Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông

Tài liệu gồm 26 trang, hướng dẫn sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải một số dạng bài tập liên quan trong chương trình Hình học 9 chương 1. Mời bạn đọc đón xem.

80 40 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Môn: Toán 9

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
1
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
MỤC LỤC
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ..................................................... 1
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ........... 2
. Lý thuyết .......................................................................................................................... 2
. Bài tập ............................................................................................................................... 2
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN .................................................................. 10
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 10
. Bài tập ............................................................................................................................. 11
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ......... 16
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 16
. Bài tập ............................................................................................................................. 16
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ ........... 18
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 18
. Bài tập ............................................................................................................................. 18
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ..................................................................................... 21
Chủ đề
1
HỆ THỨC LƯỢNG
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
2
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
. Lý thuyết
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau:
1.
2
.AB BH BC=
hay
2
'
c ac
=
2
.AC CH BC
=
hay
2.
2
= .HA HB HC
hay
2
''
h cb
=
3.
. . AB AC BC AH=
hay
cb ah=
4.
222
1 11
AH AB AC
= +
hay
2 22
1 11
.
hcb
= +
5.
2 22
BC AB AC= +
(Định lí Pitago)
. Bài tập
Vận dụng hệ thức 1:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Vẽ đường cao AH.
Ta có
HB 9 HB HC HB HC 20
HC 16 9 16 9 16 25
+
=⇒== =
+
Suy ra
9.20
HB 7, 2
25
= =
(cm);
16.20
HC 12,8
25
= =
(cm)
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ta có:
2
. 20.7, 2 144AB BC BH= = =
⇒ AB = 12 (cm);
2
. 20.12,8 256AC BC CH= = =
⇒ AC = 16 (cm).
Vậy diện tích ∆ABC là
11
S ABAC 12.16 96
22
= =⋅=
(cm
2
).
Cách giải khác:
Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức:
2
.AH HB HC=
(hệ thức 2).
2
7, 2.12,8 92,16
AH = =
⇒ AH = 9,6 (cm).
Diện tích ∆ABC là
11
S BCAH 20.9,6 96
22
= =⋅=
(cm
2
).
a
h
b'
c'
b
c
H
A
B
C
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
3
Bài 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ
đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia
ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:
2 2 222
3 4 25 5BC AB AC BC= + =+=⇒ =
cm
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
2
.BA BH BC=
22
39
55
BA
BH BH BH
BC
⇒= ⇒=⇒=
(cm)
22
2
4 16
.
55
CA
CA CH CB CH CH CH
CB
= ⇒= ⇒=⇒=
(cm)
22
9 16 12
..
55 5
AH HB HC AH AH= ⇒ = ⇒=
(cm)
(Có thể tính đường cao AH bởi công thức
222
1 11
AH AB AC
= +
)
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau
tại O. Biết
OA 2 3=
cm, OB = 2cm, tính độ dài AB.
Hướng dẫn giải
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D.
Ta có
1
D B 90
°
+=
2
B 90
AOD
°
+=
mà
12
BB=
nên
AOD
D=
Do đó ∆AOD cân tại A. Suy ra
23AD AO= =
(cm).
Vẽ AH ⊥ OD thì HO = HD.
Ta đặt
HO HD x= =
thì
2 2.BD x= +
Xét ∆ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có
2
..AD BD HD=
Suy ra
2
(2 3) (2 2)xx= +
Từ đó ta được phương trình:
2
2 2 –12 0xx+=
⇔ (x – 2)(x + 3) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −3.
4
3
H
C
A
B
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
4
Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = −3 bị loại.
Do đó
2226BD =++=
(cm). Suy ra
22
6 (2 3) 24 2 6
AB =−==
(cm).
Vận dụng hệ thức 2:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH
và ACH lần lượt là 54cm
2
và 96cm
2
. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải
Ta có
1
54
2
ABH
S AHBH= =
Suy ra
. 108AH BH =
. (1)
ACH
1
S AH.CH 96
2
= =
Suy ra
. 192AH CH
=
. (2)
Từ (1) và (2) ta được:
2
. . 108.192.AH BH CH
=
Mặt khác
2
.AH BH CH=
(hệ thức 2). Suy ra
44
12AH =
⇒ AH = 12 (cm).
Ta có
54 96 150
ABC
S = +=
(cm
2
) mà
1
2
ABC
S BCAH=
nên
1
BCAH 150
2
=
Suy ra
150.2
BC 25
12
= =
(cm).
Bài 2: Cho hình thang ABCD,
0
90AD= =
Hai đường chéo vuông góc với nhau tại
O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.
a) Tính diện tích hình thang;
b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Tính độ dài MN.
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải
Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có
thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính
OA và OC.
* Trình bày lời giải
a) • Xét ∆ABD vuông tại A có AO ⊥ BD nên
2
.OA OB OD=
(hệ thức 2).
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
5
Do đó
2
5,4.15 81OA = =
⇒ OA = 9 (cm).
• Xét ∆ACD vuông tại D có OD ⊥ AC nên
2
.OD OA OC=
(hệ thức 2).
22
OD 15
OC 25
OA 9
⇒= ==
(cm).
Do đó
25 9 34AC = +=
(cm);
5, 4 15 20, 4
BD = +=
(cm).
Diện tích hình thang ABCD là:
ACBD 34.20, 4
S 346,8
22
= = =
(cm
2
).
b) Xét ∆ADC có OM // CD nên
OM AO
CD AC
=
(hệ quả của định lí Ta-lét). (1)
Xét ∆BDC có ON // CD nên
ON BN
CD BC
=
(hệ quả của định lí Ta-lét). (2)
Xét ∆ABC có ON // AB nên
AO BN
AC BC
=
(định lí Ta-lét). (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
OM ON
CD CD
=
Do đó OM = ON.
Xét ∆AOD vuông tại O, OM ⊥ AD nên
2 22
1 11
OM OA OD
= +
(hệ thức 4).
Do đó
22 2
1 11
OM 7,7
OM 9 15
=+⇒ ≈
(cm).
Suy ra
7,7.2 15, 4
MN
≈=
(cm).
Vận dụng hệ thức 4:
Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia
AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức
22
11
P
AM AN
= +
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải
Biểu thức
22
11
AM AN
+
gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4)
2 22
1 11
hbc
= +
để giải. Muốn vậy
phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN.
* Trình bày lời giải
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
6
K
H
D
B
C
A
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E.
∆ADE và ∆ABM có
D B 90
°
= =
AD = AB;
12
AA=
(cùng phụ với
DAM
).
Do đó
( )
.. .ADE ABM g c g∆=∆
Suy ra AE = AM.
Xét ∆AEN vuông tại A có AD ⊥ EN nên
22 2
11 1
AE AN AD
+=
Mặt khác
; 1
AE AM AD= =
nên
22
11
1
AM AN
+=
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh
rằng :
22 2
11 1
4BK BC AH
= +
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức
lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức
2 22
1 11
hbc
= +
’’. Một thủ thuật để nhận ra tam
giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác
vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường
phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.
* Trình bày lời giải
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.
Vì
∆
ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến
⇒
BH = HC.
Xét
∆
BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD (
⊥
BC )
⇒
CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ).
Nên AH là đường trung bình của
∆
BCD
⇒
AH =
1
2
AH BD=
⇒
BD = 2AH. (1)
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
7
Xét
∆
BCD có
0
90DBC =
; BK
⊥
CD ( K
∈
CD )
⇒
2 22
1 11
BK BC BD
= +
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
22 2
11 1
4BK BC AH
= +
(đpcm)
Vận dụng nhiều hệ thức
Bài 1: Cho hình thang ABCD,
ˆ
ˆ
90AD
°
= = =
hai đường chéo vuông góc với nhau
tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD.
Hướng dẫn giải
∆ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có:
2 2 2 22
12 16 400AC AD DC= + =+=
.
Suy ra AC = 20 (cm).
∆ADC vuông tại D, DO là đường cao nên
. .AD DC AC DO=
(hệ thức 3).
Suy ra
ADDC 12.16
OD 9, 6
AC 20
= = =
(cm).
Ta lại có
2
.AD AC AO=
(hệ thức 1) nên
22
AD 12
OA 7, 2
AC 20
= = =
(cm).
Do đó
20 – 7,2 12,8OC = =
(cm).
Xét ∆ABD vuông tại A, AO là đường cao nên
2
.AO OB OD=
(hệ thức 2).
22
AO 7, 2
OB 5, 4
OD 9,6
⇒= = =
(cm).
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
8
Bài 2: (Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau) Cho tam giác ABC vuông tại
A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. )
Hướng dẫn giải
*Cách 1: Ta có
ABC∆
vuông tại A nên :
2 2 22
8 6 10( )BC AB AC cm= + = +=
(Định lý Pytago)
ABC∆
vuông tại A, AH
⊥
BC, nên
..
AH BC AB AC=
.
4,8( )
AB AC
AH cm
BC
⇒= =
*Cách 2:
ABC∆
vuông tại A, AH
⊥
BC, nên:
22
2
2 2 2 22
1 1 1 . 64.36
4.8( )
100
AB AC
AH AH cm
AH AB AC AB AC
= + ⇒ = ⇒= =
+
*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có
2 2 2 22
8 6 100BC AB AC= + =+=
nên suy ra BC=10cm.
ABC∆
vuông tại A nên:
2
2
. 6.4( )
AB
BH BC AB BH cm
BC
= ⇒= =
. Mà
3, 6HC BC BH=−=
(cm)
ABC∆
vuông tại A, AH
⊥
BC, nên:
22
. 4.8 4.8( )AH BH HC AH cm
= =⇒=
*Cách 4: Gọi M là trung điểm BC.
Ta có :
1
5
2
BM AM BC cm= = =
+ Tính được BH=6.4cm
+ Nên
6, 4 5 1( )MH BH BM cm= − = −=
Áp dụng định lý Pitago vào
HAM∆
vuông tại H:
2 2 22
5 1, 4 4,8( )AH AM MH cm= − =−=
M
H
A
C
B
H
A
C
B
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
9
Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp.
Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giác
ABC
vuông tại
,
A
đường cao
.AH
Nếu biết độ dài hai
trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn
thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức
( )
1 (5)→
Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo
hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao
trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
a
h
b'
c'
b
c
H
A
B
C
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
10
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
. Lý thuyết
1. Định nghĩa
•
sin
α
=
c¹nh ®èi
c¹nh huyÒn
•
cos
α
=
c¹nh kÒ
c¹nh huyÒn
•
tan
α
=
c¹nh ®èi
c¹nh kÒ
•
cot
α
=
c¹nh kÒ
c¹nh ®èi
Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác đều dương và
1; 1.sina cosa<<
2. Định lí
Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này
bằng côtang của góc kia.
3. Một số hệ thức cơ bản
sin
tan
cos
α
α
α
=
(1);
cos
cot
sin
α
α
α
=
(2);
. 1
tan cot
αα
=
(3);
22
1 sin cos
αα
+=
(4).
4. So sánh các tỉ số lượng giác
Cho
,
αβ
là hai góc nhọn. Nếu
αβ
<
thì
•
sin sin
αβ
<
;
;tan tan
αβ
<
•
;cos cos
αβ
>
.cot cot
αβ
>
Bảng lượng giác một số góc đặc biệt
0
0
0
30
0
45
0
60
0
90
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
3
3
1
3
||
cot
||
3
1
3
3
0
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
11
Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính
các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.
Hướng dẫn giải
Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có
2 2 22
9 12 15BC AC AB= + = +=
(dm)
Vậy
93
15
5
AC
BC
sin B
=
=
=
12 4
15 5
AB
B
o
C
C sB == =
;
93
12
4
AC
AB
tan B
== =
;
12 4
9
3
AB
AC
cot B == =
Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:
3
5
Sin B cos C= =
;
4
5
Cos B sin C
= =
;
3
4
tanB cot C= =
;
4
3
cotB tan C= =
. Bài tập
Bài 1: Chứng minh các hệ thức:
a)
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+=
b)
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+=
Hướng dẫn giải
a) Ta có
2
2 22
2
222
sin sin cos sin 1
1 tan 1 1
cos cos cos cos
α α αα
α
α ααα
+

