia đối của tia CB nên BD = CD + BC = 3R + R = 4R Suy ra AB 2R 1 BC R 1 = = ; = = BD 4R 2 AB 2R 2 Xét BC AB
DABD và DCBA có  B chung và 1 = = (cmt) AB BD 2
Vì vậy DABD ∽ DCBA (c.g.c)    DAB = ACB AB Mà C thuộc ( ; O )
R và AB là đường kính nên OC = OA = OB =
suy ra DACB vuông tại C 2 hay  ACB = 90 Do đó  
DAB = ACB = 90 hay AD ^ AB
Suy ra AD là tiếp tuyến của ( ; O ) R . Đáp án cần chọn là D. 30. Lời giải: x A I P B y O Q C
Gọi I là giao điểm các tia phân giác của   xPQ;yQP và , A B,C
lần lượt là hình chiếu của I lên Ox, PQ và Oy .
Vì I thuộc phân giac của góc xPQ nên IA = IB .
Xét DPAI và DPBI có: IA = IB (cmt) Chung PI  
PAI = PBI = 90
Nên DPAI = DPBI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Suy ra PA = PB
Lí luận tương tự, ta có QB = QC .
OA +OC = OP + PA +OQ +QC = OP + PB +OQ +QB = OP + PQ +QO = 2a (do chu vi
DOPQ bằng 2a )
Vì IA = IB và IB = IC (cmt) nên IA = IC .
Xét DOAI và DOCI có: IA = IC (cmt)  
OAI = OCI = 90 Cạnh chung OI Nên a
DOAI = DOCI (cạnh huyền – cạnh góc vuông) 2  OA = OC = = a . 2
Vì a không đổi và ,
A C thuộc tia Ox,Oy cố định nên A và C cố định.
Do A và C lần lượt là hình chiếu của I lên Ox,Oy nên hai đường thẳng AI và CI cố định hay I cố định.
Do I và A cố định nên độ dài đoạn thẳng AI không đổi.
Do IA = IB (cmt) nên IB là bán kính của đường tròn (I;I )
A , mà IB ^ PQ tại B nên PQ tiếp xúc
với đường tròn (I;I ) A cố định. Đáp án cần chọn là A. D.TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB - 6,AC = 6,BC = 10 . Vẽ đường tròn (B;B ) A , đường tròn (C;C ) A Chứng minh rằng:
AB là tiếp tuyến của đường tròn (C;C ) A
CA là tiếp tuyến của đường tròn (B;B ) A .
Bài 2: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB ( B là tiếp điểm), C là điểm trên
đường tròn (O) sao cho AC = AB a)
Chứng minh rằng AC là tiếp điểm của đường tròn (O) b)
D là điểm trên AC . Đường thẳng qua C vuông góc với OD tại M cắt đường tròn (O) tại
E ( E khác C ). Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Bài 3: Cho đường tròn (O;R), đường kính AB , M là điểm trên (O), AM cắt tiếp tuyến của đường
tròn (O) tại B và C a)
Tính AM.AC theo R b)
Xác định vị trí M để 2AM + AC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB . M là điểm di động trên nửa đường tròn. Qua
M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi ,
D C lần lượt là hình chiếu của ,
A B trên tiếp tuyến ấy. a)
Chứng minh rằng AD + BC không đổi b)
Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) có AB là dây cung cố định không qua tâm O , C là điểm di động trên
cung lớn AB (C không trùng với A và B )
Gọi (d) là tiếp tuyến tại C của đường tròn (O;R) và M,N lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ
từ A và B đến (d). Tìm vị trí của C sao cho khoảng cách MN dài nhất, ngắn nhất.
Bài 6: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB . Điểm M trên đường tròn (O). H là hình chiếu
của M trên AB .
