Thông tin
Quiz

Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

Tài liệu gồm 19 trang, tóm tắt lý thuyết trọng tâm cần đạt, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán, tuyển chọn các bài tập từ cơ bản đến nâng cao chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập chương trình Đại số 8 chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức.

Chủ đề:

Chương 2: Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (KNTT) 18 tài liệu

Môn:

Toán 8 1.8 K tài liệu

Thông tin:

19 trang 11 tháng trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề những hằng đẳng thức đáng nhớ

111 56 lượt tải Tải xuống

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. LÝ THUYẾT:

1. Bình phương của một tổng:

 

2 2

A B A AB B

   

2. Bình phương của một hiệu:

 

2 2

A B A AB B

   

3. Hiệu hai bình phương:









2 2

A B A B A B

   

4. Lập phương của một tổng:

 

3 2 2 3

3 3

A B A A B AB B

    

5. Lập phương của một hiệu:

 

3 2 2 3

3 3

A B A A B AB B

    

6. Tổng hai lập phương:









3 3 2 2

A B A B A AB B

    

7. Hiệu hai lập phương:









3 3 2 2

A B A B A AB B

    

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi

biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…

1. Tổng hai bình phương:

 

2 2

A B A B AB

   

2. Tổng hai lập phương:

   

3 3

A B A B AB A B

    

3. Bình phương của tổng 3 số hạng:

   

2 2 2

A B C A B C AB BC CA

       

4. Lập phương của tổng 3 số hạng:

     

3 3 3

A B C A B C A B B C C A

        

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:

Dạng 1: Biến đổi biểu thức

Phương pháp:

Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.

Bài 1: Thực hiện phép tính:

 

3 2

x y

  b)

 

x xy

  c)

2 2

x y



   

2 2

x y y

  

Giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

        

2 2 2

2 2

3 2 3 2 3 2 2 9 12 4

x y x x y y x xy y

         

b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

        

2 2 2

2 2 2 2

2 2

x xy x x xy xy x x y x y

         

c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

    

2 2 2

4 2 2 2

x y x y x y x y

     

d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:

       





   





2 2

2 2 2

x y y x y y x y y

         









2 2 2

x y x

   

Bài 2: Thực hiện phép tính:

















2 2 2 2

x y x xy y x y x xy y

       

3 2

2 6 6 2

x x x

  

3 2

6 12 8

x x x

  

   

3 3

x y x y

  

Giải

a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

















2 2 2 2

x y x xy y x y x xy y

       









3 3 2 2 3 3 3 3 3

x y x y x xy y x y x y x

          

b) Ta có:





3 2 3 2

2 6 6 2 2 3 3 1

x x x x x x

      

Áp dụng bất đẳng thức ta được:





 

3 2

2 3 3 1 2 1

x x x x

    

c) Ta có:

3 2 3 2 2 3

6 12 8 3.2 3.2 . 2

x x x x x x

      

Áp dụng bất đẳng thức ta được:

 

3 2 2 3

3.2. 3.2 .. 2 2

x x x x    

d) Áp dụng bất đẳng thức ta được:

   

3 3

x y x y

  





   





2 3

3 2 2 3 3 2

3 3 3. 2 3. . 2 2

x x y xy y x x y x y y

       

3 2 2 3 3 2 2 3

3 3 6 12 8

x x y xy y x x y xy y

       

2 2 3

9 9 9

x y xy y

  

Bài 3: Rút gọn biểu thức:









a b c d a b c d

     









2 3 2 3

x y z x y z

   

















2 2

1 1 1 1

x x x x x x

     

   

3 3

x y x y

  





 





 

2 2

3 1 3 1 2 3 1 3 1

x x x x x x

       

Giải









a b c d a b c d

     

           

2 2

a b c d a b c d a b c d

             

   

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

a ab b c cd d a b c d ab cd

           

















2 3 2 3 3 2 . 3 2

x y z x y z x z y x z y

        

   

   

   

2 2

2 2 2

2 2 6 9 4

x z y x xz z y

      

























2 2 3 3 6

1 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x x

          

   

3 3

x y x y

  









3 2 2 3 3 2 2 3

3 3 3 3

x x y xy y x x y xy y

       

3 2 2 3 3 2 2 3

3 3 3 3

x x y xy y x x y xy y

       





2 3 2 2

6 2 2 3

x y y y x y

   





 





 

2 2

3 1 3 1 2 3 1 3 1

x x x x x x

       





 









2 2

2 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1 2

x x x x x x x

 

           

 

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:

- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần

tính giá trị.

- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức

có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.

- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.

Bài 1: Cho

x y

 

. Tính giá trị biểu thức sau:

3 3

A x xy y

  

Giải

Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được:









3 3 2 2

3 3

A x y xy x y x xy y xy

       

   





3 3

x y x y xy xy

    

Theo bài ra

x y

 

, thay vào

ta được:

   









3 3 1. 1 3 3 1 3 3 1

A x y x y xy xy xy xy xy xy

           

Vậy



Bài 2: Cho

x y

 

và



. Tính

 

3 3

B x y x y

   

Giải.

Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:

   





 

2 2

3 3 2 2

B x y x y x y x xy y x y

         

   





 

2 2

x y x y xy x y

     

Theo bài ra

x y

 



thay vào

ta được:

   





 





2 2

3 4 4 3.5 16 140

B x y x y xy x y         

Vậy

140



Bài 3: Tính giá trị biểu thức:

2 3

9 48 64 5

x x x

  

tại



3 2

9 27 27

x x x

  

tại

 



tại



 

2 2

2 1 1

x x x

  





tại



Giải

a) Ta có:

 

2 3 3

9 48 64 5 3 8 5

x x x x x

     

Thay



vào ta được:

 

3.2 8 5.2 36

   

b) Ta có

 

3 2

9 27 27 3

x x x x    

Thay

 

vào ta được:

   

3 3

3 4 3 7 343

x       

c) Ta có:









  

3 2

1 1

1 1 1 1

x x x

x x x x

  

 

   

Thay



vào ta được:

2 2

1 6 6 1 43

1 6 1 7

x x

   

 

 

d) Ta có:

 

2 2

2 1 1

x x x

  





 

  

 

1 1 1

1 1

x x x

x x

x x x

  

 

   

  

  



Thay



vào ta được:

3 1 3 1 2 28

3 3 1 3 1 13 13

 

   

  

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

+) Giá trị lớn nhất của biểu thức





A x

. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng:





m Q x m

 

(với

là hằng số)



GTLN của





A x m



+) Giá trị lớn nhất của biểu thức





A x

. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng





Q x n n

 

(với

là hằng số)



GTNN của





A x n



Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 5

A x x

   

9 3 4

B x x

  

Giải

a) Ta có:

 

2 2

2 5 2 1 6 6 1 6

A x x x x x

            

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

là 6 khi

1 0 1

x x

    

b) Ta có:

2 2

9 3 27 43 3 43

9 3 4 3 2. . 4 3

4 2 4 4 2 4

B x x x x x

   

            

   

   

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

là

khi

3 3

2 2

x x

   

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

8 8 14

A x x

  

B x x

  

Giải

a) Ta có:





2 2

8 8 14 2 4 4 1 12

A x x x x

      

 

2 2 1 12 12

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là 12 khi

2 1 0

x x

   

b) Ta có:

2 2

1 1 1 1 7 7

2 2. . 2

2 4 4 2 4 4

B x x x x x

 

           

 

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

khi

1 1

2 2

x x

    

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức





A x x

  

4 3 2

2 2 2 1

B x x x x

    

Giải

a) Ta có:

2 2

1 1 3 1 3 3

1 2. .

