Đề và đáp án thi cuối kì 2020 - đại số tuyến tính | Trường Đại học Phenika

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận  1 2 −3  1 2  A = −2 3 −1 3 2   , B =   . −3 2 4 −1 −2
(a) Tính A + 2AT , trong đó AT là ma trận chuyển vị của A. (b) Tính AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: x − 2y + 3z = 1  x + 2y − z = 1  2x + y − 3z = 0.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R3 cho hệ véc tơ:
V = {v1 = (3, 4, 2); v2 = (−2, 0, 7); v3 = (4, −5, 0)}.
(a) Kiểm tra xem hệ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
(b) Biểu diễn tuyến tính véc tơ x = (10, 6, −3) qua các véc tơ của hệ V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận  1 3 −3 C = 5 −1 −5   . 2 −2 −4
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P 1
− CP là ma trận chéo và viết ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A12 biết " √ # 3 − 1 A = 2 2 √ . 1 3 2 2
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 1
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. Ta có (a) 1 điểm  1 2 −3  1 −2 −3 A + 2AT = −2 3 −1 2 3 2 (0,5 điểm)   + 2   −3 2 4 −3 −1 4  3 −2 −9 = 2 9 3 (0,5 điểm)   −9 0 12 (b) Ta có  1 2 −3  1 2  AB = −2 3 −1 3 2 (0,25 điểm)   ·   −3 2 4 −1 −2  10 12  = 8 4 (0,75 điểm)   −1 −10 Câu 2 (2,0 điểm)
Cách 1: Giải theo công thức Cramer:
- Sinh viên xác định được ma trận hệ số: (0.25 đ)  1 −2 3  A = 1 2 −1   . 2 1 −3
- Sinh viên xác định được định thức của A: (0.25 đ) det(A) = −16 6= 0.
- Sinh viên viết và tính định thức của A : (0.25 đ) 1  1 −2 3  A1 = 1 2 −1   , det(A1) = −8 0 1 −3
- Sinh viên tính được nghiệm x: (0.25 đ) det(A 1 x = 1) = . det(A) 2
- Sinh viên viết và tính định thức của A : (0.25 đ) 2  1 1 3  A2 = 1 1 −1 −   , det(A2) = 8 2 0 −3
- Sinh viên tính được nghiệm y: (0.25 đ) det(A 1 y = 2) = . det(A) 2 3
- Sinh viên viết và tính định thức của A : (0.25 đ) 3  1 −2 1  A3 = 1 2 1 −   , det(A3) = 8 2 1 0
- Sinh viên tính được nghiệm z: (0.25 đ) det(A 1 z = 3) = . det(A) 2
Cách 2: Giải theo phương pháp khử Gauss:
- Viết được mở trận mở rộng (bổ sung) ¯ A: (0.25 đ)  1 −2 3 1  ¯ A = 1 2 −1 1   . 2 1 −3 0 - Bước 1: H1 - H2: (0.25 đ)  1 −2 3 1  0 −4 4 0   . 2 1 −3 0 - Bước 2: 2H1 - H3: (0.25 đ)  1 −2 3 1  0 −4 4 0   . 0 −5 9 2 - Bước 3: 5*H2 - 4*H3: (0.25 đ)  1 −2 3 1  0 −4 4 0   . 0 0 −16 −8
- Viết lại được hệ phương trình mới: (0.25 đ)
- Tính được z từ hàng cuối: (0.25 đ) 1 −16z = −8 → z = . 2
- Tính được y từ hàng hai: (0.25 đ) 1 −4y + 4z = 0 → y = z = . 2 - Tính được x: (0.25 đ) 1 x − 2y + 3z = 1 → x = . 2
Cách 3: Giải theo phương pháp Gauss-Jordan: Từ phương pháp khử Gauss thêm 3 bước
biến đổi nữa để đưa A về ma trận đơn vị, mỗi bước 0,25 điểm. Câu 3. 4 a) (1,0 điểm): Xét ma trận:  3 4 2 A = −2 0 7 (0,25 điểm)   4 −5 0  3 4 2  → 0 8 25 (0,25 điểm)   0 −31 −8  3 4 2  → 0 8 25 (0,25 điểm)   0 0 237
Suy ra r(A) = 3 ⇒ nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Cách 2: Tính định thức của ma trận các véc tơ hàng (hoặc cột): det(A) = 237 6= 0 (0.75 đ)
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ) b) (1,0 điểm): Giả sử x = k , 1v1 + k2v2 + k3v3 k1, k2, k3 ∈ R (0.25 đ) 3k1 − 2k2 + 4k3 = 10 4k (0.25 đ) 1 − 5k3 = 6 2k1 + 7k2 = −3 k1 = 448  237 ⇔ k 241 (0.25 đ) 2 = −237 k3 = 106 237 Kết luận x = 448v 241 v v . (0.25 đ) 237 1 + − 237 2 + 106 237 3 Câu 4. a) (1,0 điểm): + Đa thức đặc trưng