+=+ =+ = =


a) Ta có
2
2 22
2
2 22
cos cos sin cos 1
1 cot 1 1
sin sin sin sin
α ααα
α
α ααα
+

+=+ =+ = =


Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến
đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.
Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.
9
12
A
C
B
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
12
Bài 2: Cho
α
là một góc nhọn. Chứng minh rằng:
a)
;sin tan
αα
<
b)
cos cot
αα
<
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
sin
AC
BC
α
=
tan
AC
AB
α
=
mà BC > AB nên
AC AC
BC AB
<
Do đó
;sin tan
αα
<
b) Ta có
cos
AB
BC
α
=
cot
AB
AC
α
=
mà BC > AC nên
AB AB
BC AC
<
Do đó
cos cot
αα
<
Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.
Bài 3: Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ
với sin của các góc đối diện:
abc
sin A sin B sin C
= =
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải:
Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một
góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.
* Trình bày lời giải:
Vẽ đường cao CH.
Xét ∆ACH vuông tại H ta có:
CH
sin A
AC
=
(1)
Xét ∆BCH vuông tại H ta có:
CH
sin B
BC
=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
sin
:
sin
A CH CH BC a
B AC BC AC b
= = =
. Do đó
ab
sin A sin B
=
Chứng minh tương tự ta được
sin sin
bc
BC
=
Vậy
abc
sin A sin B sin C
= =
Lưu ý: Nếu ∆ABC có
C 90
°
≥
thì ta vẫn có:
ab
sin A sin B
=
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
13
Bài 4: Tìm góc x, biết rằng:
a)
3 ;
tan x cot x=
b)
sin cos 2xx+=
Hướng dẫn giải
a)
3 ;tan x cot x
=
. Suy ra
3
tan
tan
x
x
=
(vì
1
cot
tan
x
x
=
).
Do đó
2
3
tan x =
⇒
tan 3 tan 60
x
°
= =
Vậy
60 .
o
x =
b)
sin cos 2xx+=
Bình phương hai vế ta được:
22
2 . 2sin x sin x cos x cos x+ +=
⇔
2 . 1 2sin x cos x +=
(vì
22
1sin x cos x+=
)
⇔
2 . 1sin x cos x =
⇔
1 – 2 . 0
sin x cos x
=
⇔
22
2 . 0
sin x sin x cos x cos x
− +=
⇔
( )
2
– 0sin x cos x
=
. Do đó
sin x cos x=
⇔
90 – ) (
o
sin x sin x=
(vì
90 – )
(
o
cos x sin x=
)
Dẫn tới
90 – 2 90 45 .
o oo
x xx x= ⇔= =
⇔
Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ
số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ
số lượng giác đó
Bài 5: Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng
cách hợp lí:
a)
22 2 2 2
P sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89
°°° ° °
= + + +…+ +
b)
0000000
tan15 .tan 25 .tan 35 . tan 45 .tan 55 .tan 65 .tan 75Q =
c) Biết
20
cos
29
α
=
Tính
,sin
α
tan
α
và
cot .
α
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của
góc này bằng côtang góc kia, ta có:
a)
22 2 2 2
P sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89
°°° ° °
= + + +…+ +
( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2 2
sin 1 sin 89 sin 2 sin 88 .... sin 44 sin sin46 45
°° °° °° °
=+ ++++ ++
( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2 2
os 1 os 2 os 44sin 1 sin 2 .... sin 44 45sincc c
°° ° ° ° ° °
= + ++ + +++
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
14
=
2
2
1 1 1 ... 1 44,5
2

+++ ++ =



b)
0000000
tan15 .tan 25 .tan 35 . tan 45 .tan 55 .tan 65 .tan 75Q =
( ) ( ) ( )
00 00 00 0
tan15 .tan 75 . tan 25 .tan 65 . tan 35 .tan 55 . tan 45=
( ) ( ) ( )
00 0 0 0 0 0
tan15 .cot15 . tan 25 .cot 65 . tan 35 .cot 35 . tan 45=
1.1.1.1 1= =
c) Ta có
22
1sin cos
αα
+=
2
22
20 441
sin 1 cos 1
29 841
αα