2 4 4 2 4 4

x x x x x

 

         

 

 

x x

 

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Giá trị nhỏ nhất của

 



 

 

khi và chỉ khi

1 1

2 2

x x

   

b) Ta có:

4 3 2 4 3 2 2

2 2 2 1 2 2 1

B x x x x x x x x x

          









   

2 2

2 2 2 2

2 1 2 1 1 1 0

x x x x x x x x

          

Mặt khác:

0 1

1 0

B x



 











    



 

 



 



 



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức



khi và chỉ khi



Bài 4: Chứng minh rằng

4 10

x x

 

luôn dương với mọi

Giải

Ta có:

 

2 2

4 10 2.2. 4 6 2 6

x x x x x

        

Ta thấy

   

2 2

2 0 2 6

x x

    

luôn dương với mọi

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP

1. Tìm hệ số

của đa thức sau khi khai triển :

       

2 2 3 3

) 2 2 3 3 1

a A x x x x

       

       

2 2 2 3

) 2 1 2 3 3 1

b B x x x x

       

Giải

2 2 3 2 3 2

) 4 4 4 4 9 27 27 27 27 9 1

a A x x x x x x x x x x

             

3 2

28 38 36 36

x x x

   

Vậy hệ số của

là 38.

2 2 3 2 3 2

) 4 4 1 4 4 9 27 27 27 27 9 1

b B x x x x x x x x x x

             

3 2

28 31 28 23

x x x

   

Vậy hệ số của

là -31.

2. Tính giá trị biểu thức

) 0,2 0,01

a A x x   tại

0,9



3 2

) 3 3 2

b B x x x

   

tại



4 3 2

) 2 3 2 2

c C x x x x

    

tại

x x

 

Giải

a ) Ta có :

0,2 0,01

A x x  

 

0, 2 0,1

x x  

 

0,1

x 

Với

 

0,9 0,9 0,1 1

x A

    

b) Ta có:

3 2

3 3 2

B x x x

   

 

3 2

3 3 1 1 1 1

x x x x

       

Với



thì

 

19 1 1 8000 1 8001

B      

c) Ta có :

4 3 2

2 3 2 2

C x x x x

    

4 3 2 2

2 2 2 2

x x x x x

     









2 2

2. 1 1

x x x x

     





1 1

x x

   

Với

 

8 8 1 1 81 1 82

x x C

        

3. Tính hợp lý :

2 2

356 144

)

256 244

a A







2 2

) 253 94.253 47

b B   

2 2

) 163 92.136 46

c C   









2 2 2 2 2 2

) 100 98 ... 2 99 97 ... 1

d D        

Giải









  

2 2

356 144 356 144

356 144 500.212 53

)

256 244 256 244 500.12 3

256 244

a A

 



   

 



 

2 2 2 2 2

) 253 94.253 47 253 2.47.253 47 253 47 300 90000

b B          

 

2 2 2 2 2

) 136 92.136 46 136 2.46.136 46 136 46 90 8100

c C          









2 2 2 2 2 2

) 100 98 ... 2 99 97 ... 1

d D        













2 2 2 2 2 2

100 99 98 97 ... 2 1

      

























100 99 100 99 98 97 98 97 ... 2 1 2 1

         













1. 100 99 1. 98 97 ... 1. 2 1

      













100 99 ... 1 100 1 99 2 ... 51 50

          

101 101 ... 101 101.50 5050

     

4. Tính giá trị biểu thức :

 





2 2

2019 2020 2021

2021 2020 2019

2020 1

2020 1 2020 1









 

Giải





  

 

2 2

2 3

2021 2020 2019

2019 2020 2021

2020 1

2020 1 2020 1









 





   

 





 

2 2 2 2

2 2

2021 2020 2020 1 2019 2020 2020 1

2020 1 2020 1 2020 1 2020 2020 1 2020 1 2020 2020 1

   



       

.2019 1

2019

 

5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2

) 5 5 8 2 2 2020

a A x y xy y x     

2 2 2

) 5 4 2 1

b M x y z x xy z

      

Giải

a) Ta có :

2 2 2 2

4 8 4 2 1 2 1 2018

A x xy y x x y y         

     

2 2 2

4 1 1 2018 2018

x y x y       

Vậy giá trị nhỏ nhất của

2018



tại

1; 1

x y

  

2 2 2 2

1 1

) 2 4 4 1 2

4 4

c M x xy y x x z z         

   

2 2

1 1 1

2 1 2. 2

2 4 2

x y x z

 

        

 

 

Dấu bằng xảy ra khi

2 1 0

x y

x x y z





 



     





 





Vậy giá trị nhỏ nhất của M là

 khi

x y z

  

6. Tìm x, biết :

      

2 2

) 2 3 2 2 3 19

a x x x x

      













2 2

) 2 2 4 5 15

b x x x x x

     

   





 

) 1 2 4 2 3 2 17

c x x x x x x

       

Giải

      

2 2

) 2 3 2. 2 3 19

a x x x x

      

      

2 2

2 8 3 12 2 2 3 19

x x x x x x

         

   

20 2 3 19

x x x

     

 

 

20 1 19

  

20 18

x x   













2 2

) 2 2 4 5 15

b x x x x x

     

3 3

8 5 15

x x x

    

5 8 15 5 7

x x x

      

   





 

) 1 2 4 2 3 2 17

c x x x x x x

       

 

3 2

1 8 3 6 17

x x x x

      

3 2 3

3 3 1 8 6 17

x x x x x

       

9 7 17

  

9 10

x x   

7. Biết



và

2 2

2016

x y xy x y   

. Hãy tính giá trị :

2 2

x y



Giải

Ta có:

2 2

2016

x y xy x y   





2016

xy x y x y   









11 2016

x y x y   





12 2016 168

x y x y    

Mà

 

2 2 2

2 168 2.11 28202

x y x y xy      

8. Cho

a b

 

. Tính giá trị biểu thức :













2 2

1 1 3 1

A a a b b ab a b ab

       

Giải

Ta có :





3 2 3 2

3 3

A a a b b ab a b ab ab

       





3 3 2 2

3 2

a ab a b b a b ab

      

   

3 2

7 7 392

a b a b      

9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :





) 6 10 0

a x x

  









) 3 5 3 0

b x x

   

) 1 0

c x x

  

Giải





) 6 10 0

a x x

  

6 9 1 0

x x

    

 

3 1 0

   

(luôn đúng )









) 3 5 3 0

b x x

   

8 18 0

x x

   

8 16 2 0

x x

    

 

4 2 0

   

(luôn đúng)

) 1 0

c x x

  

1 3 1 3

0 0

4 4 2 4

x x x

 

        

 

 

(luôn đúng )

10. Tìm x, y biết :

2 2

) 2 5 4 0

a x x y y

    

2 2

)4 20 2 26 0

b x y x y

    

2 2

)9 4 4 12 5 0

c x y y x

    

Giải

2 2

) 2 5 4 0

a x x y y

    









2 2

2 1 4 4 0

x x y y

      

   

2 2

1 2 0

x y

    

   

2 2

1 0; 2 0

x y

    

(vì

   

2 2

1 , 2 0

x y

  

)

1; 2

x y

  

2 2

)4 20 2 26 0

b x y x y

    









2 2

4 20 25 2 1 0

x x y y

      

   

2 2

2 5 1 0

x y

    

 

2 5 0

  

và

 

1 0

 

(vì

   

2 2

2 5 , 1 0

x y

  

)

; 1

  

x y

2 2

)9 4 4 12 5 0

    

c x y y x









2 2

9 12 4 4 4 1 0

x x y y

      

   

2 2

3 2 2 1 0

x y

    

 

3 2 0

  

và

 

2 1 0

 

(vì

   

2 2

3 2 , 2 1 0

x y

  

)

2 1

;

3 2

x y

   

11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:

2 2

) 4 4 4 10 0

a x y x y

    

2 2

)3 10 2 29 0

b x y x xy

    

2 2

)4 2 2 4 5 0

c x y y xy

    

Giải

2 2

) 4 4 4 10 0

    

a x y x y

2 2

4 4 4 4 1 5 0

x x y y

       

   

2 2

2 2 1 5 0

x y

     

Mà

   

2 2

2 2 1 5 5 0

x y

     

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.

2 2

)3 10 2 29 0

b x y x xy

    

2 2 2

2 2 10 29 0

x xy y x x

      

   

2 2

2 2,5 16,5 0

x y x

     

Mà

   

2 2

2 2,5 16,5 16,5 0

x y x

     

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.

2 2

)4 2 2 4 5 0

c x y y xy

    









2 2 2

4 4 2 1 4 0

x xy y y y

       

   

2 2

2 1 4 0

x y y

     

Mà

   

2 2

2 1 4 4 0

x y y

     

Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.

12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

) 15 8

a A x x

  

) 4 2

b B x x

  

2 2

) 4 4 2

c C x y x y

    

Giải

a) Ta có :





 

2 2

15 8 31 16 8 31 4 31

A x x x x x

          

Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi

 

b) Ta có





 

6 4 4 6 2 6

B x x x

       

Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi



c) Ta có :









   

2 2

10 4 4 4 4 10 2 2 10

C x x y y x y

            

Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi

2; 2

x y

  

13. Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện

2 2

3; 17

x y x y

   

. Tính giá trị biểu thức

3 3

x y



Giải

Ta có:

 

2 2

2 17 2 9

x y x y xy xy

      

9 17



   

     

3 3

3 27 3. 4 .3 63

x y x y xy x y

        

14. Cho





x y a b

   và





3 3 3 3

x y a b   Chứng minh rằng :

2 2 2 2

x y a b

  

Giải

Ta có hằng đẳng thức :

   

3 3

x y x y xy x y

    

(1)

   

3 3

a b a b ab a b

    

(2)

Kết hợp với (1) và (2) suy ra

xy ab



(3)

Mặt khác, từ (1) suy ra

   

2 2

2 2 2 2

2 2

x y a b x y xy a b ab

        

Kết hợp với (3) suy ra :

2 2 2 2

x y a b

  

15. Cho

a b c p

  

. Chứng minh rằng:





2 2 2

)2 4

a bc b c a p p a

    

     

2 2 2

2 2 2 2

)

b p a p b p c a b c p

        

Giải

a) Ta có:

 

2 2 2 2

bc b c a b c a

     

















2 2 4

b c a b c a p p a p p a

        

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh

b) Ta có :

     

2 2 2

p a p b p c

    

2 2 2 2 2 2

2 2 2

p ap a p pb b p pc c

        





2 2 2 2

3 2

p p a b c a b c

      

2 2 2 2 2 2 2 2

3 2 .2

p p p a b c a b c p

        

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh

16. Cho





2020 ch÷ sè 9

99...9

.Hãy so sánh tổng các chữ số của

với tổng các chữ số của A.

Giải

Ta có :





2020 ch÷ sè 9

99...9

2020

10 1

 

nên





2 2020

10 1

 

4040 2020

2019 2019

10 2.10 1 99...9800...01

   

 

Tổng các chữ số của

là :

9 2019 8 1 18180

   

Tổng các chữ số của A là :

9 2020 18180

 

Vậy tổng các chữ số của

và tổng các chữ số của A bằng nhau.

17. Chứng minh rằng:

Nếu

           

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b b c c a a b c b c a c a b

              thì

a b c

 

Hướng dẫn giải – đáp số

Giải

           

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0(*)

a b c a b b c a b c c a b c a              

Áp dụng hằng đẳng thức :









2 2

x y x y x y

   

ta có :

         

2 2

2 2 2 2 2 4

a b c a b a c b c a c b c

         

         

2 2

2 2 2 2 2 4

         

b c a b c b a c a b a c a

         

2 2

2 2 2 2 2 4

c a b c a c b a b c b a b

         

Kết hợp với (*) ta có :

























4 4 4 0

a c b c b a c a c b a b

        

























a c b c b a c a c b a b

         

2 2 2

ab ac bc c bc ba ac a ac bc ab b

            

2 2 2

a b c ab bc ac

      

2 2 2

2 2 2 2 2 2 0

a b c ab bc ac

      

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

a ab b b bc c c ca a

         

     

2 2 2

a b b c c a

      

a b

b c a b c

c a

 





    





 



18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng



là hợp số

(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013)

Giải

- Với n là số chẵn







  

n k k N

thì

4 4 2

4 16 4 4

n k

n k  



nên



là hợp số

- Với n là số lẻ. Đặt





2 1 , 1

   

n k k N k

thì ta có:

4 4 2 2 1

4 2. .2 4 .2

n n n n



    













2 2 2 2 2

2 .2 2 2 . 2 2 .

n k n k n k

n n n n n n

       

Ta có:





2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2

2 2 . 2 . 2 2 2 2 2 2

n k k k n k k k k

n n n n n

    

          





1 2 2

2 2 1

k k

 

   

mà

2 2

2 2 . 2 2 .

n k n k

n n n n

    

suy ra



là hợp số

Vậy



là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1.

19.

a) Cho

a b

 

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

A a b

 

b) Cho

2 8

x y

 

.Tìm giá trị lớn nhất của

B xy



Giải

a) Ta có:

   





2 2

a b a b a b

    

 

4 2

a b A

   

4 2 2

A A

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi

a b

 

b) Từ

2 8 8 2

x y x y

    

suy ra





2 2

8 2 8 2 8 8 8 2

B y y y y y y

       

 

8 2 2 8

B y

   

Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi

2; 4

y x

 

20. Tìm giá trị nhỏ nhất của





2 2

A x y

 

biết

2 2

x y xy

  

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015)

Giải

Từ giả thiết, ta có

   

2 2

3 12 6 2 24

x y xy xy x y

      

Ta có :





       

2 2 2 2

2 2

3 3 6 3 2 24 24

A x y x y xy x y x y x y

            

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi

2 2

0 ;

2 2

x x

x y

y y

  

 

  

 

  

 

21. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:

     

3 3 3

2010

a b b c c a      .Tính giá trị của

biểu thức

A a b b c c a

     

Giải

Đặt





; ; 0

a b x b c y c a z x y z z x y

             

Ta có :

   

3 3 3 3 3

210 210 3 210

x y z x y x y xy x y           

xyz

 

. Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và









70 2 5 .7

xyz    

nên





, , 2; 5;7 14

x y z A a b b c c a

          

22. Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn

2 2

2020

x y 

Giải

Từ

2 2

2020

x y 

suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ

TH1: Nếu x; y cùng chẵn. Đặt

2 ; 2

x m y n

 

2 2 2 2

4 4 2018 2 2 1009

m n m n    

Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ. Vô lí

TH2: Xét x; y cùng lẻ. Đặt

2 1; 2 1

x k y q

   

Ta có :

   

2 2

2 1 2 1 2018 4 4 4 4 2018

m n m m n n        

Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí

Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn

2 2

2020

x y 

D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

CẦN NHỚ





2 2

A B A AB B

   





2 2

A B A AB B

   









2 2

A B A B A B

   





3 2 2 3

3 3

A B A A B AB B

    





3 2 2 3

3 3

A B A A B AB B

    









3 3 2 2

A B A B A AB B

    









3 3 2 2

A B A B A AB B

    

BÀI TỰ LUYỆN

1. Khai triển các biểu thức sau:

 



















 

; b)





2 3

x y



2.Tính giá trị của mỗi biểu thức sau tại giá trị chỉ ra:

3 2

12 48 64

x x x

  

tại



;

3 2

6 12 8

x x x

  

tại



3. Rút gọn các biểu thức sau:













2 3

3 3 9 54

x x x x

     ;

















2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

x y x xy y x y x xy y

       .

4.Tính nhanh giá trị các biểu thức sau:

2 2

34 66 68.66

 

;

2 2

74 24 48.74

 

5. So sánh các cặp số sau:

2008.2010



với

2009



;





















2 4 8 16

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

     

với



6.Tìm x, biết:

2 2

16 (4 5) 15

x x

  

(2 3) 4( 1)( 1) 49

x x x

    

(2 1)(1 2 ) (1 2 ) 18

x x x

    

2 2

2( 1) ( 3)( 3) ( 4) 0

x x x x

      

( 5) ( 4) 9

x x x

   

( 5) ( 4)(1 ) 0

x x x

    

7. Chứng minh đẳng thức









2 2

– 4

a b a b ab

  

8. Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

– 2 5

A x x

 

– 1

B x x

 

















– 1 2 3 6

C x x x x

   

2 2

5 – 2 4 3

D x y xy y

   

9. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

– – 4 – 2

A x x



–2 – 3 5

B x x

 









2 – 4

C x x

 

2 2

–8 4 – 3

D x xy y

  

10. Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến.

25 – 20 7

A x x

 

2 2

9 – 6 2 1

B x xy y

  

2 2

– 2 4 6

E x x y y

   

D – 2 2

x x

 

11. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.

LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

a) Ta có:

3 3 2

2 3 3 2

1 1 1 1 1 9 27

3 3. .3 3. .3 3 27

2 2 2 2 8 4 2

x x x x x x x

       

   

   

   

        

   

   

   

   

   

       

b) Ta có:





















3 3 2

2 3

2 2 2 2

2 3 2 3. 2 .3 3.2 . 3 3

x y x x y x y y

    

6 4 2 2 3

8 36 54 27

x x y x y y

   

a) Ta có:





3 2 3 2 2 3

12 48 64 3. .4 3. .4 4 4

x x x x x x x        

Thay



vào biểu thức cuối ta được kết quả là 1000.

b) Ta có:





3 2 3 2 2 3

6 12 8 3. .2 3. .2 2 2

x x x x x x x        

Thay



vào biểu thức cuối ta được kết quả là 8000.

a) Ta có:





















2 3 3 3 3 3 3

3 3 9 54 3 54 27 54 27

x x x x x x x x               .

b) Ta có:

















2 2 2 2

2 4 2 2 4 2

x y x xy y x y x xy y

      

















3 3 3 3

3 3 3 3 3

2 2 2 2 2

x y x y x y x y y

 





        







 

a) Ta có:





2 2 2 2 2

34 66 68.66 34 2.34.66 66 34 66 100 10000

        

b) Ta có:





2 2 2 2 2

74 24 48.74 74 2.24.74 24 74 24 50 2500

        

a) Ta có:









2008.2010 2009 1 2009 1 2009 1

     

Vậy

A B



b) Ta có:





























2 4 8 16

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

A A

        





















2 2 4 8 16

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

     





























4 4 8 16 8 8 16

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

        









16 16 32

2 1 2 1 2 1

    

Vậy

A B





; b)



; c)

 

;

x 



x 

7. Biến đổi VP = VT hoặc ngược lại.

8. a)





1 4 4

A x

   

1 3 3

2 4 4

B x

 







   











 













2 2 2

5 6 5 6 5 36 36

C x x x x x x

         









2 2

2 1 2 2

D x y y

     

9. a)





2 – 2 2

A x

  

49 3 49

8 4 8

B x

 







   











 





9 1

C x  





3 2 4 3

D x y x

    

10.a)





5 2 3 3 0

A x

    





3 1 1 0

B x y y

     









2 2

1 2 1 1 0

E x y

      





D 1 1 1 0

    

11. Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là



;



(

; 2

x x

 



)

Ta có:

































2 2

2 1 1 2 1 1 2

A x x x x x x x x x x x x

           

đặt

x x t

 

khi đó









1 2 1 2 1 1

A t t t t t        





1 1

A x x   

. Vậy



là một số chính phương.

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/19

| | Tải xuống

Preview text:

NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A. LÝ THUYẾT:
1. Bình phương của một tổng:  A  B2 2 2  A  2AB  B
2. Bình phương của một hiệu:  A  B2 2 2  A  2AB  B
3. Hiệu hai bình phương: 2 2
A  B   A  B A  B
4. Lập phương của một tổng:  A  B3 3 2 2 3  A  3A B  3AB  B
5. Lập phương của một hiệu:  A  B3 3 2 2 3  A  3A B  3AB  B
6. Tổng hai lập phương: 3 3      2 2 A B A B A  AB  B 
7. Hiệu hai lập phương: 3 3      2 2 A B A B A  AB  B 
Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi
biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,…
1. Tổng hai bình phương: A  B   A  B2 2 2  2AB
2. Tổng hai lập phương: A  B   A  B3 3 3  3AB A  B
3. Bình phương của tổng 3 số hạng:  A  B  C2 2 2 2
 A  B  C  2 AB  BC  CA
4. Lập phương của tổng 3 số hạng:  A  B  C3 3 3 3
 A  B  C  3 A  BB  CC  A
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN:
Dạng 1: Biến đổi biểu thức Phương pháp:
Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức.
Bài 1: Thực hiện phép tính: a)  x  y2 3 2 b)   2 x xy c) 2 2 x  4y
d)x  y2    y2 2 Giải
a) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
 x  y2   x2   x y   y2 2 2 3 2 3 2 3 2 2  9x 12xy  4y
b) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x  xy2  x2  xxy  xy2 2 2 2 2 2  x  2x y  x y
c) Áp dụng hằng đẳng thức ta có: x  y  x   y2 2 2 2 4 2
 x  2yx  2y
d) Áp dụng hằng đẳng thức ta có:
x  y2    y2 2
 x  y  2  yx  y  2  y
 x  2y  2x  2
Bài 2: Thực hiện phép tính: a)    2 2      2 2 x y x xy y x y x  xy  y  b) 3 2 2x  6x  6x  2 c) 3 2 x  6x 12x  8
d) x  y3  x  y3 2 Giải
a) Áp dụng bất đẳng thức ta được:    2 2      2 2 x y x xy y x y x  xy  y  3 3
 x  y  x  y 2 2 x  xy  y  3 3 3 3 3
 x  y  x  y  2x b) Ta có: 3 2 x  x  x    3 2 2 6 6 2 2 x  3x  3x   1 .
Áp dụng bất đẳng thức ta được: x  x  x    x  3 3 2 2 3 3 1 2 1 . c) Ta có: 3 2 3 2 2 3
x  6x 12x  8  x  3.2x  3.2 .x  2
Áp dụng bất đẳng thức ta được: x  x  x   x  3 3 2 2 3 3.2. 3.2 .. 2 2
d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x  y3  x  y3 2
 x  x y  xy  y   x  x y  x  y2   y3 3 2 2 3 3 2 3 3 3. 2 3. . 2 2  3 2 2 3 3 2 2 3
 x  3x y  3xy  y  x  6x y 12xy  8y 2 2 3  9x y  9xy  9y
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) a  b  c  d a  b  c  d 
b) x  2y  3z x  2y  3z c) x   2
x  x   x   2 1 1 1 x  x   1
d)   3    3 x y x y
e) x  x  2   x  2 2   2 3 1 3 1 2 x  3x   1 3x   1 Giải
a) a  b  c  d a  b  c  d 
 a  b  c  d  
 a  b  c  d  
 a  b2  c  d 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2
 a  2ab  b  c  2cd  d  a  b  c  d  2ab  2cd
b) x  2y  3zx  2y  3z  x  3z  2y.x  3z  2y    
 x  z2   y2 2 2 2 2 2  x  6xz  9z  4y c) x   2
x  x  x   2 x  x     3 x   3 x   6 1 1 1 1 1 1  x 1
d)   3    3 x y x y   3 2 2 3
x  x y  xy  y    3 2 2 3 3 3 x  3x y  3xy  y  3 2 2 3 3 2 2 3
 x  3x y  3xy  y  x  3x y  3xy  y 2 3  x y  y  y 2 2 6 2 2 3x  y 
e) x  x  2   x  2 2   2 3 1 3 1 2 x  3x   1 3x   1
 x  x     x   2  x  x   x  2  x    2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Phương pháp: Dạng bài toán này rất đa dạng ta có thể giải theo phương pháp cơ bản như sau:
- Biến đổi biểu thức cho trước thành những biểu thức cần thiết sao cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị.
- Áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện biến đổi biểu thức cần tính giá trị về biểu thức
có liên quan đến giá trị đề bài đã cho.
- Thay vào biểu thức cần tính tìm được giá trị.
Bài 1: Cho x  y  1. Tính giá trị biểu thức sau: 3 3 A  x  3xy  y Giải
Áp dụng hằng đẳng thức bậc 3, ta được: 3 3
A  x  y  xy   x  y 2 2 3 x  xy  y   3xy
 x  y x  y2  3xy  3xy
Theo bài ra x  y  1, thay vào A ta được:
A   x  y x  y2  xy  xy   2 3 3
1. 1  3xy  3xy  1 3xy  3xy 1 Vậy A  1.
Bài 2: Cho x  y  4 và xy  5 . Tính      2 3 3 B x y x y Giải.
Áp dụng hằng đẳng thức, ta được:  
   2           2 3 3 2 2 B x y x y x y x xy y x y
 x  y x  y2  xy  x  y2 3
Theo bài ra x  y  4, xy  5 thay vào B ta được:
B   x  y x  y2  xy  x  y2   2 3 4 4  3.5 16 140 Vậy B  140
Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) 2 3
9x  48x  64  5x tại x  2 b) 3 2
x  9x  27x  27 tại x  4 3 2 2 c) x 1 tại x  2x 1 x 1 x  6 d)  tại x  3 2 x 1 3 x 1 x  2 1 Giải a) Ta có: x  x   x   x  2 2 3 3 9 48 64 5 3 8  5x
Thay x  2 vào ta được:   2 3 3.2 8  5.2  36 b) Ta có x  x  x   x  3 3 2 9 27 27 3
Thay x  4 vào ta được: x  3    3 3 3 4 3  7  343 x 1  x   1  2 3 x  x   2 1 c) Ta có: x  x  1   2 x 1 x   1  x   1 x  1 2 2 Thay x  x 1 6  6  1 43 x  6 vào ta được:   x  1 6  1 7 2 2 d) Ta có: x  2x 1 x 1  3 x 1 x  2 1 x  2 1 x   1  x   1 x 1 x  1      x   1  2 x  x   1 x  2 2 1 x  x 1 x 1 Thay 3 1 3 1 2 28 x  3 vào ta được:    2  2 3  3 1 3 1 13 13
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phương pháp:
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức Ax. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng: 2
m  Q  x  m (với m là hằng số)  GTLN của A x  m .
+) Giá trị lớn nhất của biểu thức Ax. Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi được về dạng 2
Q  x  n  n (với n là hằng số)  GTNN của A x  n .
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a) 2 A  x  2x  5 b) 2 B  9x  3x  4 Giải
a) Ta có: A  x  x   x  x      x  2 2 2 2 5 2 1 6 6 1  6
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 6 khi x 1  0  x  1. b) Ta có: 2  9 3  27 43  3  43 2 2
B  9x  3x  4  3   2. .x  x   4   3  x       4 2  4 4  2  4
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là 43 khi 3 3  x  0  x  . 4 2 2
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) 2 A  8x  8x 14 b) 2 B  x  x  2 Giải a) Ta có: 2 A  x  x    2 8 8 14 2 4x  4x   1 12   x  2 2 2 1  12  12
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 12 khi 1 2x 1  0  x  . 2 2 b) Ta có: 1 1 1  1  7 7 2 2
B  x  x  2  x  2. .x    2  x      2 4 4  2  4 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 7 khi 1 1 x   0  x   . 4 2 2
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a) A  x  x  2 2 1 b) 4 3 2
B  x  2x  2x  2x 1 Giải 2 a) Ta có: 1 1 3  1  3 3 2 2
x  x  1  x  2. .x    x      2 4 4  2  4 4 Do 2
x  x  1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 . 4 2 Giá trị nhỏ nhất của  3 
A    khi và chỉ khi 1 1 x   0  x  .  4  2 2 b) Ta có: 4 3 2 4 3 2 2
B  x  2x  2x  2x 1  x  2x  x  x  2x 1
 x x  x    x  x    x x  2  x  2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1  0 2 x  0 x  0 Mặt khác:   B 0 
  x 1  0  x 1  x 1.   x 1  0 x  1
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B  0 khi và chỉ khi x  1. Bài 4: Chứng minh rằng 2
x  4x 10 luôn dương với mọi x Giải Ta có: x  x   x  x     x  2 2 2 4 10 2.2. 4 6 2  6
Ta thấy x  2   x  2 2 0
2  6 luôn dương với mọi x .
B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP 1. Tìm hệ số 2
x của đa thức sau khi khai triển :
a A  x  2   x  2   x  3   x  3 ) 2 2 3 3 1
b B   x  2   x  2   x  2   x  3 ) 2 1 2 3 3 1 Giải 2 2 3 2 3 2
a)A  x  4x  4  x  4x  4  x  9x  27x  27  27x  27x  9x 1 3 2
 28x  38x  36x  36 Vậy hệ số của 2 x là 38. 2 2 3 2 3 2
b)B  4x  4x  1 x  4x  4  x  9x  27x  27  27x  27x  9x 1 3 2
 28x  31x  28x  23 Vậy hệ số của 2 x là -31.
2. Tính giá trị biểu thức 2
a)A  x  0, 2x  0, 01 tại x  0,9 . 3 2
b)B  x  3x  3x  2 tại x  19 . 4 3 2
c)C  x  2x  3x  2x  2 tại 2 x  x  8 Giải a ) Ta có : 2 A  x  0, 2x  0, 01  x  x   2 2 0, 2 0,1  x  2 0,1 Với x   A    2 0,9 0,9 0,1  1 b) Ta có: 3 2 B  x  3x  3x  2
 x  x  x    x  3 3 2 3 3 1 1 1  1
Với x  19 thì B    3
19 1 1  8000  1  8001 c) Ta có : 4 3 2
C  x  2x  3x  2x  2 4 3 2 2
 x  2x  x  2x  2x  2  x  x2 2   2 2. x  x 11  x  x  2 2 1 1
Với x  x   C    2 2 8
8 1  1  81 1  82 . 3. Tính hợp lý : 2 2 356 144 a)A  2 2 b)B  253  94.253  47 2 2 256  244 2 2 c)C  163  92.136  46 d D   2 2 2       2 2 2 ) 100 98 ... 2 99  97  ... 1  Giải 2 2 356 144
356 144356 144 500.212 53 a)A     2 2 256  244
256  244256  244 500.12 3 b B          2 2 2 2 2 2 ) 253 94.253 47 253 2.47.253 47 253 47  300  90000 c C          2 2 2 2 2 2 ) 136 92.136 46 136 2.46.136 46 136 46  90  8100 d D   2 2 2       2 2 2 ) 100 98 ... 2 99  97  ... 1    2 2   2 2    2 2 100 99 98 97 ... 2 1 
 100  99100  99  98  9798  97  ...  2   1 2   1
 1.100  99 1.98  97  ... 1.2   1
 100  99  ... 1  100  
1  99  2  ...  51 50
 101101 ... 101  101.50  5050
4. Tính giá trị biểu thức : 2 2021 2020  2019 2 2019  2 2020  202  1 A  2020   1  . 3 2020   3 1 2020 1 Giải 2 2021  2 2020  2019 2 2019 2020  202  1 A   . 2 2020   1  3 2020   3 1 2020 1 2 2021  2 2020  2020   2 1 2019  2 2020  2020   1  2020   1 2020   1 2020   1  . 2 2020  2020   1 2020   1  2 2020  2020   1 1  .2019  1 2019
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2
a)A  5x  5y  8xy  2y  2x  2020 2 2 2
b)M  5x  y  z  4x  2xy  z 1 Giải a) Ta có : 2 2 2 2
A  4x  8xy  4y  x  2x  1 y  2y  1 2018
  x  y2  x  2   y  2 4 1 1  2018  2018
Vậy giá trị nhỏ nhất của A  2018 tại x  1; y  1 1 1 2 2 2 2
c)M  x  2xy  y  4x  4x  1 z  z   2 4 4 2   
 x  y2   x  2 1 1 1 2 1  z   2.  2     2  4 2  x  y  0  Dấu bằng xảy ra khi  1
2x 1  0  x  y  z  2   1 z   0  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 2 khi 1 x  y  z  4 4 6. Tìm x, biết :
a  x  2   x  2 ) 2
3  2 x  2 x  3  19 b  x   2 x  x    x 2 ) 2 2 4 x  5  15
c  x  3    x 2 ) 1 2
4  2x  x   3x x  2  17 Giải
a  x  2   x  2 ) 2
3  2. x  2 x  3  19
 x  2  x  x  2 2 8
3 12x  2 x  2 x  3  19 
x  x     x   2 20 2 3   19   20x 1  19 9  20x  18  x  10 b  x   2 x  x    x 2 ) 2 2 4 x  5  15 3 3
 x  8  x  5x  15 7
 5x  8  15  5x  7  x  5
c  x  3    x 2 ) 1 2
4  2x  x   3xx  2  17   x  3 3 2
1  8  x  3x  6x  17 3 2 3
 x  3x  3x 1  8  x  6x  17  9x  7  17 10  9x  10  x  9 7. Biết xy  11 và 2 2
x y  xy  x  y  2016 . Hãy tính giá trị : 2 2 x  y Giải Ta có: 2 2
x y  xy  x  y  2016
xy  x  y  x  y  2016
11 x  y   x  y  2016
12 x  y  2016  x  y  168 Mà x  y  x  y2 2 2 2
 2xy  168  2.11  28202
8. Cho a  b  7 . Tính giá trị biểu thức : 2 A  a a   2 1  b b   1  3aba  b   1  ab Giải Ta có : 3 2 3 2
A  a  a  b  b  3aba  b  3ab  ab 3  a  aba  b 3 2 2 3  b  a  b  2ab
 a  b3  a  b2 3 2  7  7  392
9. Chứng minh rằng với mọi x ta có :
a)x  x  6 10  0
b)x  3 x  5  3  0 2 c)x  x  1  0 Giải
a)x  x  6 10  0 2  x  6x  9 1  0   x  2 3  1  0 (luôn đúng )
b)x  3 x  5  3  0 2  x  8x 18  0 2
 x  8x 16  2  0  x  2 4  2  0 (luôn đúng) 2 c)x  x  1  0 2 1 3  1  3 2
 x  x    0  x    0   (luôn đúng ) 4 4  2  4 10. Tìm x, y biết : 2 2
a)x  2x  5  y  4y  0 2 2
b)4x  y  20x  2 y  26  0 2 2
c)9x  4y  4y 12x  5  0 Giải 2 2
a)x  2x  5  y  4y  0   2 x  x     2 2 1 y  4 y  4  0
 x  2   y  2 1 2  0
 x  2   y  2 1 0;
2  0 (vì  x  2  y  2 1 , 2  0 )  x  1; y  2 2 2
b)4x  y  20x  2 y  26  0   2 x  x   2 4 20 25 y  2y   1  0
  x  2   y  2 2 5 1  0   x  2 2 5  0 và  y  2
1  0 (vì  x  2  y  2 2 5 , 1  0 ) 5  x  ; y 1 2 2 2
c)9x  4 y  4y 12x  5  0   2 x  x     2 9 12 4 4 y  4y   1  0
  x  2   y  2 3 2 2 1  0   x  2 3 2  0 và  y  2 2
1  0 (vì  x  2  y  2 3 2 , 2 1  0 ) 2 1  x  ; y   3 2
11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn: 2 2
a)x  4y  4x  4 y 10  0 2 2
b)3x  y 10x  2xy  29  0 2 2
c)4x  2 y  2 y  4xy  5  0 Giải 2 2
a)x  4y  4x  4y 10  0 2 2
 x  4x  4  4y  4y 1 5  0
 x  2   y  2 2 2 1  5  0
Mà x  2   y  2 2 2 1  5  5  0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 2 2
b)3x  y 10x  2xy  29  0 2 2 2
 x  2xy  y  2x 10x  29  0
 x  y2  x  2 2 2,5 16,5  0
Mà x  y2  x  2 2 2,5 16,5  16,5  0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài. 2 2
c)4x  2 y  2 y  4xy  5  0   2 2 x  xy  y    2 4 4 y  2y   1  4  0
  x  y2   y  2 2 1  4  0
Mà  x  y2   y  2 2 1  4  4  0
Suy ra không có x, y thỏa mãn đề bài.
12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 a)A  15  8x  x 2 b)B  4x  x  2 2 2
c)C  x  y  4x  4 y  2 Giải
a) Ta có : A   x  x     x  x      x2 2 2 15 8 31 16 8 31 4  31
Vậy giá trị lớn nhất của A là 31 khi x  4
b) Ta có B     x  x      x2 2 6 4 4 6 2  6
Vậy giá trị lớn nhất của B là 6 khi x  2 c) Ta có : C 
 x  x     y  y     x  2   y  2 2 2 10 4 4 4 4 10 2 2  10
Vậy giá trị lớn nhất của C là 10 khi x  2; y  2
13. Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện 2 2
x  y  3; x  y  17 . Tính giá trị biểu thức 3 3 x  y . Giải Ta có: x  y2 2 2
 x  y  2xy  17  2xy  9 9 17  xy   4 2 x  y   x  y3 3 3
 3xy x  y  27  3. 4  .3  63
14. Cho x  y  a  b  1 và 3 3 3 3
x  y  a  b 2Chứng minh rằng : 2 2 2 2 x  y  a  b Giải
Ta có hằng đẳng thức : x  y3 3 3
 x  y  3xy x  y (1) a  b3 3 3
 a  b  3aba  b (2)
Kết hợp với (1) và (2) suy ra xy  ab (3)
Mặt khác, từ (1) suy ra x  y2  a  b2 2 2 2 2
 x  y  2xy  a  b  2ab
Kết hợp với (3) suy ra : 2 2 2 2 x  y  a  b
15. Cho a  b  c  2 p . Chứng minh rằng: 2 2 2
a)2bc  b  c  a  4 p  p  a b  p  a2   p  b2   p  c2 2 2 2 2 )  a  b  c  p Giải a) Ta có:       2 2 2 2 2 2bc b c a b c  a
 b  c  ab  c  a  2p2p  a  4 p p  a
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh
b) Ta có :   2    2    2 p a p b p c 2 2 2 2 2 2
 p  2ap  a  p  2 pb  b  p  2 pc  c 2
 p  p a  b  c 2 2 2 3 2  a  b  c 2 2 2 2 2 2 2 2  3p  2 .
p 2 p  a  b  c  a  b  c  p
Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh 16. Cho A  
99...9 .Hãy so sánh tổng các chữ số của 2
A với tổng các chữ số của A. 2020 ch÷ sè 9 Giải Ta có : A   99...9 2020  10 1 nên A    2 2 2020 10 1 2020 ch÷ sè 9 4040 2020  10  2.10 1  99...9800...01   2019 2019 Tổng các chữ số của 2
A là : 9  2019  8 1  18180
Tổng các chữ số của A là : 9 2020  18180
Vậy tổng các chữ số của 2
A và tổng các chữ số của A bằng nhau. 17. Chứng minh rằng:
Nếu a  b2  b  c2  c  a2  a  b  c2  b  c  a2  c  a  b2 2 2 2 thì a  b  c .
Hướng dẫn giải – đáp số Giải
a  b  c2  a  b2  b  c  a2  b  c2  c  a  b2  c  a2 2 2 2  0(*)
Áp dụng hằng đẳng thức : 2 2
x  y   x  y x  y ta có :
a  b  c2  a  b2 2
 2a  2c2b  2c  4a  cb  c
b  c  a2 b c2 2
 2b  2a2c  2a  4b  ac  a
c  a  b2  c  a2 2
 2c  2b2a  2b  4c  ba  b
Kết hợp với (*) ta có :
4a  cb  c  4b  ac  a  4c  ba  b  0
 a  cb  c  b  ac  a  c  ba  b  0 2 2 2
 ab  ac  bc  c  bc  ba  ac  a  ac  bc  ab  b  0 2 2 2
 a  b  c  ab  bc  ac  0 2 2 2
 2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac  0 2 2 2 2 2 2
 a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a  0
 a  b2  b  c2  c  a2  0 a  b  0 b
  c  0  a  b  c c  a  0 
18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng 4 4n n  là hợp số
(Thi học sinh giỏi toán 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n là số chẵn n 2k     k  N  thì 4 n 4 2  4  16  4 k n k 4 nên 4 4n n  là hợp số
- Với n là số lẻ. Đặt n  k   * 2 1 k  N , k   1 thì ta có: 4 n 4 2 n n 2 n 1 n 4 n 2.n .2 4 n .2         n  2 2 2 2k    2 n k    2 2 .2 2 2 .  2n  2k n n n n n .n Ta có: n k k k  n k n   n  n  n       k n   2 2 2 2 2 2 2 1 2k 1  2k 2 2 2 . 2 . 2 2 2 2  2  2   k n   2 1 2k 2 2  2  1 mà 2 n k 2  2  2 .   2n  2k n n n .n suy ra 4 4n n  là hợp số Vậy 4 4n n 
là hợp số với n là số tự nhiên lớn hơn 1. 19.
a) Cho a  b  2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 A  a  b
b) Cho x  2y  8.Tìm giá trị lớn nhất của B  xy Giải
a) Ta có: a  b2  a  b2   2 2 2 a  b    a  b2 4  2A  4  2A  A  2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi a  b  1
b) Từ x  2y  8  x  8  2y suy ra B    y 2 2 8 2
y  8y  2y  8  8  8y  2y B     y2 8 2 2  8
Vậy giá trị lớn nhất của B là 8 khi y  2; x  4
20. Tìm giá trị nhỏ nhất của A   2 2 3 x  y  biết 2 2 x  y  xy  12
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Giải
Từ giả thiết, ta có x  y2  xy   xy  x  y2 3 12 6 2  24 Ta có :
A  x  y   x  y2  xy  x  y2  x  y2   x  y2 2 2 3 3 6 3 2 24  24 x  2 x  2 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 24 khi x  y  0   ;   y  2  y  2
21. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: a  b3  b  c3  c  a3  2010 .Tính giá trị của
biểu thức A  a  b  b  c  c  a Giải Đặt a  b  ;
x b  c  y;c  a  z  x  y  z  0  z   x  y Ta có : x  y  z   x  y  x  y3 3 3 3 3 3 210
 210  3xy x  y  210
 xyz  70 . Do x, y, z là số nguyên có tổng bằng 0 và xyz  70  2 5  .7 nên x, y, z  2  ;5; 
7  A  a  b  b  c  c  a  14
22. Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn 2 2 x  y  2020 Giải Từ 2 2
x  y  2020 suy ra x; y cùng chẵn hoặc cùng lẻ
TH1: Nếu x; y cùng chẵn. Đặt x  2 ; m y  2n 2 2 2 2
4m  4n  2018  2m  2n  1009
Vế trái chẵn, còn vế phải lẻ. Vô lí
TH2: Xét x; y cùng lẻ. Đặt x  2k 1; y  2q 1
Ta có :  m  2   n  2 2 2 2 1 2
1  2018  4m  4m  4n  4n  2018
Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vô lí
Vậy không tồn tại số nguyên x; y thỏa mãn 2 2 x  y  2020 . D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CẦN NHỚ 1) A  B2 2 2  A  2AB  B 2) AB2 2 2  A  2AB  B 3) 2 2
A  B  ABA  B 4) A  B3 3 2 2 3  A  3A B  3AB  B 5) AB3 3 2 2 3  A  3A B  3AB  B 6) 3 3      2 2 A B A B A AB  B  7) 3 3      2 2 A B A B A  AB  B  BÀI TỰ LUYỆN
1. Khai triển các biểu thức sau: 3   a) 1  x  3  ; b) 2x  3y3 2 2 
2.Tính giá trị của mỗi biểu thức sau tại giá trị chỉ ra: a) 3 2
x  12x  48x  64 tại x  6 ; b) 3 2
x  6x  12x  8 tại x  22 .
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x   2x  x   3 3 3 9 54  x ; b)  x y 2 2
x  xy  y  x y 2 2 2 4 2 2 4x  2xy  y .
4.Tính nhanh giá trị các biểu thức sau: a) 2 2 34  66  68.66 ; b) 2 2 74  24  48.74 .
5. So sánh các cặp số sau: a) A  2008.2010 với 2 B  2009 ;
b) A     2   4   8   16 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1 với 32 B  2 . 6.Tìm x, biết: a) 2 2 16x  (4x  5)  15 b) 2
(2x  3)  4(x 1)(x  1)  49 c) 2
(2x  1)(1  2x)  (1  2x)  18 d) 2 2
2(x  1) (x  3)(x  3) (x  4)  0 e) 2
(x  5)  x(x  4)  9 f) 2
(x  5)  (x  4)(1  x)  0
7. Chứng minh đẳng thức a b2  a b2 – 4ab
8. Tìm các giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2 A  x – 2x  5 b) 2 B  x – x 1
c) C  x – 1x  2x  3x  6 d) 2 2
D  x  5y – 2xy  4y  3
9. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau: a) 2 A  –x – 4x – 2 b) 2 B  –2x – 3x  5
c) C  2 – xx  4 d) 2 2
D  –8x  4xy – y  3
10. Chứng minh rằng các giá trị của các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến. a) 2 A  25x – 20x  7 b) 2 2 B  9x – 6xy  2y 1 c) 2 2
E  x – 2x  y  4y  6 d) 2 D  x – 2x  2
11. Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.
LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1. 3 3 2         a) Ta có: 1   1      1        1  .         2 3 1 3 9 2 27 x 3 x 3. x .3  3.     
 x.3  3  x  x  x 27 2 2  2    2  8 4 2 b) 3 3 2
Ta có:  x  y   x    x  y  x  y2  y3 2 2 2 2 2 3 2 3. 2 .3 3.2 . 3 3 6 4 2 2 3
 8x  36x y  54x y  27y . 2.
a) Ta có: x  x  x   x  x  x   x  3 3 2 3 2 2 3 12 48 64 3. .4 3. .4 4 4 .
Thay x  6 vào biểu thức cuối ta được kết quả là 1000.
b) Ta có: x  x  x   x  x  x   x  3 3 2 3 2 2 3 6 12 8 3. .2 3. .2 2 2 .
Thay x  22 vào biểu thức cuối ta được kết quả là 8000. 3.
a) Ta có: x   2x  x   3  x    3 3 x   3  x  3 3 3 3 9 54 3 54  x  27  54 x  2  7 . b) Ta có:  x y 2 2
x  xy  y  x y 2 2 2 4 2 2 4x  2xy  y 
  x3 y   x  3 y   
  x3  y  x3 3 3 3 3 3 2 2 2 2  y  2y  . 4. a) Ta có:         2 2 2 2 2 2 34 66 68.66 34 2.34.66 66 34 66  100  10000 . b) Ta có:         2 2 2 2 2 2 74 24 48.74 74 2.24.74 24 74 24  50  2500 . 5. a) Ta có: A        2 2008.2010 2009 1 2009 1  2009 1. Vậy A  B .
b) Ta có: A  A         2   4   8   16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1
  2   2   4   8   16 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1
  4   4   8   16     8   8   16 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2  1
  16   16   32 2 1 2 1  2 1 . Vậy A  B . 6. a) x  1; b) x  3 ; c) x  4 ; d) 5 x  e) 8 x  f) 21 x  12 3 5
7. Biến đổi VP = VT hoặc ngược lại. 2   8. a)A  x  2 1  4  4 b) 1   3 3 B  x        2 4 4
c) C  x  x  x  x    x  x2 2 2 2 5 6 5 6 5  36  36
d)D  x y2  y  2 2 1  2  2 2   9. a) A  x  2 2 – 2  2 b) 49 3   49 B   2 x     8  4 8 c) C  x  2 9 1 d) D   x y2 2 3 2  4x  3 10.a) A   x  2 5 2  3  3  0 b) B   x y2 2 3  y  1  1  0
c) E  x  2 y  2 1 2  1  1  0 d)  x  2 D 1  1  1  0
11. Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x  2; x  1 ; x; x  1 (x  ;  x  2 )
Ta có: A  x  x  x x    x  x  x x     2x x   2 2 1 1 2 1 1 2 x  x đặt 2
x  x  t khi đó A   t  t   t  t   t  2 2 1 2 1 2 1 1 A   x x  2 2 1
1 . Vậy A 1 là một số chính phương.
========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========