|C − λI3| = −λ3 − 4λ2 + 20λ + 48. (0,5 điểm)
+ Giá trị riêng λ1 = −2; λ2 = 4 và λ3 = −6 (0,5 điểm) b) (1,0 điểm):
+ Với λ1 = −2, véc tơ riêng u1 = k(1, 0, 1) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 = 4, véc tơ riêng u2 = k(1, 1, 0) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Với λ3 = −6, véc tơ riêng u3 = k(0, 1, 1) với k 6= 0. (0,25 điểm)
+ Ma trận P và ma trận chéo cần tìm là 1 1 0 −2 0 0  P = 0 1 1 1 0 4 0   , P − C P =   . (0,25 điểm) 1 0 1 0 0 −6 Câu 5. Viết được:  cos π/6 − sin π/6  A = . (0.5 đ) sin π/6 cos π/6 5 Tính được:  cos 2π − sin 2π  A12 = . (1.0 đ) sin 2π cos 2π Kết quả  1 0  A12 = . (0.5 đ) 0 1
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên. Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV. Bộ môn Toán
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 2
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hai ma trận A và B: 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 . A = , B = 2 1 2 1 2 1
(a) Hãy xác định ma trận C sao cho A + C = B. (b) Tính D = AB.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: −2x + y − z = 2 x − 2y + z = 2 −x + y − 2z = 2.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong không gian R3 cho hệ véc tơ:
V = {v1 =(4, −2, 3); v2 =(0, 3, −5); v3 =(6, −2, 0)}.
(a) Kiểm tra xem hệ véc tơ trên là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?
(b) Biểu diễn tuyến tính véc tơ x =(7, 9, −2)qua các véc tơ của hệ V .
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận 3 1 −1 −1 5 1 C = . −2 2 4
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P −1CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Tìm A20 biết √ − 1 " 2 √ 1 1 2 # 1 √ A = 2 . √
———————————————— 2
—————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 2
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A = , B = . Câu 1. 2 1 2 1 2 1 (a) 1 điểm A + C = B ⇒ C = B − A (0,25 điểm) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 (0,25 điểm) C = − 1−1 2 1 1 −1 2 1 2 1 −1 1 . (0,5 điểm) C = −1 1 −1 (b) 1 điểm 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 . (0,25 điểm) D = AB = 26 1 9 2 6 1 2 1 6 6 6 . (0,75 điểm) = 6 9 6
Câu 2. Ma trận hệ số và véc tơ cột vế phải: (0,25 điểm) −2 1 −1 2 1 −2 1 2 . A = , b = −1 1 −2 2
+ det(A)=−4 6=0 nên hệ đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm) 2 1 −1 2 −2 1 =6 (0,25 điểm) + det(A1)= 2−2 12 − − 21 1 2 1 =10 (0,25 điểm) + det(A2)= − −12 2 − 1 2 2 1 −2 2 =6 (0,25 điểm) + det(A3)= + Hệ đã cho −1có 1 nghi 2 ệm duy nhất det(A 3 det(A 5 det(A 3 x = 1) = − ; y = 2) = − ; z = 3) = − (0,5 điểm) det(A) 2 det(A) 2 det(A) 2 3 Câu 3. a) (1,0 điểm): Xét ma trận: 4 −2 3 0 3 −5 (0,25 điểm) A = 64 −2 0 3 0 3 −5 (0,25 điểm) → 04 2 −2 −93 0 3 −5 (0,25 điểm) → 0 0 −17
Suy ra r(A)=3⇒ nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Cách 2: Tính định thức của ma trận các véc tơ hàng (hoặc cột): det(A)=−346=0 (0.75 đ)
Suy ra r(A)=3⇒ và do đó r(V )=3 nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ) b) (1,0 điểm):
