81 trang 10 lượt tải

Chuyên Đề Phân Thức Đại Số Bồi Dưỡng HSG Toán 8 Giải Chi Tiết

19

Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến. Cho a, b, c là ba số phân biệt. CMR giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x. Cho a, b, c đôi một khác nhau. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c. Tài liệu giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 6: Phân thức đại số (KNTT) 34 tài liệu

Môn: Toán 8 2.2 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mỹ Châu

1 tháng trước
Danh sách Quiz
/81
Trang 1
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Các bài toán về biểu thức nguyên
1.
2 2 2 2
( ) 2( )a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + +
2.
1 2 3 2 1
( )( ... )
n n n n n n
a b a b a a b a b b
− − − −
− = − + + + +
3.
2 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1
( )( ... )
n n n n n n
a b a b a a b a b b
− − − −
− = + − + − −
4.
1 2 3 2 1
( )( ... )
n n n n n n
a b a b a a b a b b
− − − −
+ = + − + − +
5. Nhị thức Newton:
1 2 2
( 1)
( ) . . ...
2
n n n n n
nn
a b a n a b a b b
−−
−
+ = + + + +
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính A = a
4
+ b
4
+ c
4
Lời giải:
Ta có:
2 2 2 2
0 ( ) 0 2 2 2 0 14 2( )a b c a b c a b c ab bc ca ab bc ca+ + = + + = + + + + + = = − + +
7(1)ab bc ca + + = −
Lại có:
2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
14 2 2 2 14 169(2)a b c a b c a b a c b c+ + = + + + + + = =
Từ (1)
2 2 2 2 2 2 4 4 4 2
49 (2) : 14 2.49 98a b b c c a a b c + + = + + = − =
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính
2019 2020 2021
( 1) ( 1)A x y z= − + + +
Lời giải :
Từ :
2 2 2 2 2 2
0 2( ) 0 0 0x y z x y z xy yz zx x y z x y z+ + = + + + + + = + + = = = =
2019 2020 2021
1 0 1 0A = − + + =
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng
a.
2 2 2 2 4 4 4
( ) 2( )x y z x y z+ + = + +
b.
3 3 3 2 2 2 5 5 5
5( )( ) 6( )x y z x y z x y z+ + + + = + +
c.
5 5 5 2 2 2
2( ) 5 ( )x y z xyz x y z+ + = + +
Lời giải:
a.
2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
( ) 2( )(1)x y z x y z x y y z z x+ + = + + + + +
Trang 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 2( ) ( ) 4( ) (2)x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx+ + = + + = − + + + + = + +
Từ (1)(2)
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 4( 2 2 2 )x y z x y y z z x x y y z z x xy z x yz xyz + + + + + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
=0
4[ 2( )]=4(x ) 2( )x y y z z x x y z y y z z x x y z x y y z z x= + + + + + + + + + = + +
Thay vào (1), ta được :
2 2 2 2 4 4 4
( ) 2( )x y z x y z+ + = + +
b.
5 5 5 2 2 2 2 2 2
1
( ) ( ) ( )
5
VT x y z x y x y x z x z y z y z= + + + + + + + +
Từ
5 5 5
1
0 ; ; ( )(1)
5
x y z x y z x z y y z x VT x y z xyz xy yz zx+ + = + = − + = − + = − = + + − + +
2 2 2
2 2 2 2
0 ( ) 0 2( )
2
x y z
x y z x y z x y z xy yz zx xy yz zx
++
+ + = + + = + + = − + + + + =
−
Theo câu a, ta có :
3 3 3
3x y z xyz+ + =
khi x + y + z = 0
2 2 2 3 3 3
( ). . (2)
23
x y z x y z
xy yz zx xyz
+ + + +
− + + =
Thay vào (1), ta được :
3 3 3 2 2 2 5 5 5
5( )( ) 6( )(*)x y z x y z x y z+ + + + = + +
c. Ta có :
3 3 3
3x y z xyz+ + =
, thay vào (*), ta được :
2 2 2 5 5 5 2 2 2 5 5 5
5.3 ( ) 6( ) 5 ( ) 2( )( )xyz x y z x y z xyz x y z x y z dpcm+ + = + + + + = + +
Bài 4 : Chứng minh rằng
a.
3 3 3 2 2 2
2( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c abc a b c a b b c c a

+ + − = + + − + − + −

b.
222
( )( )( ) 4 ( ) ( ) ( )a b b c c a abc c a b a b c b c a+ + + + = + + + + +
Lời giải :
a.
2 2 2
( )( )VP a b c a b c ab bc ca= + + + + − − −
3 3 3 3 3 3 3
1
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )
2
VT a b c abc a b c ab a b abc a b c ab a b c= + + − = + + − + − = + + − + +
2 2 2 2 2
( )[(a+b) ( ) 3 ] ( )( )a b c a b c c ab a b c a b c ab bc ca VT VP= + + − + + − = + + + + − − − =
b.
2 2 2 2 2 2
6VT abc ca ac ab a b bc b c= + + + + + +
Trang 3
2 2 2 2 2 2
6VP abc ca ac ab a b bc b c VT= + + + + + + =
Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng
a.
2 2 2 2
2 16 8ab b a c m mc+ + − = −
b.
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4
2 2 2
a b c a c b a b c
a b c m
+ − + − − + +
+ + = + + −
Lời giải:
a.
2 2 2 2 2
( ) (4 ) 16 8VT a b c m c c m mc VP= + − = − − = − =
b. Từ
4 4 2 2
2
a b c
a b c m a b c m c m c
+−
+ + = + − = − = −
Tương tự:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(2 ) (2 ) (2 ) 12 4 ( ) 4VT m c m b m a a b c m m a b c a b c m VP= − + − + − = + + + − + + = + + − =
Bài 6:
a. Cho
2019 2019 2019 2019
( )( ) (*), : ( )x y z xy yz zx xyz CMR x y z x y z+ + + + = + + = + +
b. Nếu
6 ( )( )( ) 2 6x y z A x y y z z x xyz+ + = + + + −
Lời giải:
a. Theo (*)
2 2 2 2 2 2
( )( ) 0 0x y z xy yz zx xyz xy x y xyz xyz y z z y x z xz xyz xyz + + + + − = + + + + + + + + − =
22
( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0
0
( )( )( ) 0 0
0
xy x y yz x y z x y xz x y x y xy yz z xz
x y x y
x y y z z x y z y z
z x z x
+ + + + + + + = + + + + =
+ = = −


+ + + = + = = −


+ = = −

Giả sử:
2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
;( )x y x y x y z z x y z z dpcm= − = − + + = + + =
b. Theo câu a, ta có:
( )( )
( )( )( ) ( )( )
3
x y z xy yz zx
x y y z z x x y z xy yz zx xyz A xyz
+ + + +
+ + + = + + + + − = −
Vì
6x y z x y z+ + + +
là số chẵn
1 trong 3 số x, y, z là số chẵn
3 6 6xyz A
Trang 4
Bài 7 : Cho
2 2 2 3 5 7
1a b c a b c+ + = + + =
. Tính
2 9 1945
A a b c= + +
Lời giải :
Ta có :
2 2 2 2
1 0 1 1 1 1; 1 , 1a b c a a a b c+ + = − −
2 2 3
0
1 1 (1 ) 0 ,'' ''
1
a
a a a a a
a
=
− − =
=
3 3 2 2 5
0
1 1 1 (1 ). 0 ,'' ''
1
b
b b b b b b
b
=
− − =
=
Tương tự :
27
0
,'' ''
1
c
cc
c
=
=
=
Mặt khác ta lại có :
2 2 2 3 5 7 2 3 2 5 2 7
1 ; ; , ,a b c a b c a a b b c c a b c+ + = + + = = = =
Có 1 số = 1 và 2 số = 0
1A=
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho :
32
ax ( )( )( )x bx c x a x b x c x R− + − = − − −
Lời giải:
Ta có:
2 3 3 2
( )( )( ) ( ) ( ) axx a x b x c a b c x ab bc ac x abc x x bx c− − − = + + + + + − + = − + −
0
0,
()
1; 1
(1 ) 0
a b c a b c
b c a
ab bc ca b a b c bc b bc b
a b c
abc c c ab
+ + = + =