Xác định vị trí của M để AH + HM lớn nhất. A HƯỚNG DẪN Bài 1: B C 2 2 2 2
AB + AC = 8 + 6 = 100 2 BC = 10 = 100 DABC có: 2 2 2
AB + AC = BC , theo định lí Py-ta-go
đảo ta có tam giác ABC vuông tại A .  AB ^ CA
Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn (C;C )
A , CA là tiếp tuyến của đường tròn (B;B ) A Bài 2: a) Xét OA D C và DOAB Có
OC = OB(= R) B OA (cạnh chung) E AC = AB (gt) A O M Do đó: OA D C = O D AB (c.c.c) D   0
OCA = OBA = 90 C
AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) OD ^ EC (gt)
M là trung điểm EC
(Định lí đường kính vuông góc dây cung)
OD là đường trung trực của đoạn thẳng EC .  DE = DC Do đó:   0
OED = OCD = 90 (tính chất đối xứng trục)
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) C Bài 3: M a) MA D
B nội tiếp đường tròn đường kính AB
 DMAB vuông tại M
CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) A B O  0  ABC = 90
DABC vuông tại B, BM là đường cao Nên: 2 2
AM.AC = AB = 4R b)
Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số dương có:
2AM + AC ³ 2 2AM.AC
2AM + AC ³ 4 2R , không đổi Dấu “=” xảy ra  2AM = AC
M là trung điểm AC
 DABC vuông cân tại B
M trên (O) sao cho  0 MAB = 45
Vậy khi M trên đường tròn (O) sao cho  0
MAB = 45 thì 2AM + AC đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 4: C a)
AD ^ CD (gt), BC ^ CD (gt) M
OM ^ CD (CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)) D E
Suy ra AD BC OM
Hình thang ABCD (AD BC ) có: A O B
OM AD BC
O là trung điểm của AB
M là trung điểm của CD
Ta có OM là đường trung bình của hình thang ABCD AD + BC  = OM 2
AD + BC = 2R , không đổi b)
Vẽ AE ^ BC tại E
Tứ giác ADCE có    0
ADC = DCE = CEA = 90 nên là hình chữ nhật CD = AE
AE ^ BC AE £ AB = 2R + Do đó: AD BC S = .CD = . RCD £ . R 2R ABCD 2 2 S £ 2R , không đổi ABCD Dấu “=” xảy ra  E º B DC AB
M là giao điểm của đường thẳng vuông góc AB vẽ từ O và đường tròn (O).
Vậy khi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB vẽ từ O và đường tròn (O) thì diện
tích vẽ từ O và đường tròn ABCD lớn nhất. Bài 5: N C 
Vẽ AK ^ BN,K Î BN K Tứ giác AMNK có: M O    0
M = N = K = 90 A B Nên là hình chữ nhật  MN = AK
Mà AK ^ KB AK £ AB
Do đó MN £ AB không đổi Dấu “=” xảy ra  K º B MN AB
C là giao điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB .
Vậy khoảng cách MN dài nhất khi C là điểm của đường trung trực AB với cung lớn AB .  Ta có: MN ³ 0 Dấu “=” xảy ra  M º N M,N, , A B thẳng hàng  d ^ AB
C là một đầu mút của đường kính song song AB
Vậy khoảng cách ngắn nhất C là một đầu mút của đường kính của đường tròn (O) song song với AB . Bài 6:
Vẽ N ở trên đường tròn (O;R) sao cho M N A H O K B C  0
BON = 45 . Tiếp tuyến của nửa đường
tròn (O) tại N cắt AB tại C . Ta có N,C cố định:  NO D
C vuông cân tại N  Xét M º N
Ta có: M º N nên H º K
Do đó: AH + HM = AK + KN = AK + KC = AC  Xét M ¹ N
Tia CM nằm giữa hai tia , CA CN Do đó:   0
ACM < ACN = 45 MH D C có  0 MHC = 90 Nên   0 HMC + HCM = 90 Mà  0 HCM < 45 nên  0  
HMC > 45  HCM < HMC HM D C có  
HCM < HMC HM < HC
Do đó: AH + HM < AH + HC = AC
Vậy khi M ở trên đường tròn (O;R) sao cho  0
BOM = 45 thì tổng AH + HM lớn nhất.
-------------------- HẾT --------------------