Chuyên đề một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Tài liệu gồm 29 trang, tóm tắt lý thuyết, phân dạng và tuyển chọn các bài tập chuyên đề một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, hỗ trợ học sinh trong quá trình học chương trình Hình học 9 chương 1 bài số 1. Mời bạn đọc đón xem.
Chủ đề: Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Môn: Toán 9
Thông tin:
Tác giả:
Thông tin :
Chủ đề:
Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Môn:
Tác giả:
Tài liệu liên quan:
Preview text:
CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A.LÝ THUYẾT B.DẠNG BÀI MINH HỌA
I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Chứng minh hệ thức Phương pháp giải
Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh. Bài 1. Cho ABC
nhọn có đường cao AH . Chứng minh 2 2 2 2
AB AC BH CH .
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD tại O . Chứng minh 2 2 2 2
AB CD AD BC . 2 AM AB
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A 0
A 90 , kẻ BM CA. Chứng minh 2 1. MC BC
Bài 4 . Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) 2
AE EK.EG ; 1 1 1 b) ; AE AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB a, CD b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng 1 1 1 1
song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng . OE OG a b
Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc Phương pháp giải
Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.
Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.
Bài 1. Cho ABC
vuông tại A có đường cao AH , có AB 15 cm, AH 12 cm . Tính BH , BC,CH , AC
Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE AC E AC . Biết AB 9 cm, AC 17 cm,CD 15 cm.
a) Tính AD, BC, DE . b) Tính S , S . ABCD ABC 3
Bài 3. Cho ABC
vuông tại A , có AB AC, BC 30 cm . Tính AB, AC. 4
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) Tính cạnh hình thoi biết AB c, BC a . 2ac b) Chứng minh BD
với AB c, BC a . a c
c) Tính độ dài AB, BC, biết AD m, DC n, DE d .
Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / /BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết
PQ a, FE b . Tính độ dài của BC.
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE 2 . Trên tia đối của tia CD
lấy điểm F sao cho CF 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC. Dạng 3. Toán thực tế
Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn.
Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những
góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là 37 , 31
. Tính chiều dài CD của cây cầu.
Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0,5 m . Nếu kéo căng sợi dây
sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2,5 m . Tính chiều cao cây.
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 km . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC 800 m
và AB AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và
Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.
2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng? A B H C A. 2
AH = AB.AC . B. 2
AH = BH.CH . C. 2
AH = AB.BH . D. 2
AH = CH.BC .
Câu 2: "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng .. ". Cụm từ thích hợp
điền vào chỗ trống là:
A. Tích hai cạnh góc vuông.
B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông.
D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vuông.
Câu 3: Cho tam ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai? A c b h c' b' B H C a 1 1 1 A. 2
b = b .¢c . B. = + .
C. a.h = b .¢c¢ . D. 2
h = b .¢c¢ . 2 2 2 h a b
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai? A B H C 2 2 AB + AC A. 2
AB = BH.BC . B. 2
AC = CH.BC .
C. AB.AC = AH .BC .D. 2 AH = 2 2 AB .AC
Câu 5: Tìm x,y trong hình vẽ sau:
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A 12 x y B H C 20
A. x = 7,2;y = 11, 8 . B. x = 7;y = 12 .
C. x = 7,2;y = 12, 8 . D. x = 7,2;y = 12 .
Câu 6: Tính x,y trong hình vẽ sau: A 10 x y B H C 16
A. x = 6, 5;y = 9, 5 . B. x = 6,25;y = 9, 75 .C. x = 9,25;y = 6, 75 . D. x = 6;y = 10 .
Câu 7: Tìm x,y trong hình vẽ sau: A 10 8 x y B H C
A. x = 3, 6;y = 6, 4 . B. y = 3, 6;x = 6, 4 . C. x = 4;y = 6 .
D. x = 2, 8;y = 7,2 .
Câu 8: Tính x,y trong hình vẽ sau: A 3 4 x y B H C
A. x = 3, 2;y = 1, 8 . B. x = 1, 8;y = 3, 2 . C. x = 2;y = 3 .
D. x = 3;y = 2 .
Câu 9: Tìm x,y trong hình vẽ sau:
4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A 5 7 x B H C y 35 74 35 74 A. x = ;y = 74 . B. y = ;x = 74 .
C. x = 4;y = 6 .
D. x = 2, 8;y = 7,2 . 74 74
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , chiều cao AH và AB = 5;AC = 12 . Đặt BC = y;AH = x . Tính x,y .
A. x = 4;y = 119 . B. 60 y = ;x = 13 .
C. x = 4, 8;y = 13 . D. 60 x = ;y = 13 . 13 13
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại ,
A AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và
BC = 15cm . Tính độ dài đoạn thẳng BH . A. BH = 5, 4 . B. BH = 4, 4 . C. BH = 5,2 . D. BH = 5 .
Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại ,
A AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 4 : 5 và
BC = 41 cm . Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất). A. CH » 2, 5 . B. CH » 4 . C. CH » 3, 8 .
D. CH » 3, 9 .
Câu 13: Tính x trong hình vẽ sau: A 12 13 x B H C A. x = 14 . B. x = 13 . C. x = 12 . D. x = 145 .
Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A 15 20 x B H C A. x » 8, 81. B. x » 8, 82 . C. x » 8, 83 . D. x » 8, 80 .
Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết: AB : AC = 3 : 4 và AH = 6cm .
Tính độ dài các đoạn thẳng CH . A. CH = 8 . B. CH = 6 . C. CH = 10 . D. CH = 12 .
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết AB : AC = 3 : 7 và AH = 42cm .
Tính độ dài các đoạn thẳng CH .
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A. CH = 96 . B. CH = 49 . C. CH = 98 . D. CH = 89 .
Câu 17: Tính x,y trong hình vẽ sau: A x y B 1 H 4 C
A. x = 2 5;y = 5 . B. x = 5;y = 3 5 . C. x = 5;y = 2 5 . D. x = 2 5;y = 2 5 .
Câu 18: Tính x,y trong hình vẽ sau: A x y B 2 H 5 C
A. x = 14;y = 35 . B. x = 35;y = 14 . C. x = 24;y = 3 5 . D. x = 6;y = 15 .
Câu 19: Tính x trong hình vẽ sau: M x x 6 N D P 8 A. x = 6 2 . B. x = 8 2 . C. x = 8 3 . D. x = . 2
Câu 20: Tính x trong hình vẽ sau: M x x 8 N D P A. x = 6 2 .
B. x = 6 . C. x = 6 3 . D. x = 82 .
Câu 21: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết
AD = 12cm , DC = 25cm . Tính độ dài BC , biết BC < 20 .
A. BC = 15cm .
B. BC = 16cm .
C. BC = 14cm .
D. BC = 17cm .
Câu 22: Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D . Đường chéo BD vuông góc với BC . Biết
AD = 10cm , DC = 20cm . Tính độ dài BC .
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A. BC = 3 61cm . B. BC = 2 61 cm . C. BC = 15cm .
D. BC = 61 cm .
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 5 : 12 và AB + AC = 34cm .
Câu 23: Tính các cạnh của tam giác ABC .
A. AB = 5;AC = 12;BC = 13 . B. AB = 24;AC = 10;BC = 26 .
C. AB = 10;AC = 24;BC = 26 . D. AB = 26;AC = 12;BC = 24 .
Câu 24: Tính độ dài các đoạn AH, BH,CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A. AH » 9,23;BH » 7, 69;CH » 18, 31.
B. AH » 9, 3;BH » 7, 7;CH » 18, 3 .
C. AH » 8, 23;BH » 8, 69;CH » 17, 31 .
D. AH » 7, 69;BH » 8,23;CH » 17, 77 .
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm .
Câu 25: Tính các cạnh của tam giác ABC .
A. AB = 9;AC = 10;BC = 15 . B. AB = 9;AC = 12;BC = 15 .
C. AB = 8;AC = 10;BC = 15 . D. AB = 8;AC = 12;BC = 15 .
Câu 26: Tính độ dài các đoạn AH, BH,CH .
A. BH = 7,2;AH = 5, 4;CH = 9, 6 .
B. CH = 7,2;BH = 5, 4;AH = 9, 6 .
C. AH = 7,2;BH = 5, 4;CH = 9 .
D. AH = 7,2;BH = 5, 4;CH = 9, 6 .
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H
trên AB, AC (hình vẽ). A E D B M H N C 2 AB Câu 27: Tỉ số
bằng với tỉ số nào sau đây? 2 AC 2 AB HC 2 AB HB 2 AB HA 2 AB HC A. = . B. = . C. = . D. = . 2 AC HB 2 AC HC 2 AC HB 2 AC HA 3 AB Câu 28: Tỉ số
bằng với tỉ số nào sau đây? 3 AC 3 AB BD 3 AB AD 3 AB BD 3 AB EC A. = . B. = . C. = . D. = . 3 AC EC 3 AC EC 3 AC ED 3 AC BD
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9 ,
cm CH = 16cm . Gọi , D E lần lượt
là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và
E lần lượt cắt BC tại M, N . (hình vẽ). A E D B M H N C
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 29: Tính độ dài đoạn thẳng DE .
A. DE = 12cm .
B. DE = 8cm .
C. DE = 15cm .
D. DE = 16cm .
Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ?