= =

+ + = + + = =

= = − =

= − =

Bài 9: Cho a, b thỏa mãn:
3 2 3 2
3 5 17 0; 3 5 11 0.a a a b b b TinhA a b− + − = − + + = = +
Lời giải:
3 3 2 2 3 2
( ) 3( ) 5( ) 6 0 ( ) 3 ( ) 3[( ) 2 ] 5( ) 6 0a b a b a b a b ab a b a b ab a b+ − + + + − = + − + − + − + + − =
32
( ) 3( ) 5( ) 6 3 ( ) 6 0a b a b a b ab a b ab + − + + + − − + + =
32
( ) 3( ) 5( ) 6 3 ( 2) 0( 2 2 0)a b a b a b ab a b a b a b + − + + + − − + − = + = → + − =
3 2 2
( ) 2( ) ( ) 2( ) 3( ) 6 3 ( 2) 0a b a b a b a b a b ab a b + − + − + + + + + − − + − =
2
( ) ( 2) ( )( 2) 3( 2) 3 ( 2) 0a b a b a b a b a b ab a b + + − − + + − + + − − + − =
Trang 5
2
2
20
( 2)[(a+b) ( ) 3 3 ] 0
( ) ( ) 3 3 0
ab
a b a b ab
a b a b ab
+ − =
+ − − + + − =
+ − + + − =
2 2 2 2
2
3 0 2 2 2
2 2 6 0
A
a ab b a b a ab b
ab
=
− + − − + = − +
− − + =
Bài 10: Chứng minh rằng
8 7 5 3
10A x x x x= − + − +
Lời giải:
+) Xét
7 8 7 3 2 5 3
1 ( 1) 0 ; ( 1) 0 1 0x x x x x x x x x A − −
+)
3 5 2 3 5 7 8 3 5 7
0 1 1 0; (1 ) 0 1 ; 1 0 0x x x x x x x A x x x x A − − = + − + −
+)
7
3
0
0
0
x
x
x
−
→
−
-
5 3 8 5
1 ( 1) 0 0 1x x x x x A − → + → +
-
5
1 0 1 0 0x x A− +
Vậy A > 0 với mọi x.
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho:
4 3 2
( ) ax 8 4A x x bx x= + + − +
là bình phương của đa thức
2
()B x x cx d= + +
Lời giải:
2
2 2 2 4 3 2 2 2 2
2
2
2
[ ( )] ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( )
28
4
ca
c d b
B x x cx d x cx c d x cdx d A x B x
cd
d
=
+=
= + + = + + + + + =
=−
=
+)
2 2; 4; 8d c a d= = − = − =
2 2 2
2
2.
( ) ( 1) ( 1) 4 0( )
A
A
a b a b voly
=
=
− + − + − + =
Trang 6
+)
2 2, 4, 0d c a b= − = = =
Bài 2: Cho
3 2 3 2
3 19; 3 98.a ab b a b− = − =
Tính
22
E a b=+
Lời giải:
Ta có:
3 2 2 2 6 4 2 2 4 2 3 2 6 4 2 4 2
( 3 ) 19 6 9 ;98 ( 3 ) 6 9a ab a a b a b b a b b b a a b− = = − + = − = − +
2 2 6 6 4 2 2 4 2 2 3 2 2
3
19 98 3 3 ( ) 9965a b a b a b a b a b+ = + + + = + + =
Bài 3: Chứng minh rằng:
12 9 4
10A x x x x x R= − + − +
Lời giải
+) Với
93
3
( 1) 0
1 1 0
( 1) 0
xx
x A x R
xx
−
→
−
+) Với
9
0
00
0
x
xA
x
−
→
−
+) Với
4 9 4 5
10
0 1 0
(1 ) 0
x
xA
x x x x
−
→
− = −
Do dấu “ = ’’ không xảy ra
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì
3 3 3
3 0( , , )a b c abc a b c R+ + −
b.
4 4 4 4
4 0 , , ,a b c d abcd a b c d R+ + + −
Lời giải
a. Có:
3 3 3 2 2 2
3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − −
mà:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
02( );( ) 0 2 0 2 ; 2 ; 2a b c gt a b a ab b a b ab a c ac b c bc+ + − − + + + +
2 2 2 2 2 2
0a b c ab bc ca a b c ab bc ca + + + + + + − − −
b.
4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2 2 4a b c d abcd a b a b c d c d a b c d abcd+ + + − = + − + + − + + −
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 2( ) , , ,a b c d ab cd a b c d R= − + − + −
Trang 7
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức
3 2 3
2 5 5
a b b a
A
ab
−−
=+
+−
Lời giải
Ta có:
3(2 5) 2 3 (2 5)
2 5 2 5 2
2(2 5) 5 5
b b b b
a b a b A
bb
+ − − +
− = → = + → = + =
+ + −
b. Biết 2a – b = 7. Tính
5 3 2
3 7 2 7
a b b a
B
ab
−−
=+
+−
Lời giải
c. Biết
2 2 2 2
10 3 5 0;9 0a b ab a b− + = −
. Tính
25
33
a b b a
C
a b a b
−−
=+
−+
Lời giải
22
22
(2 )(3 ) (5 )(3 ) 3 15 6
(1)
(3 )(3 ) 9
a b a b b a a b a ab b
C
a b a b a b
− + + − − + −
==
− + −
Từ giải thiết:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3(3 10 ) 6 27 3
10 3 5 0 5 3 10 3
99
a b a b a b
a b ab ab b a A
a b a b
+ − − − +
− + = = − = = = −
−−
d. Cho
22
3 3 10a b ab+=
và
0.ba
Tính
ab
D
ab
−
=
+
Lời giải
Cách 1: Từ
2 2 2 2
3
31
3 3 10 3 3 10 0 (3 )( 3 ) 0
3 ( )
32
ba
aa
a b ab a b ab a b a b A
a b loai
aa
=
−−
+ = + − = − − = = =
=
+
Cách 2:
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
( ) 2 3 3 6 1 1
( ) 2 3 3 6 4 2
a b a ab b a b ab
AA
a b a ab b a b ab
− − + + −
= = = = =
+ + + + +
2 7 2 7 2a b b a B− = = − =
Trang 8
Do
0
1
0
0
2
ab
b a A A
ab
−
−
=
+
e. Biết
22
9 4 2 3x y xy xy x+ − = − −
. Tính
2
3 2 2
25 2
:
10 25 2
xy
E
x x x y y
−−
=
− + − −
Lời giải
Có:
2 2 2
3 0 3
8
9 4 2 3 ( 3 ) 3 0
3 0 1
3
x y x
x y xy xy x x y x A
xy
− = =

−
+ − = − − − + − = =

− = =

Bài 2: Cho
1
3x
x
+=
. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.
2
2
1
Ax
x
=+
b.
3
3
1
Bx
x
=+
c.
4
4
1
Cx
x
=+
d.
5
5
1
Dx
x
=+
Lời giải
a.
22
2
1 1 1
2. . 2 ( ) 2 7A x x x
x x x
= + + − = + − =
b.
3 3 2
2
1 1 1
( ) ( )( 1 ) 3.6 18B x x x
x x x
= + = + − + = =
c.
4 4 2 2 2
4 4 2 2
1 1 1 1
2. . 2 ( ) 2 47C x x x x
x x x x
= + = + + − = + − =
d.
5 5 4 3 2 4 2
2 3 4 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )( . . . ) ( )( 1 )D x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
= + = + − + − + = + + − + −
3.(47 7 1) 123= − + =
Cách 2:
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
( )( ) 123x x x x
x x x x
+ + = + + + =
Bài 3: Cho
2
4 1 0xx− + =
. Tính
5
5
1
Ax
x
=+
và
7
7
1
Bx
x
=+
Lời giải
Có:
22
4 1 0 1 4 0x x x x x− + = + =
Chia cả hai vế cho x ta được:
1
4x
x
+=
Trang 9
Ta có:
2 2 2
22
1 1 1
( ) 2 16 14x x x
x x x
+ = + + = + =
3 3 3 3 3
3 3 3
1 1 1 1 1 1
( ) 3. . .( ) 3.4 4 52x x x x x x
x x x x x x
+ = + + + = + + = + =
2 3 5 5 5
2 3 5 5 5
1 1 1 1 1 1
( )( ) 4 ...x x x x x x
x x x x x x
+ + = + + + = + + + =
Bài 4: Cho
2
2008
1
x
xx
=
−+
. Tính
2
42
1
x
M
xx
=
++
và
2
42
1
x
N
xx
=
−+
Lời giải
Có:
4 2 2 2 2
1 ( 1)( 1); 2008( 1)(1)x x x x x x x x x+ + = − + + + = − +
Từ:
2 2 2
2
2008 2008( 1) 2008 2009 2008( 1) 2009 2008 2008( 1)
1
x
x x x x x x x x x
xx
= = + − = + + = + +
−+
2
4017 2008( 1)(2)x x x = + +
Lấy (1).(2) được:
22
2 2 4 2 2 2
42
4017 2008
4017 2008 ( 1)(*) 2008 4017. 2008
1 4017
x
x x x M M
xx
= + + = = =
++
2
2 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2
2008
(*) ( 1) ( 1) ( 1 2 ) ( 1) 2
4017
x x x M x x x M x x x x M x x Mx = + + = + + = − + + = − + +
2
2 4 2
42
(1 2 )
(1 2 ) ( 1) (1 2 ).
1 1 2
M x M
M x M x x M M N M N
x x M
−
− = − + = − = =
− + −
Bài 5: Cho
0(1); 2(2)
x y z a b c
a b c x y z
+ + = + + =
. Tính
2 2 2
( ) ( ) ( )
a b c
A
x y z
= + +
Lời giải
Ta có:
0 0 0(3)
x y z bcx acy abz
bcz acy abx
a b c abc
++
+ + = = + + =
Từ (2)
2 2 2 2
2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2( ) 4
a b c a b c a b c ab ac bc
x y z x y z x y z xy xz yz
+ + = + + = + + + + + =
Trang 10
2 2 2 2
2 ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2( ) 4
a b c a b c a b c ab ac bc
x y z x y z x y z xy xz yz
+ + = + + = + + + + + =
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2( ) 4(4)
a b c abz acy bcx
x y z xyz
++
+ + + =
Thay (3) vào (4), ta được:
2 2 2
( ) ( ) ( ) 4
a b c
A
x y z
= + + =
Bài 6: Biết
3 3 3
3a b c abc+ + =
và
0abc+ +
. Tính
2 2 2
2
()
abc
A
abc
++
=
++
Lời giải
Ta có:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 ( )( ) 0a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca+ + − = + + + + − − − + + − − − =
2
2 2 2
2
31
( ) ( ) ( ) 0
(3 ) 3
a
a b b c c a a b c A
a
− + − + − = = = = =
Bài 7: Tính
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )bc y z ac z x ab x y
A
ax by cz
− + − + −
=
++
, biết
0
25
ax by cz
abc
+ + =
+ + =
Lời giải
Đặt
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( )M bc y z ac z x ab x y by a c cz a b ax b c bcyz acxz abxy= − + − + − = + + + + + − + +
Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 2(......)M by a b c cz a b c ax a b c b y c z a x= + + + + + + + + − − − −
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) 2(...) ( )a b c by cz ax b y c z a x= + + + + − − + +
Lại có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) 0 2( ) 0 ( )( )ax by cz a x b y c z abxy acxz bcyz M a b c by cz ax+ + = + + + + + = = + + + +
25A a b c = + + =
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn :
2
2 1 2 2
a b c
A
ab a bc b ac c
= + +
+ + + + + +
Lời giải
22
( : )
2 1 2 2 2
a b c a ab
A nhanvoi a
ab a bc b ac c abc ab a ab a abc ab a
= + + = + +
+ + + + + + + + + + + +
Trang 11
2
1
2
a ab
A
a ab
++
==
++
Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn :
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c
A
a b c b c a c b a
= + +
− − − − − −
Lời giải
Từ:
2 2 2 2 2 2
0 ( ) 2 2a b c a b c a b c bc a b c bc+ + = = − + = + + − − =
Tương tự:
2 2 2 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 ; 2 (*)
2 2 2 2
a b c a b c
b a c ac c a b ab B
bc ac ab abc
++
− − = − − = = + + =
Từ:
3 3 3 3 3 3 3
0 ( ) 3 ( ) 3a b c b c a b c a a b c bc b c b c abc+ + = + = − + = − − = + + + = + −
Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn:
1 1 1
2019; 0abc
abc
+ + = + + =
. Tính
2 2 2
A a b c= + +
Lời giải
Từ:
2 2 2 2
2019 ( ) 2019 2( ) 2019a b c a b c a b c ab bc ca+ + = + + = + + + + + =
Mặt khác:
1 1 1
0 0 0( 0) 2019
bc ca ab
bc ca ab abc A
a b c abc
++
+ + = = + + = =
Bài 11: [ HSG Yên Phong – 2015 ]
Cho a, b, c thỏa mãn:
2 2 2 2013 2013 2013
( ) ( ) ( ) 4 ; 1a b c b c a c a b abc a b c+ + + + + = + + =
.
Tính
2015 2015 2015
1 1 1
A
abc
= + +
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 4 0 2 2 2 4 0a b c b c a c a b abc ab abc ac bc abc ba ca abc cb abc+ + + + + − = + + + + + + + + − =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 0 ( ) ( )( ) 2 0ab abc ac ba bc ca cb a b c b c a bc abc + + + + + + = + + + + + =
2 2 2 2
( 2 ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( )( ) 0a b c bc b c a bc b c ab ac bc a a b b c c a + + + + + = + + + + = + + + =
2013 2013 2015 2015
0 ; 1
01
01
a b a b a b a b M
b c b c M
c a c a M
+ = = − = − = − =
+ = = − =
+ = = − =
3 3 3
33
3 (*) :
22
abc
a b c abc B
abc
+ + = = =
Trang 12
Vậy M = 1 với a = b = c = 1.
Bài 12: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0.
Tính
2 2 2 2 2 2 2 2 2
111
A
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
Lời giải
Từ:
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
0 ( ) ( ) 2
2
a b c ab
a b c a b c a b c a b c b c a bc
c a b ac
+ − = −
+ + = = − + + = − + = + − = −
+ − = −
Từ:
1 1 1 ( )
0
2 2 2 2
abc
AA
ab bc ac abc
− + +
= + + = =
− − −
Bài 13: Cho x, y, z đôi một khác nhau và Từ:
1 1 1
0
x y z
+ + =
. Tính
2 2 2
2 2 2
yz xz xy
A
x yz y xz z xy
= + +
+ + +
Lời giải
Từ :
1 1 1
0 0 0
xy yz zx
xy yz zx yz xy xz
x y z xyz
++
+ + = = + + = = − −
Có :
2 2 2 2
2 ( ) ( )( ); 2 ( )( ); 2 ( )( )x yz x yz xy xz x y x z y xz y x y z z xy z x z y+ = + + − − = − − + = − − + = − −
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
yz xz xy yz y z xz z x xy x y
A
x y x z y x y z z x z y x y y z z x
− − − − − −
= + + =
− − − − − − − − −
Tử số của
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )A yz y z xz xz xy x y z y x z x y xy y x y x z xy z x y x y= − − − + − = − + − + − = − + + − +
2
( ) ( ) ( )( )( ) 1x y z x y z xy x y y z z x A