⇒=−=−=


Do đó
21
sin
29
α
=
sin 21 20 21
tan :
cos 29 29 20
α
α
α
= = =
20
cos
21
α
=
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính
sin , sinBC
biết rằng:
a) AB = 13 và BH = 5; b) BH = 3 và CH = 4.
Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao
AH ta có
2
.AB BH BC=
22
13
33, 8
5
AB
BC
BH
⇒= ==
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác
vuông ABC ta có:
22
31, 2AC BC AB= −=
31, 2 12
33,8 13
AC
SinB
BC
= = =
13 5
33,8 13
AB
SinC
BC
= = =
b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta
có
2
. 3.4AH BH CH= =
23AH⇒=
Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có
2 22
3 12 21AB HB AH= + = +=
23 2
21 7
AH
SinB
AB
= = =
5
13
H
B
A
C
3
4
H
B
A
C
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
15
D
C
B
A
Tam giác ABC vuông,
34 7
BC BH HC
= + =+=
Theo định lý Pytago ta có
22
49 21 28 2 7AC BC AB= − = −= =
21
7
AB
SinC
BC
= =
Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có
22
12 16 28
AC AH HC= + = +=
12 3 21
77
28
AH
SinC
AC
= = = =
Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng
tan
2
ABC AC
AB BC
=
+
Hướng dẫn giải
Vẽ đường phân giác BD của
∆
ABC ( D
∈
AC ).
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có :
AD AB
DC BC
=
AD DC
AB BC
⇔=
AD AD DC AD AC
AB AB BC AB AB BC
+
⇒= ⇒=
++
.
Xét
∆
ABD có
0
90BAD
=
tan
AD
ABD
AB
⇒=
⇔
tan
2
ABC AC
AB BC
=
+
Vậy
tan
2
ABC AC
AB BC
=
+
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
16
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
. Lý thuyết
1. Định lí
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.
Trong hình vẽ bên thì:
. . b a sin B a cos C= =
;
. . c a sin C a cos B
= =
;
. . b c tan B c cot C= =
;
. . c b tan C b cot B= =
;
2. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông khi biết hai yếu tố của nó (trong
đó ít nhất có một yếu tố về độ dài).
. Bài tập
Bài 1: Giải tam giác ABC biết
B 35
°
=
;
C 50
°
=
và đường cao AH = 5,0cm.
Hướng dẫn giải
Ta phải tìm
A
AB, AC và BC.
A 180 (B C) 95
°°
= −+=
• Xét ∆ABH vuông tại H ta có:
. AH AB sin B=
AH 5, 0
AB 8, 7(cm)
sin B sin 35
°
⇒= = ≈
. 5, 0. 35 7,1
o
BH AH co t B cot=≈≈
(cm).
• Xét ∆ACH vuông tại H ta có
. AH AC s in C=
AH 5, 0
AC 6,5(cm)
sin C sin 50
°
⇒= = ≈
. 5,0. 50 4, 2
o
CH AH cot C cot=≈≈
(cm).
Do đó
7,1 4,2 11,3BC BH CH=+=+=
(cm).
Vậy
ˆ
95A
°
=
; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm.
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
17
Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:
. BH AB cos B=
;
. .CH AC co s C=
Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được
chính xác hơn.
Bài 2: Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và Tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải
Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó
tính được BC.
* Trình bày lời giải
Vẽ đường cao AH. Xét ∆ABH vuông tại H có:
. 14. 40 9,0
o
AH AB sin B sin
= = ≈
(cm).
. 14. 40 10,7
o
BH AB cos B cos= = ≈
(cm).
Xét ∆AHC vuông tại H có:
2 2 22
HC AC AH 11 9 6,3
= − = −≈
(cm).
• Nếu H nằm giữa B và C thì
10,7 6,3 17BC BH HC= +≈ + =
(cm).
• Nếu C' nằm giữa B và H thì
' – ' 10, 7 6,3 4, 4BC BH HC= ≈−=
(cm).
Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài toán có 2 nghiệm hình
Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và
B 70
°
=
Tính độ dài BC.
Hướng dẫn giải
Vẽ đường cao AH. Xét ∆ABH vuông tại H có:
. 3, 2. 70 3, 0
o
AH AB sin B sin= = ≈
(cm).
. 3, 2. 70 1,1
o
BH AB cos B cos ≈= =
(cm).
Xét ∆AHC vuông tại H có:
2 2 22
HC AC AH 5,0 3,0 4,0= − ≈ −=
(cm).
Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp
điểm H nằm giữa B và C. Ta có
1,1 4,0 5,1BC BH HC= + ≈+ =
(cm).
o
B 40 .=
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
18
x
?
9
20
H
C
B
A
x
2x
8cm
60
°
H
C
B
A
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
. Lý thuyết
- Thường gọi độ dài một cạnh cần tìm là ẩn, từ đó thiết lập phương trình, giải phương
trình tính ra kết quả
. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm.
Tính độ dài AH.
Hướng dẫn giải
Đặt
BH x=
. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao
AH. Ta được:
2
.
AB BH BC
=
hay
( )
2
20 9 .xx= +
Thu gọn ta được phương trình :
2
9 – 400 0xx+=
Giải phương trình này ta được
1
16x =
;
2
–25x =
(loại)
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả
Bài 2: Cho tam giác ABC ,
0
60B =
, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ
dài cạnh AB.
Hướng dẫn giải
Kẻ AH
⊥
BC. Đặt
2AB x=
. Từ đó tính được
BH x=
và
3AH x=
;
8 – HC x=
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
Ta có: AC =
( )
( )
2
2
38xx+−
=
2
4 16 64xx−+
Do AB + AC = 12 nên
2
2 4 16 64 12xx x+ − +=
Giải PT trên ta được : x = 2,5
AB = 2.2,5 = 5cm
Chú ý: Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC =
10 3
cm.
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
19
1 0c m
X
X
H
K
D
C
B
A
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
BD =
10
cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Bài giải sơ lược
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm.
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được
22
9AC x= −
.
Do AD = 1 nên DC =
2
9x −
– 1
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên :
AB AD
BC DC
=
hay
2
31
91
x
x
=
−−
. Từ đó ta được phương trình
2
8 – 6 – 90 0xx =
Giải phương trình tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm
Bài 4: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Hướng dẫn giải
Kẻ AH
⊥
CD ; BK
⊥
CD. Đặt AH = AB = x
⇒
HK = x
AHD BKC
∆=∆
(cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra :
10
2
D
x
H CK= =
−
.
Vậy
10
2
HC HK CK x
x
+=+
−
=
=
10
2
x +
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH
Ta có :
2
. AH DH CH=
hay
2
10 10
.
22
xx
x
−+
=
⇔
2
5 100x =
Giải phương trình trên ta được
2
5x =
và
5 2x = −
(loại)
Vậy :
25 AH =
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
10
cm
1cm
D
C
B
A
x
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
20
2x
12
15,6
//
//
K
H
C
B
A
Hướng dẫn giải
Đặt
2BC x=
, từ tính chất của tam giác cân ta suy ra
CH x=
Áp dụng định lí Pitago tính được
22
15, 6 xAC = +
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được:
BC KB
AC AH
=
hay
22
2 12
15, 6
15, 6
x
x
=
+
Đưa về phương trình
22 2
15, 6 6,76xx+=
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5
Vậy
., = =BC 2 6 5 13
(cm)
Bài 6: Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung
tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm.
Hướng dẫn giải
Đặt
AB x=
;
AN y=
⇒
2AC y
=
.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam
giác vuông ứng với cạnh huyền ta được
2 2.6 12BC AM
= = =
(cm)
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC
và ABN vuông tại A
Ta được:
22
4 144xy+=
( )
1
và
22
81xy+=
⇔
22
81– yx=
( )
2
Thay
( )
2
vào
( )
1
ta được phương trình :
( )
22
4 81 – 144 xx+=
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình :
2
3 180x =
Nghiệm dương của phương trình :
2 5x =
Trả lời:
25 AB =
cm
A
/
/
//
//
6
9
N
M
C
B
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
21
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM
BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết
5
7
AB
AC
=
. Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC.
Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH.
Tính HD, HB, HC.
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm,
1
4
HB
HC
=
.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính
độ dài AH.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 1cm;
BD =
10
cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC ,
= 60
, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài 8: a. Cho tam giác ABC có
= 60
,
󰆹
= 50
,  = 35 . Tính diện tích tam giác
ABC.
b. Cho tứ giác ABCD có
󰆹
=
= 90
,
󰆹
= 40
,  = 4,  = 3. Tính diện
tích tứ giác.
c. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết  = 4,  =
5, 
= 50
. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi
∆ACH bằng 4dm. Tính BH, CH và chu vi ∆ABC.
Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm,
=B
0
60
và
=A
0
90
a) Tính đường chéo BD.
b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC.
c) Tính HK. d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
22
Bài 12: Cho
∆
ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao
cho
.AD DE EC= =
a) Chứng minh
DE DB
DB DC
=
. b) Chứng minh
BDE
∆
đồng dạng
∆
CDB.
c) Tính tổng 
+ 
.
Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông
góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
a)
Tính
 

b) Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ⊥ AB. Trên Ox lấy
điểm D sao cho
a
OD
2
=
. Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD.
a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm
trên một đường tròn.
Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB
và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 
= 
= 90
. Chứng minh: AM = AN.
Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết
AB
AC
20
21
=
và AH = 420. Tính
chu vi tam giác ABC.
Bài 17:
Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với
nhau tại O. Biết  = 2
13
; OA = 6. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC =
35
cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2
cm có D
∈
AB, E
∈
BC, F
∈
AC. Biết AB > AC và
4
9
ADEF ABC
SS=
. Tính AB ; AC.
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C
trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI.
Bài 20: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F. Chứng minh:
2 22
1 11
AE AF a
+=
Bài 21: Cho hình thang ABCD có
=
󰆹
= 90
. Hai đường chéo vuông góc với nhau
tại H. Biết AB =
35
cm, HA = 3cm. Chứng minh:
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8
b)
22 2 2
11 11
AB CD HB HC
−=−
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
23
Bài 22: Cho
ABC∆
nhọn. đường cao AD và BE. Gọi
I AD∈
và
Q BE
∈
sao cho
^^
0
90BIC AQC= =
.
a) Chứng minh: CA.CE = CD.CB
b) Chứng minh:
IQC
∆
là tam giác cân
c) BI cắt AQ tại K. Chứng minh:
CK IQ⊥
Bài 23: Cho
ABC∆
vuông tại A. Đường cao AH. Biết AC = 12cm, BC = 15cm.
a) Tính HA, HB, HC.
b) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC.
Chứng minh: AE.AB = AF.AC
c) Chứng minh: HE
2
+ HF
2
= HB.HC
Bài 24: Cho hình vẽ:
a/ Tính AC
b/ Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX.
Hãy tính XY.
c/ Tính diện tích tam giác BCX.
Bài 25: Cho hình vẽ dưới đây biết  = 60 . Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt
AB tại P. Tính:
a/ AP; BP b/ CP và diện tích tam giác ABC.
Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm
a/ Tính đường cao AH, số đo góc B và C.
b/ Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.
c/ Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính
chu vi và diện tích tứ giác AEDF.
D
C
B
A
X
Y
4,1
5,5
2,8
123
°
74
°
30
°
20
°
P
C
B
A
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
24
Bài 27: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên AC lấy các điểm D và E sao
cho
AD DE EC= =
.
a/ Chứng minh
DE DB
DB DC
=
b/ Chứng minh ∆BDE đồng dạng với ∆CDB.
c/ Tính tổng 
+ 
.
Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A,
󰆹
= 30
;  = 10 .
a/ Tính AB, AC.
b/ Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của
góc. Chứng minh MN// BC và MN = AB.
c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy
điểm I sao cho  =
1
3
. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.
a/ Tính các góc của tam giác ABC.
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung
tuyến AM . Các tia phân giác của các góc AMB; AMC cắt đường thẳng d lần lượt tại D
và E. Chứng minh:
a) Tứ giác BCED là hình thang
b) BD . CE =
2
4
BC
c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC
Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính chu vi và
diện tích hình thang cân đó biết đáy nhỏ bằng 14 cm , đáy lớn bằng 50 cm .
Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng
minh:
2
22 2
22
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+= +
−=
Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD =
8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
25
Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A
qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu
của D trên HE.
a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính tg IED và tg HCE.
c) Chứng minh 
= 
d) Chứng minh:
DE EC⊥
.
Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:
a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC
b) . .  = . . . . . 
Bài 36: Giải tam giác ABC, biết:
a)
󰆹
= 90
,  = 10,
= 75
.
b) 
= 120
,  =  = 6.
c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền
= 5, đường cao AH = 4.
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền
= 5, một góc nhọn bằng 47
o
.
Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a) Giải tam giác vuông ABC. b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF =
AH.
c) Tính: EA.EB + AF.FC.
Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Cho biết khoảng cách từ O
đến mỗi cạnh hình thoi là h; AC = m; BD = n. Chứng minh rằng:
+
=

.
Bài 39: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6. Biết 24. AB = 7. AC. Tìm độ
dài các cạnh và số đo các góc của tam giác.
Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD),  = 2,  = 6 và chiều cao bằng 4.
Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh bên.
Bài 41: Cho tam giác ABC có
= 40
,
󰆹
= 60
, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc
AMC.
Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng
=
+
2
=
+
2
=
+
2
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
26
Bài 43: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có
󰆹
= 30
,
= 60
,  = 2,  = 6.
a. Tìm AD.
b. Tính diện tích hình thang.
Bài 44: Cho tứ giác ABCD có
󰆹
+
= 90
. Chứng minh rằng: 
+ 
= 
+ 
Bài 45: Cho tam giác ABC cân tại A,
󰆹
< 90
,  =  = 2
2 ,  =
2 .Kẻ
đường cao BH. Chứng minh rằng: AH = 7.HC
---------------------- HẾT-----------------------
(Nguồn 45 bài tập tự luyện của thầy Bùi Anh Tuấn – VT – VP)
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