A. MN = 15cm .
B. MN = 13cm .
C. MN = 12, 5cm .
D. MN = 12cm .
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9cm,CH = 16cm . Gọi , D E lần lượt là
hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E
lần lượt cắt BC tại M,N . (hình vẽ). A E D B M H N C
Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM . A. 2 S = 57cm . B. 2 S = 150cm . C. 2 S = 37, 5cm . D. 2 S = 75cm . DENM DENM DENM DENM
Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE .
A. DE = 5cm .
B. DE = 8cm .
C. DE = 7cm .
D. DE = 6cm .
Câu 33: Kết luận nào sau đây là đúng? A. 1 MN = BC . B. 1 MN = BC . C. 3 MN = BC . D. 2 MN = BC . 3 2 4 3
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 4cm,CH = 9cm . Gọi , D E lần lượt là
hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E A
lần lượt cắt BC tại M,N . (hình vẽ). E D B M H N C
Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM . A. 2 S = 19, 5cm . B. 2 S = 20, 5cm . C. 2 S = 19cm . D. 2 S = 21, 5cm . DENM DENM DENM DENM
Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH . Gọi M,N theo thứ tự là hình chiếu của H lên , CD DE . (hình vẽ)
8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com C N M D H E
Câu 35: Tính CD.CM bằng:
A. CH .CE .
B. CE.CN .
C. CH .CN .
D. CD.CN .
9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
III.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm . Tính BH, AH .
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 12 ,
cm AC = 5cm, BC = 13cm , đường cao AH . Tính AH .
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC . AH là đường cao, ,
D E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC . Chứng minh rằng: a)
AD.AB = AE.AC b) ADE = ABC
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao. Các điểm N,M trên các đường thẳng
BD,CE sao cho 0
AMB = ANC = 90 .
Chứng minh rằng tam giác AMN cân.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD , một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB . Gọi F là giao điểm của DE và BC . 1 1 1 Chứng minh rằng: = + 2 2 2 DA DE DF
Bài 6:Cho đoạn thẳng AB = 4cm . C là điểm di động sao cho BC = 3cm . Vẽ tam giác AMN vuông tại 1 1
A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để +
đạt giá trị lớn nhất. 2 2 AM AN
Bài 7: Cho hình thoi ABCD với 0
A = 120 . Tia Ax tạo với tia BAx bằng 0
15 và cắt cạnh BC tại M , cắt
đường CD tại N . 1 1 4 Chứng minh rằng: + = 2 2 2 AM AN 3AB
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao.
Cho biết BH = x,HC = y . + Chứng minh rằng: x y xy £ 2
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com HƯỚNG DẪN GIẢI
I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1 Chứng minh đẳng thức hình học Bài 1. Cho ABC
nhọn có đường cao AH . Chứng minh 2 2 2 2
AB AC BH CH . Lời giải
Xét ABH vuông tại H , ta có: 2 2 2
AB AH BH 1 . Xét ACH
vuông tại H , ta có: 2 2 2
AC AH CH 2 . Lấy 1 2 ta được: 2 2 2 2
AB AC BH CH (đpcm).
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC BD tại O . Chứng minh 2 2 2 2
AB CD AD BC . Lời giải
Lần lượt xét các tam giác vuông
AOD, AOB, BOC, DOC ta được: 2 2 2
AD OA OD 1 2 2 2 CD
OC OD 2 2 2 2
AB OA OB 3 2 2 2
BC OB OC 4 1 4 Lấy , ta được: 2 3 2 2 2 2 2 2
AB CD OA OB OC OD 2 2 2 2 2 2
AD BC OA OB OC OD 2 2 2 2
AB CD AD BC . 2 AM AB
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A 0
A 90 , kẻ BM CA. Chứng minh 2 1. MC BC
11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Lời giải
Gọi H là trung điểm .
BC Lại có ABC cân tại . A AH
vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.Xét AHC và B MC 0
AHC BMC 90 có: AH C B
MC g.g BCM chung BC MC BC 2MC 2
BC 2MC.AC 1 . AC HC AC BC 2 AM AB 2 AC MC AB Xét: 2 1 2 1 MC BC MC BC 2 AC AB 2 AC 2.AB 2 (Thay 1 vào) MC BC MC 2.MC.AC 2 AB AC 2 2
AC AB (luôn đúng) đpcm. AC
Bài 4.Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: a) 2
AE EK.EG ; 1 1 1 b) ; AE AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi. Lời giải EK EB
a) Vì AD / /BK (1) AE ED AE EB Vì AB / /DG (2) EG ED EK EB AE Từ (1) và (2) có: 2
AE EK.EG AE ED EG Vậy 2
AE EK.EG AE DE AE BE
b) Vì AD / /BK ; AB / /DG AK DB AG BD AE AE DE BE BD 1 1 1 nên 1 AK AG BD BD BD AK AG AE 1 1 1 Vậy . AK AG AE
c) Đặt AB a, AD b BK AB a KC CG KC BK b Vì AB / /CG ; AD / /CK nên KC CG CG AD DG b a DG BK.DG . a b (hằng số).