= − + − − = − − − =

Bài 14: Tính
3 3 3
(1 )(1 )(1 ); , , 0; 3
x y z
A x y z x y z xyz
y z x
= + + + + + =
Lời giải
3 3 3 2 2 2
2 2 2
0
3 .... ( )( ) 0
0
x y z
x y z xyz x y z x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
+ + =
+ + = + + + + − − − =
+ + − − − =
+) TH1 :
0 ; ; . . 1
x y y z x z xyz
x y z x y z x z y y z x A
y y x xyz
+ + + −
+ + = + = − + = − + = − = = = −
Trang 13
+) TH2 :
2 2 2 2 2 2
0
0 ( ) ( ) ( ) 0 0 8
0
xy
x y z xy yz zx x y x z y z y z x y z A
zx
−=
+ + − − − = − + − + − = − = = = =
−=
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0.
Tính
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a bc b ac c ab
A
a b c b c a c a b
+ + +
= + +
− − − − − −
Lời giải
Từ :
2 2 2 2 2 2
0 2 2a b c b c a b bc c a a b c bc+ + = + = − + + = − − =
Tương tự :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
2 ; 2
2 2 2 2 2 2 2
a bc b ca c ab a b c
b c a ac c a b ab S
bc ac ab bc ac ab
+ + +
− − = − − = = + + = + + +
3 3 3
3 3 3
3
2 2 2 2
a b c abc
abc abc
++
= + = + =
Bài 2*: Tính giá trị của biểu thức sau, biết a + b + c = 0
( )( )
a b b c c a c a b
A
c a b a b b c a c
− − −
= + + + +
− − −
Lời giải
Đặt
a b b c c a
M
c a b
− − −
= + +
Ta có:
22
( )( ) ( )
. 1 ( ) 1 . 1
c c b bc ac a c a b c a b c c a b
M
a b a b ab a b ab ab
− + − − − − − −
= + = + = +
− − −
2
()
.2 2
1 1 1
c c a b
c c c
ab ab ab
−−
= + = + = +
Tương tự:
2 2 2 2 2 3 3 3
22
. 1 ; . 1 3 2( ) 3 2
a a b b c a b a b c
M M A
b c bc a c bc ab bc ac abc
++
= + = + = + + + = +
−−
Ta có:
3 3 3 3 3 3 3 2 2
( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3a b c a b ab a b c a b c ab c a b c a b a b c c abc
+ + = + − + + = + + − − = + + + + + + +
3 3 3.2 9abc A= = + =
Trang 14
B. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến
Bài 1: Cho
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2(1); 2(2)
a b c a b c
+ + = + + =
. CMR:
a b c abc+ + =
Lời giải
Từ (1)
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) 4 2(...) 4 1 1
abc
a b c abc
a b c a b c ab bc ca abc
++
+ + = + + + = + + = = + + =
Bài 2: Cho
, , 0; 0a b c a b c + +
, thỏa mãn
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
++
Chứng minh rằng:
2019 2019 2019 2019 2019 2019
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
++
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 ( ) 0
( ) ( )
a b a b c c
ab
a b c a b c a b c a b c ab c a b c ab c a b c

+ + + −
+ + = + + − = + = + + =

+ + + + + + + +

2
( )( )( )
( ) 0 0 ( )( )( ) 0
( ) ( )
ca cb c ab a b a c c b
a b a b b c c a
abc a b c abc a b c

+ + + + + +
+ = = + + + =

+ + + +

+)
2019 2019
0 ( )a b a b a b VT VP+ = = − = − =
Chứng minh tương tự, ta có điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho
1
a b c
b c a c a b
+ + =
+++
. Chứng minh rằng
2 2 2
0
a b c
b c a c a b
+ + =
+++
Lời giải
Để xuất hiện a
2
, b
2
, c
2
ta nhân với a + b + c
1 ( )( )
a b c a b c
a b c a b c
b c a c a b b c a c a b
+ + = + + + + = + +
+ + + + + +
2 2 2 2 2 2
0( )
a b c a b c
a b c a b c dpcm
b c a c a b b c a c a b
+ + + + + = + + + + =
+ + + + + +
Bài 4: Cho a + b + c = x + y + z = 0 và
0
a b c
x y z
+ + =
. CMR :
2 2 2
0ax by cz+ + =
Lời giải
Trang 15
Cách 1: Ta có
1 1 1 1
0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0
b c b c x y x z
a b c a b c b c b c
x y z y x z x xy xz
− − − −
+ + = = − − + + = − + − = + =
( ). ( ).
0(1) ( ) ( ) 0
b x y z c z x y
b x y z c z x y
xyz
− + −
= − + − =
Ta có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )ax by cz b c x by cz b y x c z x b y z y x c z x z x+ + = − − + + = − + − = − + + − +
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( 1) 0b y x z c z x y b x y z c x z y theo ax by cz= − − + − − = − + − = + + =
Cách 2 : Ta có
2 2 2 2 2 2
0 ( ) ; ( ) ; ( )x y z x y z y x z z x y+ + = = + = + = +
Do đó :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )ax by cz a y z b x z c x y a y yz z b x xz z c x yx y+ + = + + + + + = + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2( )(*)x b c y a c z a b ayz bxz cxy= + + + + + + + +
Từ
0 ; ;a b c b c a a c b a b c+ + = + = − + = − + = −
Có:
2 2 2 2 2 2
0 0 0 (*) : ( ) ( ) ( )
a b c ayz bxz cxy
ayz bxz cxy ax by cz x a y b z c
x y z xyz
++
+ + = = + + = + + = − + − + −
2 2 2 2 2 2
2( ) 0 0ax by cz ax by cz + + = + + =
Bài 5: [ GVG- Yên Phong – 2014]
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn :
1 1 1
1
abc
+ + =
và a + b + c = 1. CMR :
( 1)( 1)( 1) 0abc− − − =
Lời giải
Ta có :
1 1 1
11
bc ac ab
bc ac ab abc
a b c abc
++
+ + = = + + =
Có :
( 1)( 1)( 1) 1 ( ) ( ) 1 0a b c abc ab ac a bc b c abc ab ac bc a b c− − − = − − + − + + − = − + + + + + − =
Bài 6: Cho
1 1 1xy yz xz
y z x
+ + +
==
. CMR :
x y z==
hoặc
2 2 2
1x y z =
Lời giải
Từ :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
;
xy yz xz y z z x
x y z x y y z
y z x y z x z y yz x z zx
+ + + − −
= = + = + = + − = − = − = − =
Trang 16
2 2 2
2 2 2
1 1 ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( 1) 0
x y x y y z z x
z x x y y z z x x y y z z x x y z
y x xy x y z
− − − −
− = − = − − − = − − − − =
2 2 2
2 2 2
( )( )( ) 0
1
1
xy
y z x y z
x y y z z x
zx
x y z
x y z
=
= = =
− − − =