Giả sử x = k1v1 + k2v2 + k3v3, k1, k2, k3 ∈ R (0.25 đ) 4k1 + 6k3 = 7 −2k1 + 3k2 − 2k3 = 9 . (0.25 đ) 3k1 − 5k2 = −2 k1 = 152/17 k2 = 98/17 (0.25 đ) k ⇔ 3 = −163/17 Kết luận x = −152 v v v 17 1 + 9817 2 − 163 17 3. (0.25 đ) Câu 4. (a) (1,0 điểm): + Đa thức đặc trưng |C − λI 3 2 3| = −λ +12λ − 44λ +48 (0,75 điểm)
+ Giá trị riêng λ1 =2; λ2 =4 và λ3 =6 (0,25 điểm) b) (1,0 điểm):
+ Với λ1 =2, véc tơ riêng u1 = k(1, 0, 1)với k 6=0. (0,25 điểm)
+ Với λ2 =4, véc tơ riêng u2 = k(1, 1, 0)với k 6=0. (0,25 điểm)
+ Với λ3 =6, véc tơ riêng u3 = k(0, 1, 1)với k 6=0. (0,25 điểm)
+ Ma trận P và ma trận chéo cần tìm là 1 1 0 2 0 0 0 1 1 0 4 0 . (0,25 điểm) P = , P −1CP = 1 0 1 0 0 6 Câu 5. Viết được: cosπ/4 − sinπ/4 A = . (0.5 đ) sinπ/4 cosπ/4 4 Tính được: cos5π − sin5π A20 = . (1.0 đ) sin5π cos5π Kết quả −1 0 A20 = . (0.5 đ) 0 −1
Chú ý: nếu chéo hoá rồi tính, các bước và điểm tương tự cho như trên. Trưởng bộ môn/khoa Giảng viên ra đề TS. Phan Quang Sáng GV. Bộ môn Toán
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHENIKAA ĐỀ THI HỌC PHẦN KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
Học kỳ 1, Năm học 2020–2021 (Đợt học...) BỘ MÔN TOÁN
Hệ đào tạo: Chính quy, Bậc học: Đại học
Tên học phần: Đại số tuyến tính. Số TC: 03
Thi ngày........tháng........năm 20......
Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) Đề số 3
Câu 1 (2,0 điểm). Cho các ma trận sau: 2 5 −7 4 −3 4 −6 A = , B = 1 −3 . 5 7 3
Tính các ma trận AT + 2B và BA, trong đó AT là ma trận chuyển vị của A.
Câu 2 (2,0 điểm). Giải hệ phương trình sau: 4x + 3y + z = 2 −5x + 2y + 8z = −3 x + 3y + 5z = 7.
Câu 3 (2,0 điểm). Trong trong không gian véc tơ R3 cho hệ véc tơ
S = {v1 = (0, 1, 1); v2 = (1, 0, 1); v3 = (1, 1, 0)}.
(a) Chứng minh hệ S độc lập tuyến tính. Từ đó suy ra rằng S là một cơ sở của R3.
(b) Tìm tọa độ của véc tơ u = (1, 2, 1) trong cơ sở S.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho ma trận −2 1 −1 1 −2 1 C = −11 1 −2 .
(a) Tìm các giá trị riêng của C.
(b) Tìm ma trận P sao cho P −1CP là ma trận chéo và đưa ra ma trận chéo đó?
Câu 5 (2,0 điểm). Cho hai ma trận vuông, thực A và B thoả mãn các điều kiện sau: A2021 = 0 và AB = A + B.
Chứng minh rằng det(B) = 0.
—————————————————————————————— Ghi chú:
- Sinh viên không được sử dụng tài liệu;
- Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Đáp án Đề số 3
SV giải đúng bằng cách khác vẫn được điểm tối đa. Câu 1. −3 5 4 10 4 7 −14 8 AT + 2B = −6 3 + 2 −6 (0,5 điểm) 1 15 −10 15 = −4 −3 (0,5 điểm) 2 5 −7 4 3 4 6 BA = 1 −3 − − (0,25 điểm) 5 7 3 19 43 3 41 0 54 = −18 −17 −15 (0,75 điểm)
Câu 2. Ma trận hệ số và véc tơ cột vế phải: (0,25 điểm) 4 3 1 2 −5 2 8 −3 A = 1 3 5 , b = 7 .
+ det(A) = 26 6= 0 nên hệ đã cho là hệ Crammer. (0,5 điểm) 2 3 1 −3 2 8 = 162 (0,25 điểm) + det(A 7 3 5 1) = 4 2 1 −5 −3 8 = −250 (0,25 điểm) + det(A 1 7 5 2) = 4 3 1 −5 2 −3 = 154 (0,25 điểm) + det(A 1 3 7 3) =
+ Hệ đã cho có nghiệm duy nhất det(A 81 det(A −125 det(A3) 77 x = 1) = ; y = 2) = ; z = = (0,5 điểm) ∆ 13 ∆ 13 ∆ 13 Câu 3. a) (1,0 điểm):
Cách 1: Tính định thức của ma trận các véc tơ cột (hoặc hàng): 0 1 1 1 0 1= 2 6= 0 (0,5 điểm) det(A) = 1 1 0
Suy ra r(A) = 3 ⇒ và do đó r(V ) = 3 nên hệ véc tơ là độc lập tuyến tính. (0.25 đ)
Số chiều của R3. bằng 3, và V gồm 3 véc tơ ĐLTT nên V là một cơ sở của R3. (0.25 đ) 3