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB a, CD b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng 1 1 1 1
song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng . OE OG a b Lời giải
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com OE DE OE DE
Vì OE / / AB nên
(theo hệ quả định lý Ta-lét) (1). AB DA a DA OE AE OE AE
Vì OE / /CD nên
(theo hệ quả định lý Ta- DC DA b DA lét) (2). OE OE DE AE 1 1 Từ (1) và (2) ta được 1 OE 1 a b DA DA a b 1 1 1 a b OE 1 1 1 Tương tự có: a b OG 1 1 1 1 Vậy . OE OG a b
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1. Cho ABC
vuông tại A có đường cao AH , có AB 15 cm, AH 12 cm . Tính BH , BC,CH , AC Lời giải Xét ABC
vuông tại A , có đường cao AH . Ta có: 1 1 1 2 2 2 AH AB AC 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 AC AH AB 12 15 400
AC 20cm . 2 2 2 2 2
BC AB AC 15 20 625 BC 25cm 2 2 AB 15 2
AB BH .BC BH 9cm . BC 25 2 2 AC 20 2
AC CH .CB CH 16cm . CB 25
Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE AC E AC . Biết AB 9 cm, AC 17 cm,CD 15 cm.
a) Tính AD, BC, DE . b) Tính S , S . ABCD ABC Lời giải a. Xét ADC
vuông tại D , có đường cao DE , ta được: 2 2 2 2 2
AD AC DC 17 15 64 AD 8cm . 1 1 1 1 1 289 . 2 2 2 2 2 DE AD DC 8 15 14400 120 DE cm. 17
Từ B kẻ BH DC H DC . AD BH .
Ta lại có: AB DH ( ABCD là hình thang) và 0 BAD 90 .
ABDH là hình chữ nhật.
AB DH 9cm .
AD BH 8 cm Xét BH
C vuông tại H , ta được:
BC BH HC
DC DH 2 2 2 2 2 8
6436 100 BC 10cm . b. Ta có:
14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AB DC.AD S 92 . ABCD 2 cm 2 1 8.15 S
AD.DC 60 . ADC 2 cm 2 2 92 S S S 60 ABC ABCD ADC S 2 32 cm . ABC 3
Bài 3. Cho ABC
vuông tại A , có AB AC, BC 30 cm . Tính AB, AC. 4 Lời giải 3x
Gọi AC x cm AB
cm với x 0.Xét 4 ABC vuông tại A , có 2 9x 2 2 2 2
BC AB AC 900 x 16 2
x 576 x 24 .
Vậy AC 24cm, AB 18cm.
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
a) Tính cạnh hình thoi biết AB c, BC a . 2ac b) Chứng minh BD
với AB c, BC a . a c
c) Tính độ dài AB, BC, biết AD m, DC n, DE d . Lời giải
a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x. ED AE Vì D E / /BC nên
(hệ quả định lý Ta-lét) BC AB x c x
cx a c x cx ac ax a c ac
a c x ac x a c ac Vậy x . a c
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK BA . 1
Ta có tam giác ABK cân tại B nên
BKA BAK ABC (tính chất góc ngoài tam giác). 2 1 BD CB Mà
EBD DBF ABC AKB DBF BD / / AK
(hệ quả định lý Ta-lét) 2 AK CK BD CB a (1) AK BC BK a c Trong tam giác ABK có:
AK AB BK c c 2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2). a 2ac
Từ (1) và (2) có: BD .2c a c a c
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2ac Vậy BD . a c ED AD d m
d m n
c) Vì ED / /BC nên
(hệ quả định lý Ta-lét) BC BC AC BC m n m
d m n Tương tự có AB n
d m n
d m n Vậy BC và AB . m n
Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / /BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết
PQ a, FE b . Tính độ dài của BC. Lời giải
Đặt BC x .
Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có: 1 1 1 1 ax
GE GF GE GF a x a x ax 2ax 2ax
GE GF 2 EF b a x a x a x ab
ab bx 2ax 0 x 2a b ab Vậy BC . 2a b
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E
sao cho BE 2 . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho
CF 3. Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC. Lời giải
Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF. AB BE BE 2 1
Vì AB / /CG nên
(hệ quả định lý Ta-lét) CG EC BC BE 6 2 2
CG 2AB 2.6 12 FG CG CF 12 3 9 BH CF
Vì AH / /CG nên AB FG BH 3 3
BH 6. 2 BH BE 6 9 9
Xét BAE và BCH có:
BE BH theo treân
ABE CBH 90
AB BC tính chaát hình vuoâng
BAE BCH c g c
. . BEA BHC AMC MAH AHM MAH AEB 90 Vậy AMC 90 .
16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3: Toán thực tế:
Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn. Lời giải
Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC. Ta có: BAC 90 . Theo giả thiết, ta có BCA 42 .
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có: AB tan BCA
AB AC.tan BCA 7,5 tan 42 6,75cm AC
Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).
Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những
góc so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là 37 , 31
. Tính chiều dài CD của cây cầu. Lời giải
Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vuông góc hạ từ A
xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu. BD Ta có: tan BAD AB BD .
AB tan BAD 920.tan 37 920.0,754 693,68m BC Mặt khác: tan BAC AB BC .
AB tan BAC 920.tan 31 920.0, 6 552m
Vậy chiều dài của cây cầu là:
CD BD BC 693,68 552 141,68m .
Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn
dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo
được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2,5 m . Tính chiều cao cây. Lời giải
17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Gọi chiều dài dây là AC và chiều cao cây là . AB Đặt
AB x m với x 0,5 .
Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn 0,5 m .
AC x 0,5 m Xét ABC
vuông tại B , ta được: 2 2 2
AC BC AB x 2 2 2 0,5 2,5 x 2 2
x x 0, 25 6, 25 x x 6. Vậy cây cao 6m .
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 km . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC 800 m
và AB AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và
Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An. Lời giải 800 m = 0,8 Km. Xét ABC
vuông tại A , ta có: 2 2 2 2 2
BC AB AC 2000 800
BC 2154m 2,154Km .
Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là AC 0,8 t 0,16 h . 1 v 5 1
Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là BC 2,154 t h . 2 v v 2 2
Do An và Bảo đến cùng lúc nên 2,154 t t 0,16 1 2 v2 v 13,5 Km/h . 2
Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc 13,5 Km/h.
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ Câu 1. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức 2
HA = HB.HC . Đáp án cần chọn là B. 2. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức 2
HA = HB.HC .
Hay "Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của
hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền". Đáp án cần chọn là B. 3. Lời giải:
Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai. Đáp án cần chọn là C. 4. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức 1 1 1 2 2
AC = CH.BC;AB = BH.BC;A .
B AC = BC.AH và = + . 2 2 2 AH AB AC 2 2 AB + AC 1 1 Nhận thấy phương án D: 2 AH = = + là sai. 2 2 2 2 AB .AC AB AC Đáp án cần chọn là D. 5. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 AB 144 2
AB = BH .BC BH = =
= 7, 2 CH = BC - BH = 20 - 7, 2 = 12, 8 . BC 20
Vậy x = 7,2;y = 12, 8 . Đáp án cần chọn là C. 6. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 AB 100 2
AB = BH .BC BH = =
= 6, 25 CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9, 75 . BC 16
Vậy x = 6, 25;y = 9, 75 . Đáp án cần chọn là B. 7. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC BC = 100 BC = 10 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 2 AB 6 2
AB = BH.BC BH = = = 3, 6 hay x = 3, 6 . BC 10
CH = BC - BH = 10 - 3, 6 = 6, 4 hay y = 6, 4 . Vậy x = 3, 6;y = 6, 4 . Đáp án cần chọn là A. 8. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC BC = 25 BC = 5 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 2 AB 3 2
AB = BH .BC BH = = = 1, 8 hay x = 1, 8 . BC 5
CH = BC - BH = 5 - 1, 8 = 3, 2 hay y = 3, 2 .
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy x = 1, 8;y = 3,2 . Đáp án cần chọn là B. 9. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC BC = 74 BC = 74 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB.AC 5.7 35 74 35 74
AH.BC = AB.AC AH = = = . Vậy x = ;y = 74 . BC 74 74 74 Đáp án cần chọn là A. 10. Lời giải: A 5 12 x B H C y
Theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2
BC = AB + AC BC = 169 BC = 13 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AB AC . 5.12 60
AH .BC = AB.AC AH = = = . Vậy 60 x = ;y = 13 . BC 13 13 13 Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải: A B H C 2 2 2 2 2 2 AB AC AB AC AB + AC AB + AC
Ta có: AB : AC = 3 : 4 = = = = 3 4 9 16 9 + 16 25 2 BC 225 = = = 9 25 25
(Vì theo định lý Pytago ta có 2 2 2 2 2
AB + AC = BC AB + AC = 225 ) 2 2 Nên AB AC = 9 AB = 9; = 9 AC = 12 . 9 16
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: 2 AB 81 2
AB = BH.BC BH = =
= 5, 4 . Vậy BH = 5, 4 . BC 15 Đáp án cần chọn là A. 12. Lời giải:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com A B H C
Ta có AB : AC = 4 : 5 2 2 2 2 AB AC AB AC AB + AC 41 = = = =
= 1 (vì theo định lý Pytago ta có: 4 5 16 25 16 + 25 41 2 2 2 2 2 2
AB + AC = BC AB + AC = ( 41) = 41 ) 2 2 Nên AB AC 2
= 1 AB = 16 AB = 4; = 1 AC = 5 16 25
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có: 2 AC 25 2
AC = CH.BC CH = =
» 3, 9 . Vậy CH » 3, 9 . BC 41 Đáp án cần chọn là D. 13. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 1 1 1 AB.AC 15.20 = + AH = = = 12 . Vậy x = 12 . 2 2 2 2 2 2 2 AH AB AC AB + AC 15 + 20 Đáp án cần chọn là C. 14. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có: 1 1 1 2 2 2 2 1 AB + AC AB .AC = + 2 = AH = 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 2 2 AH AB .AC AB + AC AB.AC 12.13 AH = =
» 8, 82 . Vậy x » 8, 82 . 2 2 2 2 AB + AC 12 + 13 Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải: A B H C
Ta có AB : AC = 3 : 4 , đặt AB = .3a, AC = 4a (a > 0) 1 1 1 1 1 1 1 25 5 Theo hệ thức lượng = + = + = a = (TM) 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 36 9a 16a 36 144a 2
AB = 7, 5;AC = 10 .
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có:
21. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 2
CH = AC - AH = 100 - 36 = 8 . Vậy CH = 8 . Đáp án cần chọn là A. 16. Lời giải: A B H C
Ta có AB : AC = 3 : 7 , đặt AB = 3a;AC = 7a (a > 0) 1 1 1 1 1 1 1 58 Theo hệ thức lượng = + = + = 2 2 2 AH AB AC 2 2 2 2 42 9a 49a 1764 441a 2
441a = 102312 a = 2 58 (TM) AB = 6 58;AC = 14 58
Theo định lý Pytago cho tam giác vuông AHC ta có: 2 2 2 2
CH = AC - AH = (14 58) - 42 = 98 . Vậy CH = 98 . Đáp án cần chọn là C. 17. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 2
AH = BH.CH AH = 1.4 AH = 2 .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB;AHC ta có: 2 2 2 2
AB = AH + HB ;AC = AH + HC = 2 5 . Vậy x = 5;y = 2 5 . Đáp án cần chọn là C. 18. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 2 2
AH = BH.CH AH = 2.5 AH = 10 .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB;AHC ta có: 2 2
AB = AH + HB = 10 + 4 = 14 ; 2 2
AC = AH + HC = 10 + 25 = 35
Vậy x = 14;y = 35 . Đáp án cần chọn là A. 19. Lời giải: 1 1 1
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có = + 2 2 2 MD MN MP 1 1 1 1 2 2 = + =
x = 128 x = 8 2 . Vậy x = 8 2 . 2 2 2 64 x x 64 x Đáp án cần chọn là B. 20. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 = + 2 = + =
x = 72 x = 6 2 . Vậy x = 6 2 . 2 2 2 MD MN MP 2 2 2 36 x x 36 x
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Đáp án cần chọn là A. 21. Lời giải: A B D E C
Kẻ BE ^ CD tại E
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì
A = D = E = 90 ) nên BE = AD = 12cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 - x .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có: 2 2 BE = .
ED EC x(25 - x) = 144 x - 25x + 144 = 0 2
x -16x - 9x +144 = 0 x(x -16)- 9(x -16) = 0 x é = 16 (x 16)(x 9) 0 ê - - = ê (thỏa mãn) x = 9 êë
Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2
BC = BE + EC = 12 + 16 = 20 (loại).
Với EC = 9 , theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2
BC = BE + EC = 12 + 9 = 15 (nhận).
Vậy BC = 15cm . Đáp án cần chọn là A. 22. Lời giải:
Kẻ BE ^ CD tại E
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì
A = D = E = 90 ) nên BE = AD = 10cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 20 - x .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong
tam giác vuông BCD ta có: 2 BE = .
ED EC x(20 - x) = 100 2
x - 20x + 100 = 0 2
(x - 10) = 0 x = 10(tm)
Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2
BC = BE + EC = 12 + 10 = 2 61 .
Vậy BC = 2 61 cm . Đáp án cần chọn là B. 23. Lời giải: A B H C
Theo giả thiết: AB : AC = 5 : 12 .
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com AB AC AB + AC 34 Suy ra = = =
= 2 . Do đó AB = 5.2 = 10(cm);AC = 2.12 = 24(cm). 5 12 5 + 12 17
Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 10 + 24 = 676 , suy ra BC = 26cm . Đáp án cần chọn là C. 24. Lời giải: A B H C
Theo câu trước ta có AB = 10;AC = 24;BC = 26 . AB.AC 10.24
AH.BC = AB.AC AH = = » 9, 23 ; BC 26 2 2 AB 10 100 2
AB = BH.BC BH = = =
» 7, 69 . CH = BC - BH = 26 - 7, 69 = 18, 31 . BC 13 13
Vậy AH » 9,23;BH » 7, 69;CH » 18, 31. Đáp án cần chọn là A. 25. Lời giải: A B H C
Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4 AB AC AB + AC Suy ra = =
= 3 . Do đó AB = 3.3 = 9(cm);AC = 3.4 = 12(cm). 3 4 3 + 4
Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có: 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 9 + 12 = 225 , suy ra BC = 15cm . Đáp án cần chọn là B. 26. Lời giải: A B H C AB AC Ta có . 12.9
AB = 9;AC = 12;BC = 15 AH.BC = AB.AC AH = = = 7, 2 BC 15
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 AB 81 2
AB = BH.BC BH = =
= 5, 4 CH = BC - BH = 15 - 5, 4 = 9, 6 BC 15
Vậy AH = 7,2;BH = 5, 4;CH = 9, 6 . Đáp án cần chọn là B. 27. Lời giải:
Xét tam giác vuông ABC có AH là đường cao nên 2 2
AB = BH.BC;AC = CH.BC 2 AB BH.BC HB Nên = = 2 AC CH.BC HC Đáp án cần chọn là B. 28. Lời giải: 2 Tam giác vuông BH AHB có 2
BH = BD.AB BD = AB 2 Tam giác vuông HC AHC có 2
HC = AC.EC EC = AC 2 2 2 BD HB HC HB AC 2 AB HB Từ đó = : = . mà theo câu trước thì = nên 2 2 EC AB AC HC AB 2 AC HC 4 3 BD AB AC BD AB = . = . 4 3 EC AC AB EC AC Đáp án cần chọn là A. 29. Lời giải:
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì
A = E = D = 90 nên DE = AH
Xét DABC vuông tại A có 2 AH = .
HB HC = 9.16 = 144 AH = 12
Nên DE = 12cm . Đáp án cần chọn là A. 30. Lời giải: + Ta có:
NEC + AED = 90 mà
AED = HAE (do AEHD là hình chữ nhật) và
HAE = ABC (cùng phụ với ACB ) nên
NEC + ABC = 90 mà
ACB + ABC = 90 nên
ACB = NEC hay DNEC cân tại N
EN = NC (1). +
NEC + HEN = 90 mà
NEC = NCE NCE + HEN = 90 . Lại có
NEC + NHE = 90 nên
NEH = NHE hay DNEH cân tại N hay NE = NH (2).
Từ (1) và (2) suy ra NH = NC
Tương tự ta có MH = MB nên 1 1 1 1
MN = MH + NH = HB + HC = .9 + .16 = 12, 5cm 2 2 2 2 Đáp án cần chọn là C. 31. Lời giải: Vì
DM ^ DE, EN ^ DE DM EN;D = E = 90 nên DENM là hình thang vuông BH CH
Theo câu các câu trước ta có: DM = = 4, 5;EN = = 8;DE = 12 2 2 + + Nên (DM DN ).DE (4, 5 8).12 2 S = = = 75cm . DENM 2 2 Đáp án cần chọn là D. 32. Lời giải:
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì
A = E = D = 90 nên DE = AH
Xét DABC vuông tại A có 2 AH = .
HB HC = 4.9 = 36 AH = 6 Nên DE = 6cm . Đáp án cần chọn là D. 33. Lời giải: + Ta có
NEC + AED = 90 mà
AED = HAE (do AEHD là hình chữ nhật) và
HAE = ABC (cùng phụ với ACB ) nên
AEC + ABC = 90 mà
ACB + ABC = 90 nên
ACB = NEC hay DNEC cân tại N
EN = NC (1). +
NEC + HEN = 90 mà
NEC = NCE NCE + HEN = 90 . Lại có
NEC + NHE = 90 nên
NEH = NHE hay DNEH cân tại N hay NE = NH (2).
Từ (1) và (2) suy ra NH = NC
Tương tự ta có MH = MB nên 1 1 1
MN = MH + NH = HB + HC = BC . 2 2 2 Đáp án cần chọn là B. 34. Lời giải: Vì
DM ^ DE, EN ^ DE DM EN;D = E = 90 nên DENM là hình thang vuông
Theo câu các câu trước ta có: BH CH DM = = 2;EN = = 4, 5;DE = 6 2 2 DM + DN DE Nên ( ). 2 S = = 19, 5cm . DENM 2 Đáp án cần chọn là A. 35. Lời giải:
Tam giác CHD vuông tại H , ta có 2
CH = CM.CD
Tam giác CHE vuông tại H , ta có 2
CH = CN.CE
Nên CM .CD = CN .CE Đáp án cần chọn là B.
26. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com III.TỰ LUYỆN Bài 1: A
Tam giác ABC vuông tại A (gt), theo định lý Py-ta-go ta có: 2 2 2
BC = AB + AC 2 2 2 BC = 6 + 8 2 BC = 36 + 64 B C 2 2 H BC = 10 BC = 10cm
Tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình
chiếu của nó trên cạnh huyền. Ta có: 2
BH.BC = AB 2 BH.10 = 6 BH = 3, 6cm
Theo hệ thức liên quan đến đường cao
Ta có: AH.BC = AB.AC AH.10 = 6.8 AH = 4, 8cm Bài 2: A Ta có: 2 2 2 2
AB + AC = 12 + 5 = 169 2 2 BC = 13 = 169 DABC có 2 2 2
AB + AC = BC , theo định lý đảo
Py-ta-go ta có tam giác ABC vuông tại A . B C H
Mà AH là đường cao của tam giác ABC (gt)
Do đó theo hệ thức liên quan đến đường cao,
Ta có: AH.BC = AB.AC AH.13 = 12.5 60 AH = (cm) 13 Bài 3: A a) Ta có: 0 AHB D (AHB = 90 )
HD là đường cao, theo hệ thức liên quan E đến đường cao, ta có: 2
AD.AB = AH D Tương tự cũng có: 2
AE.AC = AH
Do đó: AD.AB = AE.AC B H C b) Xét AE D
D và DABC có: EAD (chung) A AE AD =
(vì AD.AB = AE.AC ) AB AC D Do đó: AE D D ∽ DABC E AED = ABC Bài 4: N M
Xét DABD và ACE D có: B C BAD (chung); 0
ADB = AEC(= 90 )
27. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Do đó DABD ∽ AC D E AB AD = AC AE
AE.AB = AD.AC (1) AM D
B vuông tại M (gt), ME là đường cao (gt), theo hệ thức liên quan tới đường cao có: 2
AM = AE.AB (2) Tương tự cũng có: 2
AN = AD.AC (3) Từ (1), (2) và (3) có 2 2 AM = AN AM = AN
DAMN cân tại A . Bài 5:
Qua D dựng đường thẳng vuông góc với F
DE , cắt BC tại P . Trong tam giác vuông
DPF , có là đường cao nên 1 1 1 E = + 2 2 2 A B CD DP DF
Trong đó CD = DA (cạnh hình vuông) DC D E = D
D CP (g.c.g) DP = DE . 1 1 1 Vậy: = + . 2 2 2 DA DE DF D C Nhận xét:
Khi E di động trên cạnh AB , ta luôn luôn có: 1 1 1 P + = 2 2 2 DE DF DA
Kết quả bài toán được phát biểu cách khác 1 1 Chứng minh rằng: + không đổi 2 2 DE DF M Bài 6:
Xét DAMN vuông tại ,
A AC là đường cao (gt)
Theo hệ thức liên quan đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1 1 1 + = 2 2 2 AM AN AC C Xét ba điểm , A B,C ta có: A
AC ³ AB - BC B AC ³ 1(cm) N 1 1 Do vậy: £ 1 £ 1 2 AC AC
Dấu “=” xảy ra C nằm giữa A và B
Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho BC = 3cm 1 1 thì + lớn nhất. 2 2 AM AN Bài 7:
Vẽ AE ^ AN, E Î DC và AH ^ DC,H Î DC
28. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Ta có: 0
DAE = DAB - (EAN + BAx) = 15 Xét AB D
M và DADE có: ABM = ADE
AB = AD (vì ABCD là hình thoi) 0
BAM = DAE(= 15 ) Do đó: AB D M = A
D DE (c.g.c) AM = AE AD D
H vuông tại H có: 0 0
ADH = 180 - BAD = 60 nên là nửa tam giác đều Suy ra: 1 1
DH = AD = AB 2 2 AD D H có 0
H = 90 , theo Định lí Py-ta-go ta có: 2 æ1 ö ç ÷ 3 2 2 2 2 2 2
AH + DH = AD AH = AB - ç AB÷ = AB ç çè2 ÷÷ø 4 1 4 = 2 2 AH 3AB DAEN có 0
A = 90 , AH ^ DN , theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: 1 1 1 + = 2 2 2 AE AN AH 1 1 4 + = 2 2 2 AM AN 3AB A B 15° M x Bài 8: D E H C N
Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC
Tam giác vuông tại A , AH là đường cao, theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, Ta có: 2
AH = BH.HC;BH = a (gt); HC = b (gt) A Nên 2
AH = ab AH = ab
DABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến + Nên BC a b AM = = 2 2
Ta có: AH ^ HM nên AH £ AM B C H M a + b Do đó: ab £ 2
-------------------------Toán Học Sơ Đồ-------------------------
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com