=
=
=
Bài 7: Cho
0
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
. CMR :
2 2 2
0
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + =
− − −
Lời giải
Từ :
2 2 2 2
0
( )( ) ( )( )
a b c a b c b ab ac c b ab ac c
b c c a a b b c a c b a a c b a a b c a
− + − − + −
+ + = = + = =
− − − − − − − − − −
22
2
(1)
( ) ( )( )( )
a b ab ac c
b c a b b c c a
− + −
=
− − − −
nhân với
1
bc−
Tương tự :
2 2 2 2
22
(2); (3)
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )
b c bc ab a c a ac bc b
c a b c a c a b a b a b b c c a
− + − − + −
==
− − − − − − − −
2 2 2
(1) (2) (3) : 0( )
( ) ( ) ( )
a b c
dpcm
b c c a a b
+ + + + =
− − −
Bài 8: Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn :
4 4 2 2
x y x y
a b a b
+
+=
+
và
22
1xy+=
Chứng minh rằng :
2006 2006
1003 1003 1003
2
()
xy
a b a b
+=
+
Lời giải
Nếu
22
2013 2013
2013
1
( ) ( )
()
xy
a b a b
=
+
xong
Ta có :
4 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
4 4 2 2 2
( ) ( )
( )( ) ( )
x y x y x y bx ay x y
bx ay a b ab x y
a b a b a b ab a b
+ + + +
+ = = = + + = +
+ + +
4 2 4 2 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4
2 2 0abx b x a y aby abx abx y aby b x abx y a y + + + = + + − + =
Trang 17
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2003 2003
2003
11
( ) 0 ( ) ( ) ( )
()
x y x y x y
bx ay bx ay dpcm
a b a b a b a b a b
+
− = = = = = = =
+ + +
Bài 9 : [ HSG Quảng Xương – 20/04/2015]
Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn:
2 2 2 2
()a b c a b c+ + = + +
. CMR:
2 2 2
2 2 2
1
2 2 2
a b c
a bc b ac c ab
+ + =
+ + +
Lời giải
Từ
2 2 2 2 2 2
( ) 0 ( ) 2 ( ) ( )( )a b c a b c ab bc ca bc ab ac a bc a bc ab ac a b a c+ + = + + + + = = − + + = + − + = − −
Tương tự:
2 2 2
22
2 2 2
2 ( )( ); 2 ( )( )
2 2 2
a b c
b ac b c b a c ab c a c b A
a bc b ac c ab
+ = − − + = − − = + +
+ + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
1
( )( )( ) ( )9 )( )
a b c b c a c a b a b b c c a
A
a b b c c a a b b c c a
− − + − + − − − −
= = =
− − − − − −
Bài 10: Cho
1 1 1
0
abc
+ + =
với
, , 0abc
và
2 2 2 2 2 2
b c a c a b
M
a b c
= + +
. CMR:
3M abc=
Lời giải
Đặt
1 1 1
; ; 0x y z x y z
a b c
= = = + + =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
3 3 3
1 1 1
( ) ( )
b c a c a b
M a b c a b c x y z
a b c a b c
= + + = + + = + +
Từ:
3 3 3 3 3 3 3 3
0 ( ) 3 ( ) 3x y z x y z x y z x y xy x y z x y z xyz+ + = + = − + = − + + + = − + + =
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.3 .3. . . 3M a b c xyz a b c abc
abc
= = =
Bài 11: Cho
0
x y z
a b c
+ + =
và
2
a b c
x y z
+ + =
. CMR:
2 2 2
4a b c
bcx acy abz abc
+ + =
Lời giải
Có
2
0 0; 2 ( ) 4
x y z a b c a b c
bcx acy abz
a b c x y z x y z
+ + = + + = + + = + + =
Trang 18
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2( ) 4 2( ) 4 4
a b c ab bc ac a b c abz bcx acy a b c
x y z xy yz xz x y z xyz x y z
++
+ + + + + = + + + = + + =
Chia cả hai vế cho abc
2 2 2
4a b c
bcx acy abz abc
+ + =
Bài 12: Cho
1xy+=
và
0xy
. CMR:
3 3 2 2
2( )
0
1 1 3
x y x y
y x x y
−
− + =
− − +
Lời giải
Ta có:
4 4 4 4
3 3 3 3 2 2
( ) ( )
1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)( 1)
x y x x y y x y x y
y x y x y y y x x x
− − + − − −
− = =
− − − − − + + − + +
Theo đầu bài:
1 1 ; 1x y x y y x+ = = − = −
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( ) ( ) ( )( 1)
( 1)( 1) ( 1)
x y x y x y x y x y x y
xy x x y y xy x y x y x xy xy x y y
− + + − − − + −
==
+ + + + + + + + + + + +
2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1) ( 1)
( )( 1) ( )( 1)
( 3)
( ) 2 ( ) 2
x y x x y y
x y x y x y x y
xy x y
xy x y xy x y x y xy xy x y x y
− − + −
− + − − + −
= = =
+
+ + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( )( 2 ) 2( )
( 3) ( 3) 3
x y x y y x
x y xy x y
dpcm
xy x y xy x y x y
− − + −
− − − −
= = =
+ + +
RÚT GỌN BIỂU THỨC
Bài 1: Rút gọn
2 2 2 2
2
( )( ) ( )
( ) ( )
a b c a b c ab bc ca
A
a b c ab bc ca
+ + + + + + +
=
+ + − + +
Lời giải
Trang 19
Có:
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )a b c ab bc ca a b c ab bc ca MS a b c ab bc ca+ + − + + = + + + + + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( )( 2 2 2 ) ( ) ( )( )
( ) ( ). ( )( ) ( )
TS a b c a b c ab bc ac ab bc ca a b c MS ab bc ca
ab bc ca a b c MS a b c ab bc ca ab bc ca
= + + + + + + + + + + = + + + + + +
+ + = + + + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ). ( )( ) .( )a b c MS ab ac bc a b c ab bc ca MS a b c ab bc ca MS= + + + + + + + + + + = + + + + + =
2
TS MS
A MS
MS MS
= = =
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau
a.
2 2 2
1 1 1
x yz y zx z xy
A
y z z x x y
x y z
− − =
= + +
+ + +
+ + +
2 2 2 2 2 2 3 3 3
( ) ( ) ( ) 3
1 1 1
x yz y zx z xy x x yz y y yz z z xy x y z xyz
A
y z z x x y
x y z x y z x y z x y z
x y z
− − = − − − + + −
= + + = + + =
+ + +
+ + + + + + + +
+ + +
2 2 2
2 2 2
( )( )x y z x y z xy yz zx
A x y z xy yz zx
x y z
+ + + + − − −
= = + + − − −
++
b.
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
a a b a a c b b c b b a c c a c c b
a b a c b c b a c a c b
B
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b
+ + + + + +
+++
− − − − − −
= + +
− − −
+ + +
− − − − − −
Đặt
1 2 3
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;;
( ) ( ) ( )
1 1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
a a b a a c b b c b b a c c a c c b
a b a c b c b a c a c b
B B B
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b
+ + + + + +
+ + +
− − − − − −
= = =
− − −
+ + +
− − − − − −
Tử số
22
2
1
( )( ) ( )( ) (2 2 )
( )( ) ( )( ) ( )( )
a a ab ac bc a ab ac bc
a a b a c a a c a b a a bc
B
a b a c a b a c a b a c

+ − − + − + −
+ − + + − −

= = =
− − − − − −
Mẫu số
2 2 2 2 2
1
( ) ( )( ) ( )
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c a b a c b c a b c ab bc ca
B
a b a c a b a c a b a c
− − − + − + + − − −
= + = =
− − − − − −
3
1
2 2 2
22a abc
B
a b c ab bc ca
−
=
+ + − − −
Trang 20
Tuơng tự:
33
23
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
;
b abc c abc
BB
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
−−
= =
+ + − − − + + − − −
3 3 3
2 2 2
2( 3 )
2( )
a b c abc
B a b c
a b c ab bc ca
+ + −
= = + +
+ + − − −
Bài 3: Rút gọn
3 3 4 2 2 4
3 3 4 2 2 4
( 2 ) ( 2 ) 3 7 4
:
(2 ) (2 ) 4 7 3
a b a b a a b b
A
a b a b a a b b
+ − − + +
=
+ − − + +
Lời giải
+)
3 3 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )
4 ( 4 4 4 4 4 ) 4 (3 4 )
a b a b a b a b a b a b a b a b
b a ab b a b a ab b b a b

+ − − = + − − + + + − + −

= + + + − + − + = +
+)
3 3 2 2
(2 ) (2 ) 2 (12 )a b a b b a b+ − − = +
+)
4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
3 7 4 ( )(3 4 );4 7 3 ( )(4 3 ) 2a a b b a b a b a a b b a b a b A+ + = + + + + = + + =
Bài 4: Thực hiện phép tính sau
3 3 3
3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
a b c b c a c a b
A
a b c a c b b c a b a c c a b a b c
a b a ab b b c b bc c c a c ca a
+ − + − + −
= + +
− − − − − − − − −
+ + +
− + + − + + − + +
Lời giải
Đặt
1
3
3 3 2 2
2
( ) ( )( )
a b c
A
a b c a c b
a b a ab b
+−
=
− − −
+
− + +
MS:
3 2 2 2
11
3 3 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 2 )( )a b c a c b a b c a c b a b c a ab b
AA
a b a ab b a ab b a b c ab bc ca
− − − − + − − + − + +
= + = =
− + + + + + + − − −
Tương tự:
2 2 2 2
23
2 2 2 2 2 2
( 2 )( ) ( 2 )( )
;
b c a b bc c c a b c ca a
AA
a b c ab bc ca a b c ab bc ca
+ − + + + − + +
==
+ + − − − + + − − −
Tử số của
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A a c b c a ab b b a c a b bc c c b a b c ca a= − + − + + + − + − + + + − + − + +
2 2 2 2
( )( ) ( )( ) ........a c a ab b b c a ab b= − + + + − + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )a c a ab b b bc c b c a ab b c ca a b a b bc c c ca a= − + + − − − + − + + − − − + − + + − − −
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )a c a c a b c b c b c a b c b a b a a b c= − − + + + − − + + + − − + +

Tài liệu khác của Toán 8

Preview text:

PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Các bài toán về biểu thức nguyên 1. 2 2 2 2
(a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ca) 2. n n n 1 − n−2 n−3 2 n 1 a b (a b)(a a b a b ... b − − = − + + + + ) 3. 2n 2n 2n 1 − 2n−2 2n−3 2 2n 1 a b (a b)(a a b a b ... b − − = + − + − − ) 4. n n n 1 − n−2 n−3 2 n 1 a b (a b)(a a b a b ... b − + = + − + − + ) 5. Nhị thức Newton: − n n − n n n ( 1) 1 n−2 2
(a + b) = a + . n a .b + a b + ... n + b 2
Bài 1: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính A = a4 + b4 + c4 Lời giải: Ta có: 2 2 2 2
a + b + c = 0  (a + b + c) = 0  a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = 0  14 = −2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca = 7 − (1) Lại có: 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 14  a + b + c + 2a b + 2a c + 2b c = 14 = 169(2) Từ (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b + b c + c a + 2ab c + 2a bc + 2abc = 49  a b + b c + c a + 2abc(a + b + c) = 49 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2
a b + b c + c a = 49  (2) : a + b + c = 14 − 2.49 = 98
Bài 2: Cho x + y + z = 0 và xy + yz + xz = 0. Tính 2019 2020 2021 A = (x −1) + y + (z +1) Lời giải : Từ : 2 2 2 2 2 2
x + y + z = 0  x + y + z + 2(xy + yz + zx) = 0  x + y + z = 0  x = y = z = 0 2019 2020 2021  A = 1 − + 0 +1 = 0
Bài 3 : Cho x + y + z = 0 , chứng minh rằng a. 2 2 2 2 4 4 4
(x + y + z ) = 2(x + y + z ) b. 3 3 3 2 2 2 5 5 5
5(x + y + z )(x + y + z ) = 6(x + y + z ) c. 5 5 5 2 2 2
2(x + y + z ) = 5xyz(x + y + z ) Lời giải: a. 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
(x + y + z ) = x + y + z + 2(x y + y z + z x )(1) Trang 1 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z = 0  x + y + z = 2
− (xy + yz + zx)  (x + y + z ) = 4(xy + yz + zx) (2) Từ (1)(2) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x + y + z + 2(x y + y z + z x ) = 4(x y + y z + z x + 2xy z + 2x yz + 2xyz ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2
= 4[x y + y z + z x + 2(x + y + z)]=4(x y + y z + z x )  x + y + z = 2(x y + y z + z x ) =0 Thay vào (1), ta được : 2 2 2 2 4 4 4
(x + y + z ) = 2(x + y + z ) b. 1 5 5 5 2 2 2 2 2 2
VT = x + y + z + x y (x + y) + x z (x + z) + y z (y + z) 5 Từ 1 5 5 5
x + y + z = 0  x + y = −z; x + z = − y; y + z = −x VT = x + y + z − xyz(xy + yz + zx)(1) 5 2 2 2 + + 2 2 2 2 x y z
x + y + z = 0  (x + y + z) = 0  x + y + z = 2
− (xy + yz + zx)  xy + yz + zx = 2 − Theo câu a, ta có : 3 3 3
x + y + z = 3xyz khi x + y + z = 0 2 2 2 3 3 3
x + y + z x + y + z
 −(xy + yz + zx).xyz = . (2) 2 3 Thay vào (1), ta được : 3 3 3 2 2 2 5 5 5
5(x + y + z )(x + y + z ) = 6(x + y + z )(*) c. Ta có : 3 3 3
x + y + z = 3xyz , thay vào (*), ta được : 2 2 2 5 5 5 2 2 2 5 5 5
5.3xyz(x + y + z ) = 6(x + y + z )  5xyz(x + y + z ) = 2(x + y + z )(dpcm)
Bài 4 : Chứng minh rằng a. 3 3 3 2 2 2
2(a + b + c − 3abc) = (a + b + c) (a − b) + (b − c) + (c − a)    b. 2 2 2
(a + b)(b + c)(c + a) + 4abc = c(a + b) + a(b + c) + b(c + a) Lời giải : a. 2 2 2
VP = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca) 1 3 3 3 3 3 3 3
VT = a + b + c − 3abc = (a + b) + c − 3ab(a + b) − 3abc = (a + b) + c − 3ab(a + b + c) 2 2 2 2 2 2
= (a + b + c)[(a+b) − (a + b)c + c − 3ab] = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca)  VT = VP b. 2 2 2 2 2 2
VT = 6abc + ca + ac + ab + a b + bc + b c Trang 2 2 2 2 2 2 2
VP = 6abc + ca + ac + ab + a b + bc + b c = VT
Bài 5 : Cho a + b + c = 4m. Chứng minh rằng a. 2 2 2 2
2ab + b + a − c = 16m − 8mc + − + − − + + b. a b c 2 a c b 2 a b c 2 2 2 2 2 ( ) + ( ) + (
) = a + b + c − 4m 2 2 2 Lời giải: a. 2 2 2 2 2
VT = (a + b) − c = (4m − c) − c = 16m − 8mc = VP + − b. Từ a b c
a + b + c = 4m a + b − c = 4m − 2c  = 2m − c 2 Tương tự: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
VT = (2m − c) + (2m − b) + (2m − a) = a + b + c +12m − 4m(a + b + c) = a + b + c − 4m = VP Bài 6: a. Cho 2019 2019 2019 2019
(x + y + z)(xy + yz + zx) = xyz(*),CMR : x + y + z
= (x + y + z)
b. Nếu x + y + z 6  A = (x + y)(y + z)(z + x) − 2xyz 6 Lời giải: a. Theo (*) 2 2 2 2 2 2
 (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz = 0  xy + x y + xyz + xyz + y z + z y + x z + xz + xyz − xyz = 0 2 2
xy(x + y) + yz(x + y) + z (x + y) + xz(x + y) = 0  (x + y)(xy + yz + z + xz) = 0 x + y = 0 x = − y
(x y)( y z)(z x) 0  y z 0   + + + =  + =  y = −z   z + x = 0 z = −x   Giả sử: 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013
x = − y x = −yx + y + z = z
;(x + y + z) = zdpcm b. Theo câu a, ta có:
(x + y + z)(xy + yz + zx)
(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)(xy + yz + zx) − xyz A = − xyz 3
Vì x + y + z 6  x + y + z là số chẵn  1 trong 3 số x, y, z là số chẵn  3xyz 6  A 6 Trang 3 Bài 7 : Cho 2 2 2 3 5 7
a + b + c = a + b + c = 1 . Tính 2 9 1945
A = a + b + c Lời giải : Ta có : 2 2 2 2
a + b + c = 1  0  a  1  a  1  1 −  a  1; 1
−  b,c  1 a = 0 2 2 3 1
−  a  1 a (1− a)  0  a a ,' = '   a =1 b = 0 3 3 2 2 5 1
−  b 1 b  1 (1− b ).b  0  b b ,' = '   b =1 c = 0 Tương tự : 2 7
c c ,' = '   c =1 Mặt khác ta lại có : 2 2 2 3 5 7 2 3 2 5 2 7
a + b + c = a + b + c = 1  a = a ;b = b ;c = c a,b,c
Có 1 số = 1 và 2 số = 0  A = 1
Bài 8 : Tìm các số a, b, c sao cho : 3 2
x − ax + bx − c = (x − a)(x − b)(x − c) x   R Lời giải: Ta có: 2 3 3 2
(x − a)(x − b)(x − c) = (a + b + c)x + (ab + bc + ac)x − abc + x = x − ax + bx − c
a + b + c = a b  + c = 0  
b = c = 0, a
 ab + bc + ca = b   
a(b + c) + bc = b bc = b     a = b = 1 − ;c = 1 abc = c c(1− ab) = 0  
Bài 9: Cho a, b thỏa mãn: 3 2 3 2
a − 3a + 5a −17 = 0;b − 3b + 5b +11 = 0.TinhA = a + b Lời giải: 3 3 2 2 3 2
(a + b ) − 3(a + b ) + 5(a + b) − 6 = 0  (a + b) − 3ab(a + b) − 3[(a + b) − 2ab] + 5(a + b) − 6 = 0 3 2
 (a + b) − 3(a + b) + 5(a + b) − 6 − 3ab(a + b) + 6ab = 0 3 2
 (a + b) − 3(a + b) + 5(a + b) − 6 − 3ab(a + b − 2) = 0(a + b = 2 → a + b − 2 = 0) 3 2 2
 (a + b) − 2(a + b) − (a + b) + 2(a + b) + 3(a + b) − 6 − 3ab(a + b − 2) = 0 2
 (a + b) (a + b − 2) − (a + b)(a + b − 2) + 3(a + b − 2) − 3ab(a + b − 2) = 0 Trang 4
a + b − 2 = 0 2
 (a + b − 2)[(a+b) − (a + b) + 3 − 3ab] = 0   2
(a + b) − (a + b) + 3 − 3ab = 0 A = 2  2 2 2 2
a − ab + b − a − b + 3 = 0  2a − 2ab + 2b   2
− a − 2b + 6 = 0   A = 2    A = 2. 2 2 2
(a − b) + (a −1) + (b −1) + 4 = 0(voly)
Bài 10: Chứng minh rằng 8 7 5 3
A = x − x + x − x +1  0 Lời giải: +) Xét 7 8 7 3 2 5 3
x  1  x (x −1)  0  x x ; x (x −1)  0  x x A  1  0 +) 3 5 2 3 5 7 8 3 5 7
0  x  1  1− x  0; x (1− x )  0  1  x ; x x A = x +1− x + x − x  0  A  0 7 −x  0 +) x  0 →  3 −x  0 - 5 3 8 5 x  1
− → x (x +1)  0 → x + x  0  A  1 - 5 1
−  x  0  1+ x  0  A  0 Vậy A > 0 với mọi x. BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: 4 3 2 (
A x) = x + ax + bx − 8x + 4 là bình phương của đa thức 2
B(x) = x + cx + d Lời giải: 2c = a  2
c + 2d = b 2 2 2 4 3 2 2 2 2
[B(x)] = (x + cx + d ) = x + 2cx + (c + 2d )x + 2cdx + d  (