1
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
ủ đề 1 HỆ THỨC LƯỢNG Ch TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG MỤC LỤC
A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ..................................................... 1
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG ........... 2
. Lý thuyết .......................................................................................................................... 2
. Bài tập ............................................................................................................................... 2
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN .................................................................. 10
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 10
. Bài tập ............................................................................................................................. 11
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG ......... 16
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 16
. Bài tập ............................................................................................................................. 16
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ ........... 18
. Lý thuyết ........................................................................................................................ 18
. Bài tập ............................................................................................................................. 18
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM ..................................................................................... 21
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 2
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có các hệ thức sau: 1. 2
AB = BH.BC hay 2 c = ac' A 2
AC = CH.BC hay 2 b = ab' 2. 2 HA = . HB HC hay 2 h = c'b' c b h 3. . AB AC = BC.
AH hay cb = ah B c' H b' C 4. 1 1 1 1 1 1 = + hay = + . 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 h c b a 5. 2 2 2
BC = AB + AC (Định lí Pitago) . Bài tập
Vận dụng hệ thức 1:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 20cm. Biết tỉ số hai hình chiếu của hai cạnh
góc vuông trên cạnh huyền là 9 : 16. Tính diện tích tam giác ABC. Hướng dẫn giải Vẽ đường cao AH. Ta có HB 9 HB HC HB + HC 20 = ⇒ = = = HC 16 9 16 9 +16 25 Suy ra 9.20 HB = = 7,2 (cm); 16.20 HC = = 12,8 (cm) 25 25
Xét ∆ABC vuông tại A, đường cao AH ta có: 2
AB = BC.BH = 20.7,2 =144 ⇒ AB = 12 (cm); 2 AC = .
BC CH = 20.12,8 = 256 ⇒ AC = 16 (cm). Vậy diện tích ∆ABC là 1 1
S = ABAC = ⋅12.16 = 96 (cm2). 2 2 Cách giải khác:
Sau khi tính được HB và HC, ta tính AH theo công thức: 2 AH = .
HB HC (hệ thức 2). 2
AH = 7,2.12,8 = 92,16 ⇒ AH = 9,6 (cm). Diện tích ∆ABC là 1 1
S = BCAH = ⋅20.9,6 = 96 (cm2). 2 2
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 3
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 2:
Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 cm và 4 cm , kẻ
đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền. Hướng dẫn giải
Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao.
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC: 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 3 + 4 = 25 ⇒ BC = 5 cm A
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 2 2 BA = . BH BC BA 3 9 ⇒ BH = ⇒ BH = ⇒ BH = (cm) 4 3 BC 5 5 2 2 2 CA 4 16
CA = CH.CB ⇒ CH = ⇒ CH = ⇒ CH = (cm) CB 5 5 B H C 2 2 9 16 12 AH = H .
B HC ⇒ AH = . ⇒ AH = (cm) 5 5 5
(Có thể tính đường cao AH bởi công thức 1 1 1 = + ) 2 2 2 AH AB AC Bài 3:
Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau
tại O. Biết OA = 2 3 cm, OB = 2cm, tính độ dài AB. Hướng dẫn giải
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB cắt tia BO tại D. Ta có   D B 90° + =   AOD B 90° + = 1 2 mà  =  B B nên  =  AOD D 1 2
Do đó ∆AOD cân tại A. Suy ra AD = AO = 2 3 (cm). Vẽ AH ⊥ OD thì HO = HD.
Ta đặt HO = HD = x thì BD = 2x + 2.
Xét ∆ABD vuông tại A, đường cao AH, ta có 2 AD = B . D H . D Suy ra 2
(2 3) = x(2x + 2) Từ đó ta được phương trình: 2
2x + 2x –12 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 3) = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −3.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 4
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Giá trị x = 2 được chọn, giá trị x = −3 bị loại.
Do đó BD = 2 + 2 + 2 = 6 (cm). Suy ra 2 2
AB = 6 − (2 3) = 24 = 2 6 (cm).
Vận dụng hệ thức 2:
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết diện tích các tam giác ABH
và ACH lần lượt là 54cm2 và 96cm2. Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải Ta có 1 S = AHBH = ABH 54 2
Suy ra AH.BH =108 . (1) 1 S
= AH.CH = 96 Suy ra AH.CH = 192 . (2) ACH 2 Từ (1) và (2) ta được: 2
AH .BH.CH =108.192. Mặt khác 2 AH = .
BH CH (hệ thức 2). Suy ra 4 4
AH = 12 ⇒ AH = 12 (cm). Ta có S = + = (cm2) mà 1 S
= BCAH nên 1 BCAH =150 ABC 54 96 150 ABC 2 2 Suy ra 150.2 BC = = 25 (cm). 12 Bài 2:
Cho hình thang ABCD,  =  0
A D = 90 Hai đường chéo vuông góc với nhau tại
O. Biết OB = 5,4cm; OD = 15cm.
a) Tính diện tích hình thang;
b) Qua O vẽ một đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại M và N. Tính độ dài MN. Hướng dẫn giải * Tìm cách giải
Đã biết đường chéo BD nên cần tìm đường chéo AC là có
thể tính được diện tích hình thang. Muốn vậy phải tính OA và OC. * Trình bày lời giải
a) • Xét ∆ABD vuông tại A có AO ⊥ BD nên 2 OA = .
OB OD (hệ thức 2).
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 5
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Do đó 2
OA = 5,4.15 = 81 ⇒ OA = 9 (cm).
• Xét ∆ACD vuông tại D có OD ⊥ AC nên 2 OD = . OAOC (hệ thức 2). 2 2 OD 15 ⇒ OC = = = 25 (cm). OA 9
Do đó AC = 25+ 9 = 34 (cm); BD = 5,4 +15 = 20,4 (cm).
Diện tích hình thang ABCD là: ACBD 34.20,4 S = = = 346,8 (cm2). 2 2
b) Xét ∆ADC có OM // CD nên OM AO =
(hệ quả của định lí Ta-lét). (1) CD AC
Xét ∆BDC có ON // CD nên ON BN =
(hệ quả của định lí Ta-lét). (2) CD BC
Xét ∆ABC có ON // AB nên AO BN = (định lí Ta-lét). (3) AC BC
Từ (1), (2), (3) suy ra OM ON = CD CD Do đó OM = ON.
Xét ∆AOD vuông tại O, OM ⊥ AD nên 1 1 1 = + (hệ thức 4). 2 2 2 OM OA OD Do đó 1 1 1 = + ⇒ OM ≈ 7,7 (cm). 2 2 2 OM 9 15
Suy ra MN ≈ 7,7.2 = 15,4 (cm).
Vận dụng hệ thức 4: Bài 1:
Cho hình vuông ABCD cạnh 1. Gọi M là một điểm nằm giữa B và C. Tia
AM cắt đường thẳng CD tại N. Tính giá trị của biểu thức 1 1 P = + 2 2 AM AN Hướng dẫn giải * Tìm cách giải Biểu thức 1 1 +
gợi ý cho ta vận dụng hệ thức (4) 1 1 1 = + để giải. Muốn vậy 2 2 AM AN 2 2 2 h b c
phải tạo ra một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng AM, AN. * Trình bày lời giải
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 6
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại E. ∆ADE và ∆ABM có   D B 90° = = AD = AB;  = 
A A (cùng phụ với  DAM ). 1 2 Do đó A ∆ DE = A ∆ BM (
g. .cg). Suy ra AE = AM.
Xét ∆AEN vuông tại A có AD ⊥ EN nên 1 1 1 + = 2 2 2 AE AN AD
Mặt khác AE = AM; AD = 1 nên 1 1 + = 1 2 2 AM AN Bài 2:
Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK. Chứng minh rằng : 1 1 1 = + 2 2 2 BK BC 4AH Hướng dẫn giải
* Tìm cách giải: Để chứng minh đẳng thức trên người ta thường nghĩ ngay đến hệ thức
lượng trong tam giác vuông “ Hệ thức 1 1 1 = +
’’. Một thủ thuật để nhận ra tam 2 2 2 h b c
giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền là vẽ đường phụ để tạo ra tam giác
vuông tại B có đường cao là BK, cạnh góc vuông là BC. Khi đó ta nghĩ ngay đường
phụ cần vẽ cạnh góc vuông còn lại.
* Trình bày lời giải
Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia đối của tia AC tại D.
Vì ∆ ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến ⇒ BH = HC. D
Xét ∆ BCD có BH = HC (c/m trên) ; AH // BD ( ⊥ BC )
⇒ CA = AD (t/c đường trung bình của tam giác ). A
Nên AH là đường trung bình của ∆ BCD K ⇒ 1
AH = AH = BD ⇒ BD = 2AH. (1) 2 B H C
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 7
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Xét ∆ BCD có  0
DBC = 90 ; BK ⊥ CD ( K ∈ CD ) ⇒ 1 1 1 = + (2) 2 2 2 BK BC BD Từ (1) và (2) ⇒ 1 1 1 = + (đpcm) 2 2 2 BK BC 4AH
Vận dụng nhiều hệ thức Bài 1:
Cho hình thang ABCD, ˆA ˆD 90° = =
= hai đường chéo vuông góc với nhau
tại O. Cho biết AD = 12cm; CD = 16cm. Tính các độ dài OA, OB, OC, OD. Hướng dẫn giải
∆ADC vuông tại D, theo định lí Py-ta-go ta có: 2 2 2 2 2
AC = AD + DC =12 +16 = 400 . Suy ra AC = 20 (cm).
∆ADC vuông tại D, DO là đường cao nên A .
D DC = AC.DO (hệ thức 3). Suy ra ADDC 12.16 OD = = = 9,6 (cm). AC 20 2 2 Ta lại có 2 AD = .
AC AO (hệ thức 1) nên AD 12 OA = = = 7,2 (cm). AC 20
Do đó OC = 20 – 7,2 =12,8 (cm).
Xét ∆ABD vuông tại A, AO là đường cao nên 2 AO = .
OB OD (hệ thức 2). 2 2 AO 7,2 ⇒ OB = = = 5,4 (cm). OD 9,6
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 8
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 2:
(Hãy giải bằng nhiều cách khác nhau)
Cho tam giác ABC vuông tại
A, AH là đường cao. Biết AB=8cm, AC=6cm. Tính độ dài AH. ) Hướng dẫn giải A
*Cách 1: Ta có A
∆ BC vuông tại A nên : 2 2 2 2
BC = AB + AC = 8 + 6 =10(cm) (Định lý Pytago) C H B A
∆ BC vuông tại A, AH ⊥ BC, nên AH.BC = A . B AC A . B AC ⇒ AH = = 4,8(cm) BC *Cách 2: A
∆ BC vuông tại A, AH ⊥ BC, nên: 2 2 1 1 1 2 AB .AC 64.36 = + ⇒ AH = ⇒ AH = = 4.8(cm) 2 2 2 2 2 AH AB AC AB + AC 100
*Cách 3: Tam giác ABC vuông tại A, Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 8 + 6 =100 nên suy ra BC=10cm. 2 A
∆ BC vuông tại A nên: 2 . AB
BH BC = AB ⇒ BH =
= 6.4(cm) . Mà HC = BC − BH = 3,6 (cm) BC A
∆ BC vuông tại A, AH ⊥ BC, nên: 2 2
AH = BH.HC = 4.8 ⇒ AH = 4.8(cm)
*Cách 4: Gọi M là trung điểm BC. A Ta có : 1
BM = AM = BC = 5cm 2
+ Tính được BH=6.4cm C H M B
+ Nên MH = BH − BM = 6,4 −5 =1(cm) Áp dụng định lý Pitago vào HA ∆ M vuông tại H: 2 2 2 2
AH = AM − MH = 5 −1,4 = 4,8(cm)
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 9
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Hệ thống phương pháp giải toán thường gặp. A c b h B c' H b' C a
Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Phương pháp giải: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Nếu biết độ dài hai
trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn tính được độ dài bốn đoạn
thẳng còn lại bằng việc vận dụng các hệ thức ( ) 1 → (5)
Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và đường cao một cách hợp lý theo hướng:
Bước 1. Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao.
Bước 3. Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
Chú ý: Có thể vẽ thêm hình phụ để tạo thành tam giác vuông hoặc tạo thành đường cao
trong tam giác vuông từ đó vận dụng các hệ thức.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 10
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN . Lý thuyết
1. Định nghĩa
• sinα = c¹nh ®èi • cosα = c¹nh kÒ c¹nh huyÒn c¹nh huyÒn • tanα = c¹nh ®èi • cotα = c¹nh kÒ c¹nh kÒ c¹nh ®èi
Từ định nghĩa ta có cả bốn tỉ số lượng giác đều dương và sina < 1; cosa < 1. 2. Định lí
Nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin của góc kia, tang của góc này
bằng côtang của góc kia.
3. Một số hệ thức cơ bản sinα α tanα = (1); cos cotα = (2); cosα sinα
tan α. cot α = 1 (3); 2 2
sin α + cos α = 1 (4).
4. So sánh các tỉ số lượng giác
Cho α, β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì • sin
α < sin β ; tan α < t ; an β
• cos α > co ;
s β cot α > cot . β
Bảng lượng giác một số góc đặc biệt 0 0 0 0 30 0 45 0 60 90 1 sin 0 2 3 1 2 2 2 3 1 cos 1 2 0 2 2 2 tan 0 3 3 1 3 | cot | 3 3 1 0 3
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 11
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ minh họa: Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính
các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C. Hướng dẫn giải
Ta có AC = 9 dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có B 2 2 2 2
BC = AC + AB = 9 +12 =15 (dm) 12 Vậy AC 9 3 sin B = = = BC 15 5 A 9 C Cos AB 12 4 B = = = ; AC 9 3 tan B = = = ; AB 12 4 cot B = = = BC 15 5 AB 12 4 AC 9 3
Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:
Sin B = cos 3
C = ; Cos B = sin 4 C = ; tanB = 3 cot C = ; 4 cotB = tan C = 5 5 4 3 . Bài tập
Bài 1: Chứng minh các hệ thức: a) 2 1 1+ tan α = b) 2 1 1+ cot α = 2 cos α 2 sin α Hướng dẫn giải 2 2 2 2 a) Ta có 2  sinα  sin α cos α + sin α 1 1+ tan α =1+ = 1+ = =   2 2 2  cosα  cos α cos α cos α 2 2 2 2 a) Ta có 2  cosα  cos α sin α + cos α 1 1+ cot α =1+ = 1+ = =   2 2 2  sinα  sin α sin α sin α
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng có thể biến
đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.
Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 12
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 2:
Cho α là một góc nhọn. Chứng minh rằng: a) sinα < ; tan α b) cos α < cot α . Hướng dẫn giải a) Ta có sin AC α = tan AC α = mà BC > AB nên AC AC < BC AB BC AB Do đó sinα < ; tan α b) Ta có cos AB α = cot AB α =
mà BC > AC nên AB AB < BC AC BC AC Do đó cos α < cot α
Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác. Bài 3:
Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ
với sin của các góc đối diện: a b c = = sin A sin B sin C Hướng dẫn giải * Tìm cách giải:
Để có sin A (hoặc sin B, sin C) thì phải xét tam giác vuông với A là một
góc nhọn. Do đó phải vẽ thêm đường cao.
* Trình bày lời giải: Vẽ đường cao CH.
Xét ∆ACH vuông tại H ta có: CH sin A = (1) AC
Xét ∆BCH vuông tại H ta có: CH sin B = (2) BC
Từ (1) và (2) suy ra sin A CH = : CH BC a = = . Do đó a b = sin B AC BC AC b sin A sin B
Chứng minh tương tự ta được b c = sin B sin C Vậy a b c = = sin A sin B sin C Lưu ý: Nếu ∆ABC có C 90° ≥ thì ta vẫn có: a b = sin A sin B
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 13
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 4: Tìm góc x, biết rằng:
a) tan x = 3cot ;x
b)sin x + cos x = 2 Hướng dẫn giải
a) tan x = 3cot ;x. Suy ra 3 tan x = (vì 1 cot x = ). tan x tan x Do đó 2
tan x = 3 ⇒ tan x 3 tan 60° = = Vậy 60 .o x =
b) sin x + cos x = 2 Bình phương hai vế ta được: 2 2 sin x + 2sin . x cos x + cos x = 2
⇔ 2sin .xcos x + 1 = 2 (vì 2 2
sin x + cos x = 1 )
⇔ 2sin .xcos x = 1 ⇔ 1 – 2sin .xcos x = 0 ⇔ 2 2 sin x − 2sin . x cos x + cos x = 0 ⇔ (sin x cos x)2 – = 0 . Do đó sin
x = cos x ⇔ = 90 ( o sin x sin – x) (vì = 90 ( o cos x sin – x) ) Dẫn tới = 90o – ⇔ 2 = 90o ⇔ = 45 .o x x x x
Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ
số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó Bài 5:
Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí: a) 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 P sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89° = + + +…+ + b) 0 0 0 0 0 0 0
Q = tan15 .tan 25 .tan 35 .tan 45 .tan 55 .tan 65 .tan 75 c) Biết 20 cosα =
Tính sin α, tan α và cotα. 29 Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của
góc này bằng côtang góc kia, ta có: a) 2 ° 2 ° 2 ° 2 ° 2 P sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89° = + + +…+ + ( 2 ° 2 ° ) + ( 2 ° 2 ° + ) +( 2 ° 2 46° ) 2 sin 1 sin 89 sin 2 sin 88 . . sin 44 sin + sin 45° = + + + ( 2 ° 2 sin 1 c ° ) + ( 2 ° 2 sin 2 + c ° ) .... ( 2 ° 2 sin 44 c ° ) 2 os 1 os 2 os 44 sin 45° = + + + + +
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 14
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông 2   = 2 1+1+1+...+1+   = 44,5  2    b) 0 0 0 0 0 0 0
Q = tan15 .tan 25 .tan 35 .tan 45 .tan 55 .tan 65 .tan 75 = ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0
tan15 .tan 75 . tan 25 .tan 65 . tan 35 .tan 55 .tan 45 = ( 0 0 ) ( 0 0 ) ( 0 0 ) 0
tan15 .cot15 . tan 25 .cot 65 . tan 35 .cot 35 .tan 45 =1.1.1.1 =1 2 c) Ta có 2 2
sin α + cos α = 1 2 2  20  441 ⇒ sin α =1− cos α =1− =  29    841 Do đó 21 α sinα = sin 21 20 21 tanα = = : = 20 cosα = 29 cosα 29 29 20 21 Bài 6:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính sin B, sinC biết rằng:
a) AB = 13 và BH = 5;
b) BH = 3 và CH = 4. Hướng dẫn giải
a) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao A AH ta có 2 2 2
AB = BH.BC AB 13 ⇒ BC = = = 33,8 13 BH 5
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: 2 2
AC = BC − AB = 31,2 5 B C H AC 31,2 12 SinB = = = BC 33,8 13 AB 13 5 SinC = = = BC 33,8 13 A
b) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có 2
AH = BH.CH = 3.4 ⇒ AH = 2 3
Tam giác ABH vuông. Theo định lý Pytago ta có 2 2 2
AB = HB + AH = 3 +12 = 21 3 4 B C H AH 2 3 2 SinB = = = AB 21 7
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 15
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Tam giác ABC vuông, BC = BH + HC = 3+ 4 = 7
Theo định lý Pytago ta có 2 2
AC = BC − AB = 49 − 21 = 28 = 2 7 AB 21 SinC = = BC 7
Cách 2: Tam giác AHC vuông tại H; Theo định lý Pytago có 2 2
AC = AH + HC = 12 +16 = 28 AH 12 3 21 SinC = = = = AC 28 7 7
Nhận xét: Học sinh vận dụng các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông
từ đó tính ra tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.  Bài 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A . Chứng minh rằng tan ABC AC = 2 AB + BC Hướng dẫn giải
Vẽ đường phân giác BD của ∆ ABC ( D ∈ AC ).
Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có : AD AB = AD DC ⇔ = DC BC AB BC AD AD + DC AD AC ⇒ = ⇒ = . AB AB + BC AB AB + BC A Xét ∆ ABD có  0 BAD = 90 ⇒  tan AD ABD = D AB  ⇔ tan ABC AC = C 2 AB + BC B  Vậy tan ABC AC = 2 AB + BC
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 16
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG . Lý thuyết 1. Định lí
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề;
• Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề. Trong hình vẽ bên thì: b = . a sin B = . a cos C ; c = . a sin C = . a cos B ;
b = .ctan B = .ccot C ; c = . b tan C = . b cot B ; 2. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông khi biết hai yếu tố của nó (trong
đó ít nhất có một yếu tố về độ dài). . Bài tập Bài 1:
Giải tam giác ABC biết B 35° = ; C 50° =
và đường cao AH = 5,0cm. Hướng dẫn giải
Ta phải tìm A AB, AC và BC.  °   A 180 (B C) 95° = − + =
• Xét ∆ABH vuông tại H ta có: AH = A . B sin B AH 5,0 ⇒ AB = = ≈ 8,7(cm) sin B sin 35° = . ≈ 5,0. 35o BH AH cot B cot ≈ 7,1 (cm).
• Xét ∆ACH vuông tại H ta có
AH = AC.sin C AH 5,0 ⇒ AC = = ≈ 6,5(cm) sin C sin 50° = . ≈ 5,0. 50o CH AH cot C cot ≈ 4,2 (cm). Do đó BC = BH + CH = 7,1 + 4,2 = 11,3 (cm). Vậy ˆA 95° =
; AB = 8,7cm; AC = 6,5cm và BC = 11,3cm.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 17
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC: BH = A .
B cos B ; CH = AC.cos C.
Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn. Bài 2:
Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và  o B = 40 . Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải * Tìm cách giải
Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh
và góc trong tam giác vuông. Tính HB và HC từ đó tính được BC.
* Trình bày lời giải
Vẽ đường cao AH. Xét ∆ABH vuông tại H có: = . = 14. 40o AH AB sin B sin ≈ 9,0 (cm). = . =14. 40o BH AB cos B cos ≈10,7 (cm).
Xét ∆AHC vuông tại H có: 2 2 2 2
HC = AC − AH = 11 − 9 ≈ 6,3 (cm).
• Nếu H nằm giữa B và C thì BC = BH + HC ≈10,7 + 6,3 = 17 (cm).
• Nếu C' nằm giữa B và H thì BC ' = BH – HC ' ≈10,7 − 6,3 = 4,4 (cm).
Lưu ý: Học sinh có thể chỉ giải một nghiệm hình là chưa đủ. Bài toán có 2 nghiệm hình Bài 3:
Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B 70° = Tính độ dài BC. Hướng dẫn giải
Vẽ đường cao AH. Xét ∆ABH vuông tại H có: = . = 3,2. 70o AH AB sin B sin ≈ 3,0 (cm). = . = 3,2. 70o BH AB cos B cos ≈1,1 (cm).
Xét ∆AHC vuông tại H có: 2 2 2 2
HC = AC − AH ≈ 5,0 − 3,0 = 4,0 (cm).
Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB. Chỉ còn trường hợp
điểm H nằm giữa B và C. Ta có BC =BH + HC ≈1,1 + 4,0 = 5,1 (cm).
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 18
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ . Lý thuyết
- Thường gọi độ dài một cạnh cần tìm là ẩn, từ đó thiết lập phương trình, giải phương trình tính ra kết quả . Bài tập Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH. Hướng dẫn giải Đặt BH =
x . Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông ở A, có đường cao A AH. Ta được: 2 AB = . BH BC hay 2 20 = x(x + 9). 20 ?
Thu gọn ta được phương trình : 2
x + 9x – 400 = 0 x 9 B H C
Giải phương trình này ta được x = 16 ; x = –25 (loại) 1 2
Dùng định lý Pitago tính được AH = 12 cm
Lưu ý : Giải PT bậc 2 nên dùng máy tính để giải cho nhanh.
Thuộc một số bộ ba số Pitago càng tốt để mau chóng ghi kết quả Bài 2: Cho tam giác ABC ,  0
B = 60 , BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB. Hướng dẫn giải
Kẻ AH ⊥ BC. Đặt AB = 2x . Từ đó tính được BH =
x và AH = x 3 ; HC = 8 – x
Áp dụng định lí Pitago ta cho tam giác AHC vuông tại H
Ta có: AC = (x )2 +( − x)2 3 8 = 2 4x −16x + 64 A Do AB + AC = 12 nên 2
2x + 4x −16x + 64 =12 2x
Giải PT trên ta được : x = 2,5 60° B x H 8cm C AB = 2.2,5 = 5cm Chú ý:
Ta cũng tính được chu vi tam giác ABC = 20cm .
Diện tích tam giác ABC = 10 3 cm.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 19
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC (nhập kết quả dưới dạng số thập phân)
Bài giải sơ lược A 1cm
Áp dụng định lí Pitago tính được AB = 3cm. D 10 cm
Đặt BC = x , dùng Pitago tính được 2 2 AC = x − 9 . Do AD = 1 nên DC = 2 x − 9 – 1 B C x
Tam giác ABC có BD là phân giác góc ABC nên : AB AD 3 1 = hay =
. Từ đó ta được phương trình 2
8x – 6x – 90 = 0 BC DC 2 x x − 9 −1
Giải phương trình tìm được x = 3,75cm
Trả lời : BC = 3,75cm Bài 4:
Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó. Hướng dẫn giải
Kẻ AH ⊥ CD ; BK ⊥ CD. Đặt AH = AB = x ⇒ HK = x A ∆ HD = B
∆ KC (cạnh huyền- góc nhọn) A X B Suy ra : D − = 10 x H CK = . X 2 − = x + D Vậy HC HK 10 CK x x + = + = 10 H K C 10cm 2 2
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ADC vuông ở A có đường cao AH Ta có : 2 AH = .
DH CH hay 2 10 x 10 . x x − + = ⇔ 2 5x = 100 2 2
Giải phương trình trên ta được x = 2 5 và x = 2 − 5 (loại) Vậy : AH = 2 5 Bài 5:
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao ứng với cạnh đáy có độ dài
15,6cm, đường cao ứng với cạnh bên dài 12cm. Tính độ dài cạnh đáy BC.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 20
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Hướng dẫn giải
Đặt BC = 2x , từ tính chất của tam giác cân ta suy ra CH = x A
Áp dụng định lí Pitago tính được 2 2 AC = 15,6 + x
Từ hai tam giác vuông KBC và HAC đồng dạng ta được: 15,6 2x 12 K BC KB = hay = AC AH 2 2 15,6 + x 15,6 12 // // H C B Đưa về phương trình 2 2 2
15,6 + x = 6,76x 2x
Giải phương trình trên ta được nghiệm dương x = 6,5 Vậy BC = . 2 , 6 5 = 13 (cm) Bài 6:
Tính độ dài cạnh AB của tam giác ABC vuông tại A có hai đường trung
tuyến AM và BN lần lượt bằng 6 cm và 9 cm. Hướng dẫn giải Đặt AB = x ; AN =
y ⇒ AC = 2y . A
Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam
giác vuông ứng với cạnh huyền ta được / 6 BC = 2AM = 2.6 = 12 (cm) N
Dùng định lí Pitago cho hai tam giác vuông ABC / 9 và ABN vuông tại A // // B M C Ta được: 2 2 x + 4y = 144 ( )1 và 2 2 x + y = 81 ⇔ 2 2
y = 81– x (2) Thay (2) vào ( )
1 ta được phương trình : 2 x + ( 2 4 81– x ) =144
Thu gọn phương trình trên ta được phương trình : 2 3x = 180
Nghiệm dương của phương trình : x = 2 5
Trả lời: AB = 2 5 cm
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 21
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM
BÀI TẬP VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
PHẦN BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB 5
= . Đường cao AH = 15cm. Tính HB, HC. AC 7
Bài 2: Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 12cm, AC = 16cm, phân giác AD, đường cao AH. Tính HD, HB, HC.
Bài 3: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, tính chu vi ∆ABC biết AH = 14cm, HB 1 = . HC 4
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A, đương cao AH. Biết AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác góc B. Biết rằng AD = 1cm;
BD = 10 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Bài 6: Cho tam giác ABC , 𝐵𝐵� = 60𝑜𝑜, BC = 8cm; AB + AC = 12cm . Tính độ dài cạnh AB.
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bằng đường cao,
đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài đường cao của hình thang cân đó.
Bài 8: a. Cho tam giác ABC có 𝐵𝐵� = 60𝑜𝑜, 𝐶𝐶̂ = 50𝑜𝑜, 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 35𝑐𝑐𝑐𝑐 . Tính diện tích tam giác ABC.
b. Cho tứ giác ABCD có 𝐴𝐴̂ = 𝐷𝐷� = 90𝑜𝑜, 𝐶𝐶̂ = 40𝑜𝑜, 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 4𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 3𝑐𝑐𝑐𝑐. Tính diện tích tứ giác.
c. Cho tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O. Cho biết 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 4, 𝐵𝐵𝐷𝐷 = 5, 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵
� = 50𝑜𝑜. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 9: Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, chu vi ∆AHB bằng 30cm, chu vi
∆ACH bằng 4dm. Tính BH, CH và chu vi ∆ABC.
Bài 10: Cho biết chu vi của một tam giác bằng 120cm. Độ dài các cạnh tỉ lệ với 8, 15, 17.
a) Chứng minh rằng tam giác đó là một tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường phân giác đến mỗi cạnh.
Bài 11: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10 cm, B = 0 60 và A = 0 90 a) Tính đường chéo BD.
b) Tính các khoảng cách BH và DK từ B và D đến AC. c) Tính HK.
d) Vẽ BE ⊥ DC kéo dài. Tính BE, CE và DC.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 22
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 12: Cho ∆ ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao
cho AD = DE = EC. a) Chứng minh DE DB = .
b) Chứng minh ∆BDE đồng dạng ∆ CDB. DB DC
c) Tính tổng 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 � + 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 �.
Bài 13: Chình thang ABCD có hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đường chéo AC vuông
góc với cạnh bên BC. Biết AD = 5a, AC = 12a.
a) Tính sin𝐵𝐵+𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝐵𝐵
b) Tính diện tích hình thang ABCD.
𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝐵𝐵−𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝐵𝐵
Bài 14: Cho đoạn thẳng AB = 2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox ⊥ AB. Trên Ox lấy điểm D sao cho a
OD = . Từ B kẽ BC vuông góc với đường thẳng AD. 2
a) Tính AD, AC và BC theo a.
b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 15: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB
và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶 � = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵
� = 90𝑜𝑜. Chứng minh: AM = AN.
Bài 16: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB 20 = và AH = 420. Tính AC 21 chu vi tam giác ABC.
Bài 17: Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với
nhau tại O. Biết 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 2√13; OA = 6. Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 18: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = 3 5 cm. Hình vuông ADEF cạnh bằng 2
cm có D ∈ AB, E ∈ BC, F ∈ AC. Biết AB > AC và 4 S = S . Tính AB ; AC. ADEF 9 ABC
Bài 19: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD. Gọi I là hình chiếu của C
trên BD, H là hình chiếu của I trên AC. Chứng minh: AH = 3HI.
Bài 20: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ đường thẳng cắt BC ở E và 1 1 1
cắt đường thẳng DC ở F. Chứng minh: + = 2 2 2 AE AF a
Bài 21: Cho hình thang ABCD có 𝐵𝐵� = 𝐶𝐶̂ = 90𝑜𝑜. Hai đường chéo vuông góc với nhau
tại H. Biết AB = 3 5 cm, HA = 3cm. Chứng minh:
a) HA : HB : HC : HD = 1 : 2 : 4 : 8 b) 1 1 1 1 − = − 2 2 2 2 AB CD HB HC
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 23
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Bài 22: Cho A
∆ BC nhọn. đường cao AD và BE. Gọi I ∈ AD và Q ∈ BE sao cho ^ ^ 0
BIC = AQC = 90 .
a) Chứng minh: CA.CE = CD.CB b) Chứng minh: IQ
∆ C là tam giác cân
c) BI cắt AQ tại K. Chứng minh: CK ⊥ IQ Bài 23: Cho A
∆ BC vuông tại A. Đường cao AH. Biết AC = 12cm, BC = 15cm. a) Tính HA, HB, HC.
b) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của H lần lượt lên AB, AC. Chứng minh: AE.AB = AF.AC
c) Chứng minh: HE2 + HF2 = HB.HC
Bài 24: Cho hình vẽ: B A a/ Tính AC 74° 5,5 4,1
b/ Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY // BX. 2,8 Y 123° X Hãy tính XY. D C
c/ Tính diện tích tam giác BCX.
Bài 25: Cho hình vẽ dưới đây biết 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 60 𝑐𝑐𝑐𝑐. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. Tính:
a/ AP; BP b/ CP và diện tích tam giác ABC. C 30° 20° B P A
Bài 26: Cho tam giác ABC có AB = 24cm; AC = 18cm; BC = 30cm
a/ Tính đường cao AH, số đo góc B và C.
b/ Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD.
c/ Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính
chu vi và diện tích tứ giác AEDF.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 24
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 27: Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. Trên AC lấy các điểm D và E sao cho AD = DE = EC . a/ Chứng minh DE DB = DB DC
b/ Chứng minh ∆BDE đồng dạng với ∆CDB.
c/ Tính tổng 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵 � + 𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 �.
Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, 𝐶𝐶̂ = 30𝑜𝑜; 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 10 𝑐𝑐𝑐𝑐. a/ Tính AB, AC.
b/ Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của
góc. Chứng minh MN// BC và MN = AB.
c/ Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 29: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 10cm; BC = 16cm. Trên đường cao AH lấy
điểm I sao cho 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 1 3
� 𝐴𝐴𝐴𝐴. Vẽ tia Cx song song với AH, Cx cắt tia BI tại D.
a/ Tính các góc của tam giác ABC.
b/ Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A . Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung
tuyến AM . Các tia phân giác của các góc AMB; AMC cắt đường thẳng d lần lượt tại D và E. Chứng minh:
a) Tứ giác BCED là hình thang 2 b) BD . CE = BC 4
c) Giả sử AC = 2AB , chứng minh EC = BC
Bài 31: Cho hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên . Tính chu vi và
diện tích hình thang cân đó biết đáy nhỏ bằng 14 cm , đáy lớn bằng 50 cm .
Bài 32: Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng minh: 2 2 2 2 BC a) AB + AC = 2AM + 2 2 2 b) AB − AC = 2BC.MH
Bài 33: Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 25
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A
qua điểm B. Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE.
a) Tính AB, AC, HC, biết AH = 4cm, HB = 3cm. b) Tính tg IED và tg HCE.
c) Chứng minh 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 � = 𝐴𝐴𝐶𝐶𝐴𝐴 �
d) Chứng minh: DE ⊥ EC .
Bài 35: Cho tam giác ABC có ba đường cao AM, BN, CL. Chứng minh:
a) ∆ANL đồng dạng ∆ABC
b) 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝐵𝐵𝐵𝐵. 𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵. 𝐵𝐵𝐶𝐶. 𝐶𝐶𝐴𝐴. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐵𝐵. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶
Bài 36: Giải tam giác ABC, biết:
a) 𝐴𝐴̂ = 90𝑜𝑜, 𝐵𝐵𝐶𝐶 = 10, 𝐵𝐵� = 75𝑜𝑜. b) 𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶
� = 120𝑜𝑜, 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 6.
c) Trung tuyến ứng với cạnh huyền 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 5, đường cao AH = 4.
d) Trung tuyến ứng với cạnh huyền 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 5, một góc nhọn bằng 47o.
Bài 37: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3cm, BC = 6cm. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của H trên cạnh AB và AC.
a) Giải tam giác vuông ABC.
b) Tính độ dài AH và chứng minh: EF = AH. c) Tính: EA.EB + AF.FC.
Bài 38: Cho hình thoi ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Cho biết khoảng cách từ O
đến mỗi cạnh hình thoi là h; AC = m; BD = n. Chứng minh rằng: 1 + 1 = 1 . 𝑚𝑚2 𝑠𝑠2 4ℎ2
Bài 39: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 33,6. Biết 24. AB = 7. AC. Tìm độ
dài các cạnh và số đo các góc của tam giác.
Bài 40: Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD), 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 2, 𝐶𝐶𝐷𝐷 = 6 và chiều cao bằng 4.
Tính số đo góc tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh bên.
Bài 41: Cho tam giác ABC có 𝐵𝐵� = 40𝑜𝑜, 𝐶𝐶̂ = 60𝑜𝑜, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc AMC.
Bài 42: Cho tam giác ABC nhọn, AB = c, AC = b, BC = a. Chứng minh rằng
𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐴𝐴
𝑏𝑏2 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐2 − 2𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐵𝐵
𝑐𝑐2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 2𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝐶𝐶
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp. 26
Chủ đề 1:: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Bài 43: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) có 𝐶𝐶̂ = 30𝑜𝑜, 𝐷𝐷� = 60𝑜𝑜, 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 2, 𝐶𝐶𝐷𝐷 = 6. a. Tìm AD.
b. Tính diện tích hình thang.
Bài 44: Cho tứ giác ABCD có 𝐶𝐶̂ + 𝐷𝐷� = 90𝑜𝑜. Chứng minh rằng: 𝐴𝐴𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶𝐷𝐷2 = 𝐴𝐴𝐶𝐶2 + 𝐵𝐵𝐷𝐷2
Bài 45: Cho tam giác ABC cân tại A, 𝐴𝐴̂ < 90𝑜𝑜, 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐴𝐴𝐶𝐶 = 2√2 𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐵𝐵𝐶𝐶 = √2 𝑐𝑐𝑐𝑐.Kẻ
đường cao BH. Chứng minh rằng: AH = 7.HC
---------------------- HẾT-----------------------
(Nguồn 45 bài tập tự luyện của thầy Bùi Anh Tuấn – VT – VP)
Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.
Document Outline

  • HCD1_HeThucLuong
    • A. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
    • (. HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
      • (. Lý thuyết
      • (. Bài tập
    • (. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
      • (. Lý thuyết
      • (. Bài tập
    • (. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
      • (. Lý thuyết
      • (. Bài tập
    • (. GIẢI BÀI TOÁN HỆ THỨC LƯỢNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ
      • (. Lý thuyết
      • (. Bài tập
    • (. MỘT SỐ BÀI TẬP SƯU TẦM