A x) = B (x)   2cd = 8 −   2 d = 4
+) d = 2  c = 2 − ;a = 4 − ;d = 8 Trang 5 +) d = 2
−  c = 2,a = 4,b = 0 Bài 2: Cho 3 2 3 2
a − 3ab = 19;b − 3a b = 98. Tính 2 2
E = a + b Lời giải: Ta có: 3 2 2 2 6 4 2 2 4 2 3 2 6 4 2 4 2
(a − 3ab ) = 19 = a − 6a b + 9a b ;98 = (b − 3a b) = b − 6b a + 9a b 2 2 6 6 4 2 2 4 2 2 3 2 2 3
19 + 98 = a + b + 3a b + 3a b = (a + b )  a + b = 9965
Bài 3: Chứng minh rằng: 12 9 4
A = x − x + x − x +1  0 x   R Lời giải 9 3
x (x −1)  0
+) Với x  1 → 
A  1  0 x   R 3
x(x −1)  0 −x  0
+) Với x  0 →   A  0 9 −x  0 1  − x  0
+) Với 0  x  1 →   A  0 4 9 4 5
Do dấu “ = ’’ không xảy ra
x − x = x (1− x )  0
Bài 4: Chứng minh rằng
a. Nếu a + b + c ≥ 0 thì 3 3 3
a + b + c − 3abc  0(a,b,c R) b. 4 4 4 4
a + b + c + d − 4abcd  0 a
 ,b,c,d R Lời giải a. Có: 3 3 3 2 2 2
a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca) mà: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c  02(gt);(a − b)  0  a − 2ab + b  0  a + b  2a ;
b a + c  2a ;
c b + c  2bc 2 2 2 2 2 2
a + b + c ab + bc + ca a + b + c − ab − bc − ca  0 b. 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
a + b + c + d − 4abcd = a + b − 2a b + c + d − 2c d + 2a b + 2c d − 4abcd 2 2 2 2 2 2 2
= (a − b ) + (c − d ) + 2(ab − cd) a
 ,b,c,d R Trang 6
CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
A. Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước − −
Bài 1: a. Cho a – 2b = 5. Tính giá trị biểu thức
3a 2b 3b a A = + 2a + 5 b − 5 Lời giải + − − + Ta có:
3(2b 5) 2b 3b (2b 5)
a − 2b = 5 → a = 2b + 5 → A = + = 2 2(2b + 5) + 5 b − 5 − − b. Biết 2a – b = 7. Tính
5a b 3b 2a B = + 3a + 7 2b − 7 Lời giải
2a − b = 7  b = 2a − 7  B = 2 − − c. Biết a b b a 2 2 2 2
10a − 3b + 5ab = 0;9a − b  0 . Tính 2 5 C = +
3a − b 3a + b Lời giải 2 2
(2a − b)(3a + b) + (5b − a)(3a − b)
3a +15ab − 6b C = = (1) 2 2
(3a − b)(3a + b) 9a − b Từ giải thiết: 2 2 2 2 2 2 + − − − + 2 2 2 2 3a 3(3b 10a ) 6b 27a 3b
10a − 3b + 5ab = 0  5ab = 3b −10a A = = = 3 − 2 2 2 2 9a − b 9a − b − d. Cho 2 2
3a + 3b = 10ab và b a  0. Tính a b D = a + b Lời giải Cách 1: Từ b = 3a a − 3a 1 − 2 2 2 2
3a + 3b = 10ab  3a + 3b −10ab = 0  (3a − b)(a − 3b) = 0   A = = 
a = 3b(loai) a + 3a 2 2 2 2 2 2 − − + + −  Cách 2: (a b) a 2ab b 3a 3b 6ab 1 1 2 A = = = =  A = 2 2 2 2 2 (a + b)
a + 2ab + b
3a + 3b + 6ab 4 2 Trang 7a − b  0 − Do 1 b a  
A  0  A = a + b  0 2 2 − − e. Biết 2 2 x 25 y 2 x + 9y 4
− xy = 2xy − x − 3 . Tính E = : 3 2 2
x −10x + 25x y − y − 2 Lời giải x − 3y = 0 x = 3 − Có: 8 2 2 2 x + 9y 4
− xy = 2xy − x − 3  (x − 3y) + x − 3 = 0      A = x − 3 = 0 y =1 3 Bài 2: Cho 1
x + = 3 . Tính giá trị của các biểu thức sau: x a. 1 1 1 2 1 A = x + b. 3 B = x + c. 4 C = x + d. 5 D = x + 2 x 3 x 4 x 5 x Lời giải a. 2 1 1 1 2 A = x + + 2. . x
− 2 = (x + ) − 2 = 7 2 x x x b. 3 1 3 1 2 1
B = x + ( ) = (x + )(x −1+ ) = 3.6 = 18 2 x x x c. 4 1 4 1 2 1 2 1 2 C = x + = x + + 2.x . − 2 = (x + ) 2 − = 47 4 4 2 2 x x x x d. 5 1 5 1 4 3 1 2 1 1 1 1 4 1 2 1
D = x + ( ) = (x + )(x − x . + x . − . x + ) = (x + )(x + − x +1− ) 2 3 4 4 2 x x x x x x x x x = 3.(47 − 7 +1) = 123 Cách 2: 2 1 3 1 5 1 1 (x + )(x + ) = x + x + + = 123 2 3 5 x x x x Bài 3: Cho 1 1 2
x − 4x +1 = 0 . Tính 5 A = x + và 7 B = x + 5 x 7 x Lời giải Có: 2 2
x − 4x +1 = 0  x +1 = 4x x  0
Chia cả hai vế cho x ta được: 1 x + = 4 x Trang 8 Ta có: 1 2 2 1 2 1 (x + ) = x + 2 + =16  x + = 14 2 2 x x x 1 3 3 1 1 1 3 1 3 3 1 (x + ) = x + + 3. .
x .(x + ) = x + + 3.4 = 4  x + = 52 3 3 3 x x x x x x 2 1 3 1 5 1 1 5 1 5 1  (x + )(x + ) = x + + x + = 4 + x +  x + = ... 2 3 5 5 5 x x x x x x 2 2 Bài 4: Cho x = x x 2008. Tính M = và N = 2 x − x +1 4 2 x + x +1 4 2 x − x +1 Lời giải Có: 4 2 2 2 2
x + x +1 = (x − x +1)(x + x +1); x = 2008(x − x +1)(1) Từ: x 2 2 2
= 2008  x = 2008(x +1) − 2008x  2009x = 2008(x +1)  2009x + 2008x = 2008(x + x +1) 2 x − x +1 2
 4017x = 2008(x + x +1)(2) Lấy (1).(2) được: 2 2 2 2 4 2 4017x 2 2 2008
4017x = 2008 (x + x +1)(*) 
= 2008  4017.M = 2008  M = 4 2 x + x +1 4017 2 2 2008 4 2 4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 (*)  x =
(x + x +1) = M (x + x +1)  x = M (x − x +1+ 2x )  x = M (x − x +1) + 2Mx 4017 2 − 2 4 2 (1 2M )x M
 (1− 2M )x = M (x − x +1) 
= M  (1− 2M ).N = M N = 4 2 x − x +1 1− 2M
Bài 5: Cho x y z a b c + + = a b c 0(1); + + = 2(2) . Tính 2 2 2 A = ( ) + ( ) + ( ) a b c x y z x y z Lời giải + + Ta có: x y z bcx acy abz + + = 0 
= 0  bcz + acy + abx = 0(3) a b c abc Từ (2) a b c a b c 2 a 2 b 2 c 2 ab ac bc
+ + = 2  ( + + ) = 4  ( ) + ( ) + ( ) + 2( + + ) = 4 x y z x y z x y z xy xz yz Trang 9 a b c a b c 2 a 2 b 2 c 2 ab ac bc
+ + = 2  ( + + ) = 4  ( ) + ( ) + ( ) + 2( + + ) = 4 x y z x y z x y z xy xz yz a + + 2 b 2 c 2 abz acy bcx  ( ) + ( ) + ( ) + 2( ) = 4(4) x y z xyz
Thay (3) vào (4), ta được: a 2 b 2 c 2
A = ( ) + ( ) + ( ) = 4 x y z 2 2 2 + + Bài 6: Biết a b c 3 3 3
a + b + c = 3abc và a + b + c  0 . Tính A = 2
(a + b + c) Lời giải Ta có: 3 3 3 2 2 2 2 2 2
a + b + c − 3abc = (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca)  a + b + c − ab − bc − ca = 0 2 3a 1 2 2 2
 (a − b) + (b − c) + (c − a) = 0  a = b = c A = = 2 (3a) 3 2 2 2 − + − + −
ax + by + cz = 0 Bài 7: Tính bc(y z) ac(z x) ab(x y) A = , biết  2 2 2
ax + by + cz
a + b + c = 25 Lời giải Đặt 2 2 2 2 2 2
M = bc( y − z) + ac(z − x) + ab(x − y) = by (a + c) + cz (a + b) + ax (b + c) − 2(bcyz + acxz + abxy)
Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c 2 2 2 2 2 2 2 2 2
M = by (a + b + c) + cz (a + b + c) + ax (a + b + c) − 2(......) − b y − c z − a x 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= (a + b + c)(by + cz + ax ) − 2(...) − (b y + c z + a x ) Lại có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(ax + by + cz) = 0  a x + b y + c z + 2(abxy + acxz + bcyz) = 0  M = (a + b + c)(by + cz + ax )
A = a + b + c = 25
Bài 8: Cho a.b.c = 2, rút gọn : a b 2c A = + +
ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + 2 Lời giải a b 2c a 2 ab A = + + = + + (nhanvoi : a)
ab + a + 2 bc + b +1 ac + 2c + abc
ab + a + 2 ab + a + 2 abc + ab + a Trang 10 a + 2 + ab A = =1 a + 2 + ab 2 2 2
Bài 9: Cho a + b + c = 0, rút gọn : a b c A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − c − a
c − b − a Lời giải Từ: 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0  a = −(b + c)  a = b + c + 2bc a − b − c = 2bc 2 2 2 3 3 3 + + Tương tự: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c
b − a − c = 2a ;
c c − a − b = 2ab B = + + = (*)
2bc 2ac 2ab 2abc Từ: 3 3 3 3 3 3 3
a + b + c = 0  b + c = −a  (b + c) = −a  −a = b + c + 3bc(b + c) = b + c − 3abc 3 3 3 3abc 3
a + b + c = 3abc  (*) : B = = 2abc 2
Bài 10: Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: 1 1 1
a + b + c = 2019; + + = 0 . Tính 2 2 2
A = a + b + c a b c Lời giải Từ: 2 2 2 2
a + b + c = 2019  (a + b + c) = 2019  a + b + c + 2(ab + bc + ca) = 2019 + + Mặt khác: 1 1 1 bc ca ab + + = 0 
= 0  bc + ca + ab = 0(abc  0)  A = 2019 a b c abc
Bài 11: [ HSG Yên Phong – 2015 ] Cho a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 2013 2013 2013
a(b + c) +b(c + a) + c(a + b) = 4ab ; c a + b +c = 1. Tính 1 1 1 A = + + 2015 2015 2015 a b c Lời giải Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a(b + c) +b(c + a) + c(a + b) − 4abc = 0  ab + 2abc + ac + bc + 2abc + ba + ca + 2abc + cb − 4abc = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ab + 2abc + ac + ba + bc + ca + cb = 0  a(b + c ) + (b + c)(a + bc) + 2abc = 0 2 2 2 2
a(b +c + 2bc) + (b + c)(a + bc) = 0  (b + c)(ab + ac + bc + a ) = 0  (a + b)(b + c)(c + a) = 0 2013 2013 2015 2015 a + b = 0 a = b −  a = b − ;a = b −  M = 1  
b + c = 0  b = −c M = 1   c + a = 0
c = −a M =1   Trang 11
Vậy M = 1 với a = b = c = 1.
Bài 12: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. Tính 1 1 1 A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a + b − c
b + c − a
c + a − b Lời giải 2 2 2
a + b − c = 2 − ab  Từ: 2 2 2 2 2
a + b + c = 0  a = −(b + c)  a + b = −c  (a + b) = c b
 + c − a = −2bc  2 2 2
c + a − b = 2 − ac  − + + Từ: 1 1 1 (a b c)  A = + +  A = = 0 2 − ab 2 − bc 2 − ac 2abc
Bài 13: Cho x, y, z đôi một khác nhau và Từ: 1 1 1 + + = yz xz xy 0 . Tính A = + + x y z 2 2 2 x + 2yz y + 2xz z + 2xy Lời giải + + Từ : 1 1 1 xy yz zx + + = 0 
= 0  xy + yz + zx = 0  yz = −xy − xz x y z xyz Có : 2 2 2 2 x 2
+ yz = x + yz + (−xy − xz) = (x − y)(x − z); y + 2xz = (y − x)(y − z); z + 2xy = (z − x)(z − y) yz xz xy
−yz(y − z) − xz(z − x) − xy(x − y)  A = + + =
(x − y)(x − z) ( y − x)( y − z) (z − x)(z − y)
(x − y)(y − z)(z − x) Tử số của 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A = yz − y z − xz − xz + xy − x y = z ( y − x) + z(x − y ) + xy(y − x) = (y − x)(z + xy) + z(x − y)(x + y) 2
= (x − y) z(x + y) − z − xy = (x − y)(y − z)(z − x)  A = 1   Bài 14: Tính x y z 3 3 3
A = (1+ )(1+ )(1+ ); x, y, z  0; x + y + z = 3xyz y z x Lời giải
x + y + z = 0 3 3 3 2 2 2
x + y + z = 3xyz  ....  (x + y + z)(x + y + z − xy − yz − zx) = 0   2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx = 0 + + + − +) TH1 : x y y z x z xyz
x + y + z = 0  x + y = −z; x + z = − y; y + z = −x A = . . = = 1 − y y x xyz Trang 12 +) TH2 : x − y = 0  2 2 2 2 2 2
x + y + z − xy − yz − zx = 0  (x − y) + (x − z) + ( y − z) = 0  y − z = 0  x = y = z A = 8 z − x = 0  BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 1: Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a + b + c = 0. 2 2 2 + + + Tính a bc b ac c ab A = + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a − b − c
b − c − a
c − a − b Lời giải Từ : 2 2 2 2 2 2
a + b + c = 0  b + c = −a b + 2bc + c = a a − b − c = 2bc 2 2 2 2 2 2 + + + Tương tự : 2 2 2 2 2 2 a bc b ca c ab a b c 3
b − c − a = 2a ;
c c − a − b = 2ab S = + + = + + + 2bc 2ac 2ab
2bc 2ac 2ab 2 3 3 3 a + b + c 3 3abc 3 = + = + = 3 2abc 2 2abc 2
Bài 2*: Tính giá trị của biểu thức sau, biết a + b + c = 0
a − b b − c c − a c a b A = ( + + )( + + ) c a b
a − b b − c a − c Lời giải − − − Đặt a b b c c a M = + + c a b 2 2 − + − − − − − − Ta có: c c b bc ac a c (a b)(c a b) c(c a b) M. =1+ ( ) = 1+ . =1+ a − b a − b ab a − b ab ab
cc − a − b  2 ( ) . c 2c 2c =1+ =1+ =1+ ab ab ab 2 2 2 2 2 3 3 3 + + Tương tự: a 2a b 2b c a b a b c M. =1+ ; M. =1+  A = 3 + 2( + + ) = 3 + 2 b − c bc a − c bc ab bc ac abc Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 2 2
a + b + c = (a + b) − 3ab(a + b) + c = (a + b) + c  − 3ab(−c) = (a + b + c) (a + b) + (a + b)c + c  + 3abc    
= 3abc A = 3 + 3.2 = 9 Trang 13
B. Chứng minh đẳng thức thỏa mãn điều kiện của biến Bài 1: Cho 1 1 1 1 1 1 + + = 2(1); + +
= 2(2) . CMR: a + b + c = abc 2 2 2 a b c a b c Lời giải + + Từ (1) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b c ( + + ) = 4  + + + 2(...) = 4  + + = 1 
= 1  a + b + c = abc 2 2 2 a b c a b c ab bc ca abc
Bài 2: Cho a,b,c  0;a + b + c  0 , thỏa mãn 1 1 1 1 + + = a b c a + b + c Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + = 2019 2019 2019 2019 2019 2019 a b c a + b + c Lời giải Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1
a + b a + b + c − c  1 1  + + =  + + − = 0  + = 0  (a + b) + = 0 a b c a b c a b c a b c ab c(a b c) 
ab c(a b c)  + + + + + + + +  2
ca + cb + c + ab
(a + b)(a + c)(c + b)  (a + b) = 0 
= 0  (a + b)(b + c)(c + a) = 0  
abc(a + b + c)
abc(a + b + c)   +) 2019 2019
a + b = 0  a = b −  a = ( b − )  VT = VP
Chứng minh tương tự, ta có điều phải chứng minh. 2 2 2 Bài 3: Cho a b c + + = a b c 1 . Chứng minh rằng + + = 0
b + c a + c a + b
b + c a + c a + b Lời giải
Để xuất hiện a2, b2, c2 ta nhân với a + b + c a b c a b c + + =1 ( + +
)(a + b + c) = a + b + c
b + c a + c a + b
b + c a + c a + b 2 2 2 2 2 2 a b c a b c  + a + + b +
+ c = a + b + c  + + = 0(dpcm) b + c a + c a + b
b + c a + c a + b a b c
Bài 4: Cho a + b + c = x + y + z = 0 và + + = 0 . CMR : 2 2 2
ax + by + cz = 0 x y z Lời giải Trang 14 Cách 1: Ta có b − − c b c 1 1 1 1 x − y x − z
a + b + c = 0  a = b − − c
+ + = 0  b( − ) + c( − ) = 0  b( ) + c( ) = 0 x y z y x z x xy xz
b(x − y).z + c(z − x).y
= 0(1)  b(x − y)z + c(z − x)y = 0 xyz Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ax + by + cz = ( b
− − c)x + by + cz = b(y − x ) + c(z − x ) = b(y − z)(y + x) + c(z − x)(z + x) 2 2 2
= b(y − x)(−z) + c(z − x)(−y) = b(x − y)z + c(x − z)y = 0(the 1
o )  ax + by + cz = 0 Cách 2 : Ta có 2 2 2 2 2 2
x + y + z = 0  x = ( y + z) ; y = (x + z) ; z = (x + y) Do đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ax + by + cz = a( y + z) + b(x + z) + c(x + y) = a( y + 2yz + z ) + b(x + 2xz + z ) + c(x + 2yx + y ) 2 2 2
= x (b + c) + y (a + c) + z (a + b) + 2(ayz + bxz + cxy)(*)
Từ a + b + c = 0  b + c = −a;a + c = − ;
b a + b = −c Có: a b c
ayz + bxz + cxy 2 2 2 2 2 2 + + = 0 
= 0  ayz + bxz + cxy = 0  (*) : ax + by + cz = x (−a) + y (−b) + z (−c) x y z xyz 2 2 2 2 2 2
 2(ax + by + cz ) = 0  ax + by + cz = 0
Bài 5: [ GVG- Yên Phong – 2014]
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn : 1 1 1
+ + = 1 và a + b + c = 1. CMR : (a −1)(b −1)(c −1) = 0 a b c Lời giải + + Ta có : 1 1 1 bc ac ab + + =1
= 1 bc + ac + ab = abc a b c abc
Có : (a −1)(b −1)(c −1) = abc − ab − ac + a − bc + b + c −1 = abc − (ab + ac + bc) + (a + b + c) −1 = 0 xy +1 yz +1 xz +1 Bài 6: Cho = =
. CMR : x = y = z hoặc 2 2 2 x y z = 1 y z x Lời giải xy +1 yz +1 xz +1 1 1 1 1 1 y − z 1 1 z − x Từ : = =
x + = y + = z +  x − y = − =
; y − z = − = y z x y z x z y yz x z zx Trang 15 1 1 x − y
(x − y)(y − z)(z − x) 2 2 2 z − x = − =
 (x − y)(y − z)(z − x) =
 (x − y)(y − z)(z − x)(x y z −1) = 0 2 2 2 y x xy x y z x = y
(x − y)(y − z)(z − x) = 0
y = z x = y = z     2 2 2 x y z = 1 z = x   2 2 2 x y z =1 Bài 7: Cho a b c + + = a b c 0 . CMR : + + = 0
b − c c − a a − b 2 2 2 (b − c) (c − a) (a − b) Lời giải 2 2 2 2 − + − − + − Từ : a b c a b c b ab ac c b ab ac c + + = 0  = + = =
b − c c − a a − b b − c
a − c b − a
(a − c)(b − a)
(a − b)(c − a) 2 2 a
b − ab + ac − c  = (1) nhân với 1 2 (b − c)
(a − b)(b − c)(c − a) b − c 2 2 2 2 − + − − + − Tương tự : b c bc ab a c a ac bc b = (2); = (3) 2 2 (c − a)
(b − c)(a − c)(a − b) (a − b)
(a − b)(b − c)(c − a) a b c (1) + (2) + (3) : + + = 0(dpc ) m 2 2 2 (b − c) (c − a) (a − b) 4 4 2 2 +
Bài 8: Cho x, y, a, b là những số thực thỏa mãn : x y x y + = và 2 2 x + y = 1 a b a + b 2006 2006 Chứng minh rằng : x y 2 + = 1003 1003 1003 a b (a + b) Lời giải 2 2 Nếu x y 1 2013 2013 ( )  ( ) =  xong 2013 a b (a + b) 4 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 + + + + Ta có : x y x y (x y ) bx ay (x y ) 4 4 2 2 2 + = =  =
 (bx + ay )(a + b) = ab(x + y ) a b a + b a + b ab a + b 4 2 4 2 4 4 4 2 2 4 2 4 2 2 2 4
abx + b x + a y + aby = abx + 2abx y + aby b x − 2abx y + a y = 0 Trang 16 2 2 2 2 2 2 x y x + y 1 x y 1 2 2 2 2 2 2003 2003
 (bx − ay ) = 0  bx = ay  = = =  ( ) = ( ) = (dpc ) m 2003 a b a + b a + b a b (a + b)
Bài 9 : [ HSG Quảng Xương – 20/04/2015]
Cho ba số a, b, c khác 0, thỏa mãn: 2 2 2 2
(a + b + c) = a + b + c . CMR: 2 2 2 a b c + + = 1 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab Lời giải Từ 2 2 2 2 2 2
(a + b + c) = a + b + c ab + bc + ca = 0  bc = −(ab + ac)  a + 2bc = a + bc − (ab + ac) = (a − b)(a − c) 2 2 2 Tương tự: 2 2 a b c
b + 2ac = (b − c)(b − a);c + 2ab = (c − a)(c − b)  A = + + 2 2 2
a + 2bc b + 2ac c + 2ab 2 2 2
−a (b − c) + b (c − a) + c (a − b)
(a − b)(b − c)(c − a) A = = =1
(a − b)(b − c)(c − a)
(a − b)9b − c)(c − a) 2 2 2 2 2 2 Bài 10: Cho 1 1 1 + + = b c a c a b
0 với a,b,c  0 và M = + +
. CMR: M = 3abc a b c a b c Lời giải Đặt 1 1 1 = ; x
= y; = z x + y + z = 0 a b c 2 2 2 2 2 2 b c a c a b 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 M = + + = a b c ( +
+ ) = a b c (x + y + z ) 3 3 3 a b c a b c Từ: 3 3 3 3 3 3 3 3
x + y + z = 0  x + y = −z  (x + y) = −z x + y + 3xy(x + y) = −z x + y + z = 3xyz 2 2 2 2 2 2 1 1 1
M = a b c .3xyz = a b c .3. . . = 3abc a b c a b c a b c 4
Bài 11: Cho x y z + + = 0 và + + = 2 . CMR: + + = a b c x y z 2 2 2 bcx acy abz abc Lời giải x y z a b c a b c Có 2
+ + = 0  bcx + acy + abz = 0; + + = 2  ( + + ) = 4 a b c x y z x y z Trang 17 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ac a b c
abz + bcx + acy a b c  + + + 2( + + ) = 4  + + + 2( ) = 4  + + = 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z xy yz xz x y z xyz x y z Chia cả hai vế cho abc a b c 4  + + = 2 2 2 bcx acy abz abc − Bài 12: Cho x y 2(x y)
x + y = 1 và xy  0 . CMR: − + = 0 3 3 2 2
y −1 x −1 x y + 3 Lời giải 4 4 4 4 − − + − − − Ta có: x y x x y y (x y ) (x y) − = = 3 3 3 3 2 2 y −1 x −1
( y −1)(x −1)
( y −1)( y + y +1)(x −1)(x + x +1)
Theo đầu bài: x + y = 1 x = 1− y; y = 1− x 2 2 2 2
(x − y)(x + y)(x + y ) − (x − y)
(x − y)(x + y −1) = = 2 2 2 2 2 2 2 2
xy(x + x +1)(y + y +1)
xy(x y + x y + x + xy + xy + x + y + y +1) 2 2 2 2
(x − y)(x + y −1)
(x − y)(x + y −1)
(x − y)x(x −1) + y(y −1) = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + 2
xy x y + (x + y) + 2 xy(x y + 3)    
(x − y)x(−y) + y(−x) (x − y)( 2 − xy) 2 − (x − y) = = =  dpcm 2 2 2 2 2 2 xy(x y + 3) xy(x y + 3) x y + 3
RÚT GỌN BIỂU THỨC 2 2 2 2 + + + + + + + Bài 1: Rút gọn (a b c )(a b c) (ab bc ca) A = 2
(a + b + c) − (ab + bc + ca) Lời giải Trang 18 Có: 2 2 2 2 2 2 2
(a + b + c) − (ab + bc + ca) = a + b +c + ab + bc + ca MS = a + b + c + ab + bc + ca 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
TS = (a + b + c )(a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac) + (ab + bc + ca) = (a + b + c )(MS + ab + bc + ca) + 2 2 2 2 2 2 2 2
(ab + bc + ca) = (a + b + c ).MS + (a + b + c )(ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= (a + b + c ).MS + (ab + ac + bc)(a + b + c + ab + bc + ca) = MS.(a + b + c +ab + bc + ca) = MS 2 TS MSA = = = MS MS MS
Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau 2 2 2 − − = a. x yz y zx z xy A = + + y + z z + x x + y 1+ 1+ 1+ x y z 2 2 2 2 2 2 3 3 3 x − yz y − zx z = xy
x(x − yz)
y( y − yz)
z(z − xy)
x + y + z − 3xyz A = + + = + + = y + z z + x x + y 1+ 1+ 1 x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z + x y z 2 2 2
(x + y + z)(x + y + z − xy − yz − zx) 2 2 2 A =
= x + y + z − xy − yz − zx x + y + z
a(a + b) a(a + c)
b(b + c) b(b + a)
c(c + a) c(c + b) + + + b. a − b a − c b − c b − a c − a c − b B = + + 2 2 2 (b − c) (c − a) (a − b) 1+ 1+ 1+
(a − b)(a − c)
(b − c)(b − a)
(c − a)(c − b)
a(a + b) a(a + c)
b(b + c) b(b + a)
c(c + a) c(c + b) + + + Đặt a − b a − c = ; b − c b − a = ; c − a c − b B B B = 1 2 2 2 3 2 (b − c) (c − a) (a − b) 1+ 1+ 1+
(a − b)(a − c)
(b − c)(b − a)
(c − a)(c − b) 2 2 2
a a + b a − c + a a + c a − b
a a + ab − ac − bc + a − ab + ac − bc   − Tử số ( )( ) ( )( ) a(2a 2bc) B = = = 1
(a − b)(a − c)
(a − b)(a − c)
(a − b)(a − c) 2 2 2 2 2 − − − + − + + − − − Mẫu số (b c)
(a b)(a c) (b c) a b c ab bc ca B = 1+ = = 1
(a − b)(a − c)
(a − b)(a − c)
(a − b)(a − c) 3 2a − 2abcB = 1 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca Trang 19 3 3 − − Tuơng tự: 2b 2abc 2c 2abcB = ; B = 2 2 2 2 3 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca
a + b + c − ab − bc − ca 3 3 3
2(a + b + c − 3abc)  B =
= 2(a + b + c) 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca 3 3 4 2 2 4 + − − + + Bài 3: Rút gọn (a 2b) (a 2b) 3a 7a b 4b A = : 3 3 4 2 2 4
(2a + b) − (2a − b)
4a + 7a b + 3b Lời giải 3 3
(a + 2b) − (a − 2b) = (a + 2b) − (a − 2b) 2 2
(a + 2b) + (a + 2b)(a − 2b) + (a − 2b)  +)   2 2 2 2 2 2 2 2
= 4b(a + 4ab + 4b + a − 4b + a − 4ab + 4b ) = 4b(3a + 4b ) +) 3 3 2 2
(2a + b) − (2a − b) = 2b(12a + b ) +) 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2
3a + 7a b + 4b = (a +b )(3a + 4b );4a + 7a b + 3b = (a + b )(4a + 3b )  A = 2
Bài 4: Thực hiện phép tính sau
a + b − 2c
b + c − 2a
c + a − 2b A = + + 3 3 3 (a − b)
(c − a)(c − b) (b − c)
(a − b)(a − c) (c − a)
(b − a)(b − c) + + + 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 a − b
a + ab + b b − c
b + bc + c c − a
c + ca + a Lời giải + − Đặt a b 2c A = 1 3 (a − b)
(c − a)(c − b) + 3 3 2 2 a − b
a + ab + b 3 2 2 2 − − − − + − − + − + + MS: (a b) (c a)(c b) (a b) (c a)(c b)
(a b 2c)(a ab b ) A = + =  A = 1 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 a − b
a + ab + b
a + ab + b
a + b + c − ab − bc − ca 2 2 2 2 + − + + + − + + Tương tự:
(b c 2a)(b bc c )
(c a 2b)(c ca a ) A = ; A = 2 2 2 2 3 2 2 2
a + b + c − ab − bc − ca
a + b + c − ab − bc − ca Tử số của
A =  a − c + b − c  2 2
a + ab + b +  b − a + c − a  2 2
b + bc + c +  c − b + a − b  2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
) (c + ca + a ) 2 2 2 2
= (a − c)(a + ab + b ) + (b − c)(a + ab + b ) + ........ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= (a − c)(a + ab + b − b − bc − c ) + (b − c)(a + ab + b − c − ca − a ) + (b − a)(b + bc + c − c − ca − a )
= (a − c)(a − c)(a + b + c) + (b − c)(b − c)(a + b + c) + (b − a)(b − a)(a + b + c) Trang 20

Tài liệu liên quan: