Phương pháp giải toán 9 quy về phương trình bậc hai (có đáp án và lời giải chi tiết)

Tổng hợp Phương pháp giải toán 9 quy về phương trình bậc hai (có đáp án và lời giải chi tiết) rất hay và bổ ích giúp bạn đạt điểm cao. Các bạn tham khảo và ôn tập để chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi tốt nghiệp sắp đến nhé. Mời bạn đọc đón xem.

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

46 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Minh Thư
Trang 1
Bài 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng
42
0( 0).ax bx c a
Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn
phụ.
Bước 1. Đặt
2
( 0)t x t
;
Bước 2. Giải phương trình bậc hai
2
0at bt c
và tìm nghiệm của phương trình trùng
phương.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng
12
12
()
( ) ( )
0.
( ) ( ) ( )
n
n
fx
f x f x
g x g x g x
Cách giải:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;
Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Phương trình tích là phương trình có dạng
12
( ) ( ) ( ) 0.
n
f x f x f x
Cách giải:
1
2
12
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0.
n
n
fx
fx
f x f x f x
fx
Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc
đưa về dạng phương trình tích.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương
Bước 1: Đặt
.
Bước 2: Giải phương trình bậc hai
2
0at bt c+ + =
.
Bước 3: Với mỗi
0t ³
, giải phương trình
2
xt=
.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
a)
42
2 1 0xx
; ĐS:
1S 
.
b)
42
4 3 1 0xx
; ĐS:
1
2
S




.
c)
42
3 10 3 0xx
; ĐS:
S 
.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
. ĐS:
0;2;1 3S 
.
Trang 2
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
a)
42
2 1 0xx
; ĐS:
S 
.
b)
42
2 6 8 0xx
; ĐS:
2S 
.
c)
42
3 10 7 0xx
; ĐS:
7
1;
3
S





.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
. ĐS:
0; 2; 1 3S
.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a)
42
12xx
; ĐS:
1S 
.
b)
42
23xx
; ĐS:
3S 
.
c)
4 2 2
2 3 4 5x x x
; ĐS:
5
1;
2
S





.
d)
42
( 1) 4( 1) 3xx
. ĐS:
0;2;1 3S
.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a)
4 2 2
31x x x
; ĐS:
S 
.
b)
42
34xx
; ĐS:
2S 
.
c)
4 2 2
3 5 5 7x x x
; ĐS:
7
1;
3
S





.
d)
42
( 1) 4( 1) 3xx
. ĐS:
2;0; 1 3S
.
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
a)
42
0,1 0,2 0,1 0xx
; ĐS:
S 
.
b)
42
6,3 7,3 0xx
; ĐS:
7,3S 
.
c)
42
3 4,1 1,1 0xx
; ĐS:
11
1;
30
S





.
d)
2
2
7
8x
x

. ĐS:
1; 7S
.
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
Trang 3
a)
42
0,1 0,2 0,1 0xx
; ĐS:
0,1S 
.
b)
42
6,9 7,9 0xx
; ĐS:
1S 
.
c)
42
3,3 4,4 1,1 0xx
; ĐS:
S 
.
d)
2
2
6
5x
x

. ĐS:
1; 6S
.
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
a)
2
22
11
x x x
xx

; ĐS:
0;4S
.
b)
3 14
1
21
x
xx


; ĐS:
9
3;
2
S



.
c)
2
31
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
. ĐS:
S 
.
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
a)
2
43
11
x x x
xx

; ĐS:
1;0S 
.
b)
4 16
1
21
x
xx


; ĐS:
3;5S
.
c)
2
3 9 14
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x

. ĐS:
7
2
S



.
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
a)
12
1
11xx


; ĐS:
0;3S
.
b)
27
4
12
x
xx


; ĐS:
S 
.
c)
2
2 8 1
( 2)( 3) 3
xx
x x x

; ĐS:
S 
.
d)
2 1 2 3
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x x x

. ĐS:
3;1S 
.
Trang 4
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau:
a)
14
1
21xx


; ĐS:
1;5S
.
b)
1
3
2 1 2
x
xx


; ĐS:
11 21
10
S





.
c)
2
11
( 2)( 3) 3
xx
x x x

; ĐS:
1S
.
d)
14
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x

. ĐS:
3;1S 
.
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
3 4 2 2 3
11
x x x x x
x x x
; ĐS:
1;2S 
.
b)
2
4 3 2
3 4 1
11
xx
x x x x

. ĐS:
3S 
.
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
; ĐS:
1
3
S




.
b)
22
4 3 2
2
11
x x x
x x x x

. ĐS:
2S
.
Dạng 3: Giải phương trình tích
Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng
11
( ) ( ) ( ) 0
n
f x f x f x×=L
.
Bước 2: Giải phương trình
1
2
12
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
n
n
fx
fx
f x f x f x
fx
é
=
ê
ê
=
ê
× = Û
ê
ê
ê
=
ê
ë
L
M
.
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a)
( 1)( 2)( 3) 0x x x
; ĐS:
1;2;3S
.
b)
32
6 11 6 0x x x
; ĐS:
1;2;3S
.
c)
32
3 3 1 0x x x
; ĐS:
1S
.
d)
32
3 2 6 0x x x
. ĐS:
3; 2S
.
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau:
Trang 5
a)
( 1)( 4) 0x x x
; ĐS:
0;1;4S
.
b)
32
10x x x
; ĐS:
1S
.
c)
32
5 4 0x x x
; ĐS:
0;1;4S
.
d)
32
3 2 6 0x x x
. ĐS:
3S
.
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau:
a)
22
( 4)( 3 ) 0x x x x
; ĐS:
0;3S
.
b)
2 2 2
( 2) (2 2) 0x x x
; ĐS:
0;3S
.
c)
2 2 2
( 4 ) 4( 4 )x x x x
; ĐS:
0;4;2 2 2S 
.
d)
2 2 3
( 3) 5 15 0x x x
; ĐS:
5 37
3;
2
S






.
e)
3
( 2) 1 ( 1)( 1)x x x x
. ĐS:
2S 
.
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau:
a)
22
( 2 1)( 4 ) 0x x x x
; ĐS:
0;1;4S
.
b)
2 2 2
( 1) 4 0xx
; ĐS:
1S 
.
c)
2 2 2
( 5 ) 6( 5 )x x x x
; ĐS:
6; 5;0;1S
.
d)
2 2 3
(2 3) 10 15 0x x x
; ĐS:
3
1;
2
S



.
e)
3
( 1) 1 ( 1)( 2)x x x x
. ĐS:
0S
.
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).
Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được.
Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và kết luận.
Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì có thể không cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau
khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau:
a)
2
( 1) 3( 1) 2 0xx
; ĐS:
2;3S
.
b)
2 2 2
( 2 3) 5( 2 3) 6 0x x x x
; ĐS:
0;1;2S
.
Trang 6
c)
2 2 2
(2 2) 10 5 16 0x x x x
; ĐS:
3
;1
2
S




.
d)
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
; ĐS:
0;2;1 3S 
.
e)
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x
; ĐS:
3; 2;0;1S
.
f)
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx

; ĐS:
2S 
.
g)
31
3 10 0
1
xx
xx
. ĐS:
13
;
44
S



.
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau:
a)
2
( 2) 3( 2) 2 0xx
; ĐS:
1;0S 
.
b)
2 2 2
( 2 ) 5( 2 ) 6 0x x x x
; ĐS:
1 2;1 7S
.
c)
2 2 2
( 2) 2 2 4 0x x x x
; ĐS:
2; 1;0;1S
.
d)
42
(2 1) 4(2 1) 3 0xx
; ĐS:
13
1;0;
2
S







.
e)
22
( 1)( 1) 3x x x x
; ĐS:
2;1S 
.
f)
2
2
20
( 1) 1
xx
xx

; ĐS:
2
3
S




.
g)
21
2 5 0
1
xx
xx
. ĐS:
21
;
33
S



.
Ví dụ 19. Giải các phương trình sau:
a)
22x x x
; ĐS:
1;4S
.
b)
2 3 7 0xx
. ĐS:
4S
.
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau:
a)
26x x x
; ĐS:
4S
.
b)
1 7 0xx
. ĐS:
10S
.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau:
Trang 7
a)
42
20xx
; ĐS:
2S 
.
b)
42
3 2 0xx
; ĐS:
1; 2S
.
c)
42
2 5 2 0xx
; ĐS:
1
2;
2
S



.
d)
42
( 2) 6( 2) 5 0xx
. ĐS:
1; 3; 2 5S
.
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a)
4 2 2
31x x x
; ĐS:
1S 
.
b)
42
2xx
; ĐS:
1S 
.
c)
4 2 2
46x x x
; ĐS:
1; 6S
.
d)
42
( 2) 3( 2) 2xx
. ĐS:
1; 2S
.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)
42
0,1 0,8 0,7 0xx
; ĐS:
1; 7S
.
b)
42
3 4,4 1,4 0xx
; ĐS:
S 
.
c)
42
3,3 4,3 0xx
; ĐS:
1S 
.
d)
2
2
1
2x
x

. ĐS:
1S 
.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a)
2
42
2 1 2 1
x x x
xx

; ĐS:
2;0S 
.
b)
13
2
21
x
xx


; ĐS:
5
1;
4
S



.
c)
2
2 3 4
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x

. ĐS:
2S 
.
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)
13
1
31xx


; ĐS:
7S 
.
b)
21
3
2 1 2
x
xx


; ĐS:
5
1;
4
S



.
Trang 8
c)
2
11
( 2)( 5) 5
xx
x x x

; ĐS:
1;3S 
.
d)
1 1 3 4
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x


. ĐS:
3 37
2
S





.
Bài 6. Giải các phương trình sau:
a)
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
; ĐS:
1S 
.
b)
2
4 3 2
21
11
xx
x x x x

; ĐS:
S 
.
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a)
( 3)( 5) 0x x x
; ĐS:
0;3;5S
.
b)
32
8 15 0x x x
; ĐS:
0;3;5S
.
c)
32
6 12 8 0x x x
; ĐS:
2S
.
d)
32
4 3 2 0x x x
. ĐS:
5 17
1;
2
S






.
Bài 8. Giải các phương trình sau:
a)
22
( )( 3 ) 0x x x x
; ĐS:
0;1;3S
.
b)
2 2 2
( 2 ) ( 2) 0x x x
; ĐS:
3 17
2
S





.
c)
2 2 2
( 2 ) 3( 2 )x x x x
; ĐS:
1;0;2;3S 
.
d)
2 2 3
( 1) 5 5 0x x x
; ĐS:
5 21
2
S





.
e)
3
( 1) 1 ( 1)(2 1)x x x x
. ĐS:
1S 
.
Bài 9. Giải các phương trình sau:
a)
2
(3 1) 3(3 1) 2 0xx
; ĐS:
1
0;
3
S



.
b)
2 2 2
( ) 5( ) 6 0x x x x
; ĐS:
S 
.
Trang 9
c)
2 2 2
( ) 2 2 3 0x x x x
; ĐS:
15
2
S






.
d)
42
( 4) 7( 4) 6 0xx
; ĐS:
5; 3; 4 6S
.
e)
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x
; ĐS:
2;0S 
.
f)
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx

; ĐS:
2S 
.
g)
21
20
12
xx
xx
; ĐS:
1S
.
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a)
2 2 3x x x
; ĐS:
1;9S
.
b)
2 2 2 0xx
. ĐS:
2;6S
.
Trang 10
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
2 1 0xx
; Đáp số
1S 
b).
42
4 3 1 0xx
; Đáp số
1
2
S




c).
42
3 10 3 0xx
; Đáp số
S 
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
. Đáp số
0;2;1 3S 
Lời giải.
a).
42
2 1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
2
2 1 0
( 1) 0
1(th?a di?u ki?n).
tt
t
t

•
Với
2
1 1 1t x x
.
Vậy
1S 
.
b).
42
4 3 1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
4 3 1 0
1
(th?a dk).
4
t
tt
t

•
Với
2
1 1 1
4 4 2
t x x
.
Vậy
1
2
S




.
c).
42
3 10 3 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
Trang 11
2
1
(không th?a dk)
3 10 3 0
3
3(không th?a dk).
t
tt
t


Vậy
S 
.
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
.
Đặt
2
( 1)tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
•
Với
2
11
[ ] 1 ( 1) 1
11
2
0.
x
t t x
x
x
x

•
Với
2
13
[ ] 3 ( 1) 3
13
13
1 3.
x
t t x
x
x
x



Vậy
0;2;1 3;1 3S
.
Ví dụ 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
2 1 0xx
; Đáp số
S 
b).
42
2 6 8 0xx
; Đáp số
2S 
c).
42
3 10 7 0xx
; Đáp số
7
1;
3
S





d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
. Đáp số
0; 2; 1 3S
Lời giải.
a).
42
2 1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
2 1 0 ( 1) 0 1t t t t
(không thỏa đk).
Vậy
S 
.
Trang 12
b).
42
2 6 8 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
2 6 8 0
4(th?a dk)
t
tt
t

.
•
Với
2
4 4 2t x x
.
Vậy
2S 
.
c).
42
3 10 7 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 10 7 0
7
(th?a dk)
3
t
tt
t
.
•
Với
2
1 1 1t x x
.
•
Với
2
7 7 7
3 3 3
t x x
.
Vậy
7
1;
3
S





.
d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
.
Đặt
2
( 1)tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk)
t
tt
t
.
•
Với
2
1 1 0
1 ( 1) 1
1 1 2.
xx
tx
xx



.
•
Với
2
1 3 3 1
3 ( 1) 3
1 3 3 1.
xx
tx
xx




Vậy
0; 2; 3 1; 3 1S
.
Ví dụ 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
12xx
; Đáp số
1S 
Trang 13
b).
42
23xx
; Đáp số
3S 
c).
4 2 2
2 3 4 5x x x
; Đáp số
5
1;
2
S





d).
42
( 1) 4( 1) 3xx
. Đáp số
0;2;1 3S
Lời giải.
a).
42
12xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2 2 2
1 2 2 1 0 ( 1) 0 1t t t t t t
(thỏa đk).
•
Với
2
1 1 1t x x
.
Vậy
1S 
.
b).
42
23xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(không th?a dk)
2 3 2 3 0
3(th?a dk).
t
t t t t
t

•
Với
2
3 3 3t x x
.
Vậy
3S 
.
c).
4 2 2 4 2
2 3 4 5 2 7 5 0x x x x x
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
2 7 5 0
5
(th?a dk).
2
t
tt
t
•
Với
2
1 1 1t x x
.
•
Với
2
5 5 5
2 2 2
t x x
.
Vậy
5
1;
2
S





.
d).
42
( 1) 4( 1) 3xx
.
Trang 14
Đặt
2
( 1)tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(th?a dk)
4 3 4 3 0
3(th?a dk).
t
t t t t
t
•
Với
2
1 ( 1) 1 0, 2t x x x
.
•
Với
2
3 ( 1) 3 1 3t x x
.
Vậy
0;2;1 3S
.
Ví dụ 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
4 2 2
31x x x
; Đáp số
S 
b).
42
34xx
; Đáp số
2S 
c).
4 2 2
3 5 5 7x x x
; Đáp số
7
1;
3
S





d).
42
( 1) 4( 1) 3xx
. Đáp số
2;0; 1 3S
Lời giải.
a).
4 2 2 4 2
3 1 2 1 0x x x x x
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
2 1 0 ( 1) 0 1t t t t
(không thỏa đk).
Vậy
S 
.
b).
42
34xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
22
1(không th?a dk)
3 4 0
4(th?a dk).
t
tt
t

•
Với
2
4 4 2t x x
.
Vậy
2S 
.
c).
4 2 2 4 2
3 5 5 7 3 10 7 0x x x x x
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
Trang 15
2
1(th?a dk)
3 10 7 0
7
(th?a dk).
3
t
tt
t
•
Với
2
1 1 1t x x
.
•
Với
2
7 7 7
3 3 3
t x x
.
Vậy
7
1;
3
S





.
d).
42
( 1) 4( 1) 3xx
.
Đặt
2
( 1)tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
•
Với
2
1 1 0
1 ( 1) 1
1 1 2
xx
tx
xx



.
•
Với
2
1 3 1 3
3 ( 1) 3
1 3 1 3.
xx
tx
xx




Vậy
2;0; 1 3S
.
Ví dụ 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx
; Đáp số
S 
b).
42
6,3 7,3 0xx
; Đáp số
7,3S 
c).
42
3 4,1 1,1 0xx
; Đáp số
11
1;
30
S





d).
2
2
7
8x
x

. Đáp số
1; 7S
Lời giải.
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0,1 0,2 0,1 0 1t t t
(không thỏa đk).
Trang 16
Vậy
S 
.
b).
42
6,3 7,3 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
6,3 7,3 0
7,3(th?a dk).
t
tt
t

•
Với
2
7,3 7,3 7,3t x x
.
Vậy
7,3S 
.
c).
42
3 4,1 1,1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 4,1 1,1 0
11
(th?a dk).
30
t
tt
t
•
Với
2
1 1 1t x x
.
•
Với
2
11 11 11
30 30 30
t x x
.
Vậy
11
1;
30
S





.
d).
2
2
7
8x
x

.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0
0
1 (th?a dk)
7
8
1
7(th?a dk).
8 7 0
7
t
t
t
t
t
t
t
tt
t

•
Với
2
1 1 1t x x
.
•
Với
2
7 7 7t x x
.
Vậy
1; 7S
.
Ví dụ 6. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx
; Đáp số
0,1S 
Trang 17
b).
42
6,9 7,9 0xx
; Đáp số
1S 
c).
42
3,3 4,4 1,1 0xx
; Đáp số
S 
d).
2
2
6
5x
x

. Đáp số
1; 6S
Lời giải.
a).
42
0,1 0,2 0,1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0,1 0,2 0,1 0 0,1t t t
(thỏa đk).
•
Với
2
0,1 0,1 0,1t x x
.
Vậy
0,1S 
.
b).
42
6,9 7,9 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
6,9 7,9 0
7,9(không th?a dk).
t
tt
t

•
Với
2
1 1 1t x x
.
Vậy
1S 
.
c).
42
3,3 4,4 1,1 0xx
.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
3,3 4,4 1,1 0
1
(không th?a dk).
3
t
tt
t


Vậy
S 
.
d).
2
2
6
5x
x

.
Đặt
2
tx
( 0)t
. Phương trình trở thành
2
0
0
1(th?a dk)
6
5
1
6(th?a dk).
5 6 0
6
t
t
t
t
t
t
t
tt
t

•
Với
2
1 1 1t x x
.
Trang 18
•
Với
2
6 6 6t x x
.
Vậy
1; 6S
.
Ví dụ 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
22
11
x x x
xx

; Đáp số
0;4S
b).
3 14
1
21
x
xx


; Đáp số
9
3;
2
S



c).
2
31
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
. Đáp số
S 
Lời giải.
a).
2
22
(1)
11
x x x
xx

.
•
Điều kiện
1x 
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
22
[ ] 2 2 4 0
0(th?a dk)
( 4) 0
4(th?a dk).
t x x x x x
x
xx
x
•
Vậy
0;4S
.
b).
3 14
1 (1)
21
x
xx


.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
( 3)( 1) ( 1)( 2) 14( 2)
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x
t
x x x x
( 3)( 1) ( 1)( 2) 14( 2)x x x x x
2
2 15 27 0xx
9
3(th?a dk) (th?a dk).
2
xx
•
Vậy
9
3;
2
S



.
Trang 19
c).
2
31
(1)
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x
.
•
Điều kiện
1, 3xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
2
( 3) 3 1
[]
( 1)( 3) ( 1)( 3)
( 3) 3 1
2 1 0(vô nghi?m).
x x x x
t
x x x x
x x x x
x
•
Vậy
S 
.
Ví dụ 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
43
11
x x x
xx

; Đáp số
1;0S 
b).
4 16
1
21
x
xx


; Đáp số
3;5S
c).
2
3 9 14
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x

. Đáp số
7
2
S



Lời giải.
a).
2
43
(1)
11
x x x
xx

.
•
Điều kiện
1x
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
22
[ ] 4 3 0
0(th?a dk)
( 1) 0
1(th?a dk).
t x x x x x
x
xx
x

•
Vậy
1;0S 
.
b).
4 16
1 (1)
21
x
xx


.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
Trang 20
2
( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2)
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
( 4)( 1) ( 1)( 2) 16( 2)
3(th?a dk)
2 16 30 0
5(th?a dk).
x x x x x
t
x x x x
x x x x x
x
xx
x
•
Vậy
3;5S
.
c).
2
3 9 14
(1)
1 ( 1)( 2)
x x x
x x x

.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
2
3 ( 2) 9 14
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
3 ( 2) 9 14
7
(th?a dk)
2 3 14 0
2
2(không th?a dk).
x x x x
t
x x x x
x x x x
x
xx
x

•
Vậy
7
2
S



.
Ví dụ 9. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
12
1
11xx


; Đáp số
0;3S
b).
27
4
12
x
xx


; Đáp số
S 
c).
2
2 8 1
( 2)( 3) 3
xx
x x x

; Đáp số
S 
d).
2 1 2 3
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x x x

. Đáp số
3;1S 
Lời giải.
a).
12
1 (1)
11xx


.
•
Điều kiện
1x 
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
Trang 21
22
( 1) 2( 1) ( 1)( 1)
[]
( 1)( 1) ( 1)( 1)
3 1 1 3 0
0(th?a dk)
( 3) 0
3(th?a dk).
x x x x
t
x x x x
x x x x
x
xx
x
•
Vậy
0;3S
.
b).
27
4 (1)
12
x
xx


.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình tương đương với
2
2 (2 ) 7( 1) 4( 1)(2 )
[]
( 1)(2 ) ( 1)(2 )
2 1 0(Vô nghi?m vì 0)
x x x x x
t
x x x x
xx
•
Vậy
S 
.
c).
2
2 8 1
(1)
( 2)( 3) 3
xx
x x x

.
•
Điều kiện
3, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
2 8 ( 2)
[]
( 2)( 3) ( 2)( 3)
2(không th?a dk)
60
3(không th?a dk).
x x x
t
x x x x
x
xx
x

•
Vậy
S 
.
d).
2 1 2 3
(1)
1 3 ( 1)( 3)
xx
x x x x

.
•
Điều kiện
1, 3xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2 ( 3) ( 1) (2 3)
[]
( 1)( 3) ( 1)( 3)
7 65
(th?a dk)
4
2 7 2 0
7 65
(th?a dk).
4
x x x x
t
x x x x
x
xx
x
•
Vậy
7 65
4
S





.
Ví dụ 10. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
14
1
21xx


; Đáp số
1;5S
Trang 22
b).
1
3
2 1 2
x
xx


; Đáp số
11 21
10
S





c).
2
11
( 2)( 3) 3
xx
x x x

; Đáp số
1S
d).
14
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x

. Đáp số
3;1S 
Lời giải.
a).
14
1 (1)
21xx


.
•
Điều kiện
1, 2xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
1 4( 2) ( 2)( 1)
[]
( 2)( 1) ( 2)( 1)
1(th?a dk)
6 5 0
5(th?a dk).
x x x x
t
x x x x
x
xx
x
•
Vậy
1;5S
.
b).
1
3 (1)
2 1 2
x
xx


.
•
Điều kiện
1
,2
2
xx
.
•
Phương trình tương đương với
2
(2 ) (2 1) 3(2 )(2 1)
[]
(2 )(2 1) (2 )(2 1)
11 21
(th?a dk)
10
5 11 5 0
11 21
(th?a dk).
10
x x x x x
t
x x x x
x
xx
x
•
Vậy
11 21
10
S





.
c).
1
3 (1)
2 1 2
x
xx


.
•
Điều kiện
2, 3xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
12
[]
( 2)( 3) ( 2)( 3)
2 1 1(th?a dk).
x x x
t
x x x x
x x x
•
Vậy
1S
.
Trang 23
d).
14
(1)
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x

.
•
Điều kiện
2, 1xx
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
( 2) ( 1) 4
[]
( 1)( 2) ( 1)( 2)
1(th?a dk)
2 3 0
3(th?a dk).
x x x x
t
x x x x
x
xx
x

•
Vậy
3;1S 
.
Ví dụ 11. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
3 2 2
32
3 4 2 2 3
11
x x x x x
x x x
; Đáp số
1;2S 
b).
2
4 3 2
3 4 1
11
xx
x x x x

. Đáp số
3S 
Lời giải.
a).
3 2 2
32
3 2 2
22
3 4 2 2 3
[]
11
3 4 2 2 3
(1).
( 1)( 1) 1
x x x x x
t
x x x
x x x x x
x x x x x

•
Điều kiện
1x
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
3 2 2
22
3 4 2 (2 3 )( 1)
[]
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x x x
t
x x x x x x
32
2 2 0x x x
2
( 2) ( 2) 0x x x
2
( 2)( 1) 0xx
2
2 0 1 0xx
2(th?a dk) 1(th?a dk) 1(không th?a dk).x x x
•
Vậy
1;2S 
.
b).
22
4 3 2 2 2
3 4 1 3 4 1
(1)
1 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x x x x
.
Trang 24
•
Điều kiện
1x 
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
2
22
2
3 4 ( 1)
[]
( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
1(không th?a dk)
2 3 0
3(th?a dk).
x x x
t
x x x x x x
x
xx
x

•
Vậy
3S 
.
Ví dụ 12. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
; Đáp số
1
3
S




b).
22
4 3 2
2
11
x x x
x x x x

. Đáp số
2S
Lời giải.
a).
3 2 2
32
3 2 2
22
1
[]
11
1
(1).
( 1)( 1) 1
x x x x x
t
x x x
x x x x x
x x x x x

•
Điều kiện
1x
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
3 2 2
22
2
1 ( )( 1)
[]
( 1)( 1) ( 1)( 1)
1(không th?a dk)
3 2 1 0
1
(th?a dk).
3
x x x x x x
t
x x x x x x
x
xx
x

•
Vậy
1
3
S




.
b).
22
4 3 2
22
22
2
[]
11
2
( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x
t
x x x x
x x x
x x x x x



•
Điều kiện
1x 
.
•
Phương trình
(1)
tương đương với
22
22
2 ( 1)
[]
( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
x x x x
t
x x x x x x
32
2 2 0x x x
2
( 2) ( 2) 0x x x
Trang 25
2
( 2)( 1) 0xx
2(th?a dk) 1(không th?a dk) 1(không th?a dk).x x x
•
Vậy
2S
.
Ví dụ 13. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
( 1)( 2)( 3) 0x x x
; Đáp số
1;2;3S
b).
32
6 11 6 0x x x
; Đáp số
1;2;3S
c).
32
3 3 1 0x x x
; Đáp số
1S
d).
32
3 2 6 0x x x
. Đáp số
3; 2S
Lời giải.
a).
[ ] ( 1)( 2)( 3) 0
1 0 1
2 0 2
3 0 3.
t x x x
xx
xx
xx





Vậy
1;2;3S
.
b).
32
2
2
[ ] 6 11 6 0
( 1)( 5 6 0) 0
1
10
2
5 6 0
3.
t x x x
x x x
x
x
x
xx
x

Vậy
1;2;3S
.
c).
3 2 3
3 3 1 0 ( 1) 0 1x x x x x
Vậy
1S
.
d).
3 2 2 2
2
[ ] 3 2 6 0 ( 3) 2( 3) 0 ( 3)( 2) 0
3
30
20
2.
t x x x x x x x x
x
x
x
x





Vậy
3; 2S
Ví dụ 14. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
( 1)( 4) 0x x x
; Đáp số
0;1;4S
Trang 26
b).
32
10x x x
; Đáp số
1S
c).
32
5 4 0x x x
; Đáp số
0;1;4S
d).
32
3 2 6 0x x x
. Đáp số
3S
Lời giải.
a).
[ ] ( 1)( 4) 0
00
1 0 1
4 0 4.
t x x x
xx
xx
xx






Vậy
0;1;4S
.
b).
32
22
22
[ ] 1 0
( 1) ( 1) 0 ( 1)( 1) 0
1 0 1
1 0 1 0(vô nghi?m).
t x x x
x x x x x
xx
xx




Vậy
1S
.
c).
32
2
2
[ ] 5 4 0
( 5 4) 0
0
0
1
5 4 0
4.
t x x x
x x x
x
x
x
xx
x
Vậy
0;1;4S
.
d).
32
22
22
[ ] 3 2 6 0
( 3) 2( 3) 0 ( 3)( 2) 0
3 0 3
2 0 2 0(vô nghi?m).
t x x x
x x x x x
xx
xx




Vậy
3S
.
Ví dụ 15. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
22
( 4)( 3 ) 0x x x x
; Đáp số
0;3S
b).
2 2 2
( 2) (2 2) 0x x x
; Đáp số
0;3S
c).
2 2 2
( 4 ) 4( 4 )x x x x
; Đáp số
0;4;2 2 2S 
d).
2 2 3
( 3) 5 15 0x x x
; Đáp số
5 37
3;
2
S






e).
3
( 2) 1 ( 1)( 1)x x x x
. Đáp số
2S 
Lời giải.
Trang 27
a).
2
2
22
2
17
4 0 0
0(vô nghi?m)
[ ] ( 4)( 3 ) 0
24
3.
30
( 3) 0
x x x
x
t x x x x
x
xx
xx





Vậy
0;3S
.
b).
2 2 2
[ ]( 2) (2 2) 0t x x x
22
( 2) (2 2) ( 2) (2 2) 0x x x x x x
22
3 0 4 0x x x x
2
17
( 3) 0 0(vô nghi?m)
24
x x x



0 3.xx
Vậy
0;3S
.
c).
2 2 2
[ ]( 4 ) 4( 4 )t x x x x
222
( 4 ) 4( 4 ) 0x x x x
22
( 4 )( 4 4) 0x x x x
22
4 0 4 4 0x x x x
2
( 4) 0 4 4 0x x x x
0 4 2 2 2 2 2 2.x x x x
Vậy
0;4;2 2 2S 
.
d).
2 2 3 2 2 2 2 2
2
2
[ ] ( 3) 5 15 0 ( 3) 5 ( 3) 0 ( 3)( 5 3) 0
3
30
5 37
5 3 0
.
2
t x x x x x x x x x
x
x
xx
x



Vậy
5 37
3;
2
S






.
e).
3
[ ]( 2) 1 ( 1)( 1)t x x x x
3
( 2) ( 1) ( 1)( 1) 0x x x x
3
( 2) ( 1)( 2) 0x x x
2
( 2) ( 2) ( 1) 0x x x


2
( 2)( 3 5) 0x x x
Trang 28
2
2 0 3 5 0x x x
2.x
Vậy
2S 
.
Ví dụ 16. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
22
( 2 1)( 4 ) 0x x x x
; Đáp số
0;1;4S
b).
2 2 2
( 1) 4 0xx
; Đáp số
1S 
c).
2 2 2
( 5 ) 6( 5 )x x x x
; Đáp số
6; 5;0;1S
d).
2 2 3
(2 3) 10 15 0x x x
; Đáp số
3
1;
2
S



e).
3
( 1) 1 ( 1)( 2)x x x x
. Đáp số
0S
Lời giải.
a).
22
22
2
22
[ ] ( 2 1)( 4 ) 0
1
2 1 0 2 1 0
( 1) 0
0
( 4) 0
4 0 4 0
4.
t x x x x
x
x x x x
x
x
xx
x x x x
x






Vậy
0;1;4S
.
b).
2 2 2 2 2 2
22
22
22
[ ] ( 1) 4 0 ( 1) (2 ) 0
2 1 0 ( 1) 0 1
( 2 1)( 2 1) 0
1.
2 1 0 ( 1) 0
t x x x x
x x x x
x x x x
x
x x x





Vậy
1S 
.
c).
2 2 2
2 2 2 2 2
2
[ ] ( 5 ) 6( 5 )
0
( 5) 0
5
( 5 ) 6( 5 ) 0 ( 5 )( 5 6) 0
1
5 6 0
6.
t x x x x
x
xx
x
x x x x x x x x
x
xx
x



Vậy
6; 5;0;1S
.
d).
2 2 3
2 2 2 2 2
2
2
[ ] (2 3) 10 15 0
(2 3) 5 (2 3) 0 (2 3)(2 5 3) 0
1
2 3 0(vô nghi?m)
3
.
2 5 3 0
2
t x x x
x x x x x x
x
x
x
xx


Vậy
3
1;
2
S



.
Trang 29
e).
3
3 2 2
2
[ ] ( 1) 1 ( 1)( 2)
0
2 5 0 ( 2 5) 0
2 5 0(vô nghi?m).
t x x x x
x
x x x x x x
xx
Vậy
0S
.
Ví dụ 17. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
( 1) 3( 1) 2 0xx
; Đáp số
2;3S
b).
2 2 2
( 2 3) 5( 2 3) 6 0x x x x
; Đáp số
0;1;2S
c).
2 2 2
(2 2) 10 5 16 0x x x x
; Đáp số
3
;1
2
S




d).
42
( 1) 4( 1) 3 0xx
; Đáp số
0;2;1 3S 
e).
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x
; Đáp số
3; 2;0;1S
f).
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx

; Đáp số
2S 
g).
31
3 10 0
1
xx
xx
. Đáp số
13
;
44
S



Lời giải.
a).
2
( 1) 3( 1) 2 0 (1)xx
.
Đặt
1tx
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
3 2 0
2.
t
tt
t
b). Với
1t
thì
1 1 2xx
.
c). Với
2t
thì
1 2 3xx
.
Vậy
2;3S
.
d).
22
( 2 3) 5( 2 3) 6 0 (1)x x x x
.
Đặt
2
23t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
2
5 6 0
3
t
tt
t
.
e). Với
2t
thì
2 2 2
2 3 2 2 1 0 ( 1) 0 1x x x x x x
.
f). Với
3t
thì
22
0
2 3 3 2 0 ( 2) 0
2.
x
x x x x x x
x
Trang 30
Vậy
0;1;2S
.
g).
2 2 2 2 2 2
(2 2) 10 5 16 0 (2 2) 5(2 2) 6 0 (1)x x x x x x x x
.
Đặt
2
22t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
5 6 0
6.
t
tt
t

h). Với
1t
thì
22
1
2 2 1 2 3 0 .
3
2
x
x x x x
x

i). Với
6t 
thì
22
2 2 6 2 4 0x x x x
(vô nghiệm).
Vậy
3
;1
2
S




.
j).
42
( 1) 4( 1) 3 0 (1)xx
.
Đặt
2
( 1) ,( 0)t x t
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
k). Với
1t
thì
2
1 1 2
( 1) 1
1 1 0.
xx
x
xx



l). Với
3t
thì
2
1 3 1 3
( 1) 3
1 3 1 3.
xx
x
xx




Vậy
0;2;1 3S 
.
m).
2 2 2 2
( 2 1)( 2 2) 2 ( 2 1) ( 2 1) 1 2 (1)x x x x x x x x


.
Đặt
2
21t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
( 1) 2 2 0
2.
t
t t t t
t

n). Với
1t 
thì
22
0
2 1 1 2 0 ( 2) 0
2.
x
x x x x x x
x

o). Với
2t
thì
22
1
2 1 2 2 3 0
3.
x
x x x x
x

Vậy
3; 2;0;1S
.
p).
2
2
3
2 0(1)
( 1) 1
xx
xx

. Điều kiện
1x 
.
Trang 31
Đặt
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
3 2 0
2.
t
tt
t
q). Với
1t
thì
1 1 0 1
1
x
x x x
x
(vô nghiệm).
r). Với
2t
thì
2 2( 1) 2
1
x
x x x
x
(thỏa đk).
Vậy
2S 
.
s).
3 1 3 1
3 10 0 3 10 0(1)
11
1
x x x
x
x x x
x

. Điều kiện
1, 0xx
.
Đặt
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
1
3 10 0 10 3 0
3
3.
t
t t t
t
t


t). Với
1
3
t 
thì
11
3 ( 1) 4 1
1 3 4
x
x x x x
x
(thỏa đk).
u). Với
3
3 3 3( 1) 4 3
14
x
t x x x x
x
(thỏa đk).
Vậy
13
;
44
S



.
Ví dụ 18. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
( 2) 3( 2) 2 0xx
; Đáp số
1;0S 
b).
2 2 2
( 2 ) 5( 2 ) 6 0x x x x
; Đáp số
1 2;1 7S
c).
2 2 2
( 2) 2 2 4 0x x x x
; Đáp số
2; 1;0;1S
d).
42
(2 1) 4(2 1) 3 0xx
; Đáp số
13
1;0;
2
S







e).
22
( 1)( 1) 3x x x x
; Đáp số
2;1S 
f).
2
2
20
( 1) 1
xx
xx

; Đáp số
2
3
S




g).
21
2 5 0
1
xx
xx
. Đáp số
21
;
33
S



Trang 32
Lời giải.
a).
2
( 2) 3( 2) 2 0(1)xx
.
Đặt
2tx
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
3 2 0
2.
t
tt
t
b). Với
1t
thì
2 1 1xx
.
c). Với
2t
thì
2 2 0xx
.
Vậy
1;0S 
.
d).
2 2 2
( 2 ) 5( 2 ) 6 0(1)x x x x
.
Đặt
2
2t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
5 6 0
6.
t
tt
t
e). Với
1t
thì
22
12
2 1 2 1 0
1 2.
x
x x x x
x


f). Với
6t
thì
22
17
2 6 2 6 0
1 7.
x x x x
Vậy
1 2;1 7S
.
g).
2 2 2 2 2 2
( 2) 2 2 4 0 ( 2) 2( 2) 0(1)x x x x x x x x
.
Đặt
2
2t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
0
2 0 ( 2) 0
2.
t
t t t t
t

h). Với
0t
thì
2
1
20
2.
x
xx
x

i). Với
2t 
thì
22
0
2 2 0 ( 1) 0
1.
x
x x x x x x
x

Vậy
2; 1;0;1S
.
j).
42
(2 1) 4(2 1) 3 0(1)xx
.
Đặt
2
(2 1) , 0t x t
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1(th?a dk)
4 3 0
3(th?a dk).
t
tt
t
k). Với
1t
thì
2
2 1 1 0
(2 1) 1
2 1 1 1.
xx
x
xx



Trang 33
l). Với
3t
thì
2
13
2 1 3
2
(2 1) 3
2 1 3 1 3
.
2
x
x
x
x
x

Vậy
13
1;0;
2






.
m).
22
( 1)( 1) 3 (1)x x x x
.
Đặt
2
1t x x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
( 2) 3 2 3 0
3.
t
t t t t
t

n). Với
1t
thì
22
1
1 1 2 0
2.
x
x x x x
x

o). Với
3t 
thì
22
1 3 2 0x x x x
(vô nghiệm).
Vậy
2;1S 
.
p).
2
2
2 0 (1)
( 1) 1
xx
xx

. Điều kiện
1x 
.
Đặt
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
20
2.
t
tt
t

q). Với
1t
thì
1 1 0 1
1
x
x x x
x
(vô nghiệm).
r). Với
2t 
thì
2
2 2( 1)
13
x
x x x
x
(thỏa đk).
Vậy
2
3
S




.
s).
2 1 2 2
2 5 0 5 0 (1)
11
1
x x x
x
x x x
x

. Điều kiện
1, 0xx
.
Đặt
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
2
2
2 5 0 2 5 2 0
1
.
2
t
t t t
t
t


t). Với
2t 
thì
2
2 2( 1)
13
x
x x x
x
(thỏa đk).
u). Với
1
2
t 
thì
11
2 ( 1)
1 2 3
x
x x x
x
(thỏa đk).
Trang 34
Vậy
21
;
33
S



.
Ví dụ 19. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
22x x x
; Đáp số
1;4S
b).
2 3 7 0xx
. Đáp số
4S
Lời giải.
a).
[ ] 2 2t x x x
23xx
2
2 0( 2) 9x x x
2
2 5 4 0x x x
2 1(th?a dk) 4(th?a dk)x x x
Vậy
1;4S
.
b).
[ ]2 3 7 0t x x
2 7 3xx
2
2 7 0(2 7) 3x x x
2
7
4 29 52 0
2
x x x
7 13
4(th?a dk) (không th?a dk)
24
x x x
Vậy
4S
.
Ví dụ 20. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
26x x x
; Đáp số
4S
b).
1 7 0xx
. Đáp số
10S
Lời giải.
a).
[ ] 2 6t x x x
6xx
Trang 35
2
6 0 (6 )x x x
2
6 13 36 0x x x
6 4(th?a dk) 9(th?a dk)x x x
Vậy
4S
.
b).
[ ] 1 7 0t x x
71xx
2
7 0( 7) 1x x x
2
7 15 50 0x x x
7 5(không th?a dk) 10(th?a dk)x x x
Vậy
10S
.
Bài 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
20xx
; Đáp số
2S 
b).
42
3 2 0xx
; Đáp số
1; 2S
c).
42
2 5 2 0xx
; Đáp số
1
2;
2
S



d).
42
( 2) 6( 2) 5 0xx
. Đáp số
1; 3; 2 5S
Lời giải.
a).
42
20xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
20
2(th?a dk).
t
tt
t

Với
2t
thì
2
22xx
.
Vậy
2S 
.
b).
42
3 2 0xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 2 0
2(th?a dk).
t
tt
t
c). Với
1t
thì
2
11xx
.
Trang 36
d). Với
2t
thì
2
22xx
.
Vậy
1; 2S
.
e).
42
2 5 2 0xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
2(th?a dk)
2 5 2 0
1
(th?a dk).
2
t
tt
t
f). Với
2t
thì
2
22xx
.
g). Với
1
2
t
thì
2
11
2
2
xx
.
Vậy
1
2;
2
S



.
h).
42
( 2) 6( 2) 5 0xx
.
Đặt
2
( 2)tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
6 5 0
5(th?a dk).
t
tt
t
i). Với
1t
thì
2
2 1 1
( 2) 1
2 1 3.
xx
x
xx



j). Với
5t
thì
2
2 5 2 5
( 2) 5
2 5 2 5.
xx
x
xx




Vậy
1; 3; 2 5S
.
Bài 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
4 2 2
31x x x
; Đáp số
1S 
b).
42
2xx
; Đáp số
1S 
c).
4 2 2
46x x x
; Đáp số
1; 6S
d).
42
( 2) 3( 2) 2xx
. Đáp số
1; 2S
Lời giải.
a).
4 2 2 4 2
3 1 3 2 1 0x x x x x
.
Trang 37
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 2 1 0
1
(không th?a dk).
3
t
tt
t

b). Với
1t
thì
2
11xx
.
Vậy
1S 
.
c).
42
2xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
20
2(không th?a dk).
t
tt
t

d). Với
1t
thì
2
11xx
.
Vậy
1S 
.
e).
4 2 2
46x x x
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
5 6 0
6(th?a dk).
t
tt
t
f). Với
1t
thì
2
11xx
.
g). Với
6t
thì
2
66xx
.
Vậy
1; 6S
.
h).
42
( 2) 3( 2) 2xx
.
Đặt
2
( 2)tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3 2 0
2(th?a dk).
t
tt
t
i). Với
1t
thì
2
11xx
.
j). Với
2t
thì
2
22xx
.
Vậy
1; 2S
.
Bài 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
42
0,1 0,8 0,7 0xx
; Đáp số
1; 7S
b).
42
3 4,4 1,4 0xx
; Đáp số
S 
c).
42
3,3 4,3 0xx
; Đáp số
1S 
Trang 38
d).
2
2
1
2x
x

. Đáp số
1S 
Lời giải.
a).
42
0,1 0,8 0,7 0xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
0,1 0,8 0,7 0
7(th?a dk).
t
tt
t
b). Với
1t
thì
2
11xx
.
c). Với
7t
thì
2
77xx
.
Vậy
1; 7S
.
d).
42
3 4,4 1,4 0xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(không th?a dk)
3 4,4 1,4 0
1,4
(không th?a dk).
3
t
tt
t


Vậy
S 
.
e).
42
3,3 4,3 0xx
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
2
1(th?a dk)
3,3 4,3 0
4,3(không th?a dk)
t
tt
t

f). Với
1t
thì
2
11xx
.
Vậy
1S 
.
g).
2
2
1
2x
x

. Điều kiện
0x
.
Đặt
2
tx
,
0t
. Phương trình trở thành
22
1
2 2 1 0 ( 1) 0 1t t t t t
t
(thỏa đk).
h). Với
1t
thì
2
11xx
(thỏa đk).
Vậy
1S 
.
Bài 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
42
2 1 2 1
x x x
xx

; Đáp số
2;0S 
Trang 39
b).
13
2
21
x
xx


; Đáp số
5
1;
4
S



c).
2
2 3 4
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x

. Đáp số
2S 
Lời giải.
a).
2
42
(1)
2 1 2 1
x x x
xx

. Điều kiện
1
2
x 
.
Phương trình
(1)
tương đương với
22
0(th?a dk)
4 2 2 0 ( 2) 0
2(th?a dk).
x
x x x x x x x
x

Vậy
2;0S 
.
b).
13
2 (1)
21
x
xx


. Điều kiện
1, 2xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
1(th?a dk)
2 (2 ) (2 1) 3(2 1)(2 )
4 9 5 0
5
(2 1)(2 ) (2 1)(2 )
(th?a dk).
4
x
x x x x x
xx
x x x x
x
Vậy
5
1;
4
S



.
c).
2
2 3 4
(1)
1 ( 1)( 3)
x x x
x x x

. Điều kiện
1, 3xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
( 3) 2 3 4
4 0 2
( 1)( 3) ( 1)( 3)
x x x x
xx
x x x x
(thỏa đk).
Vậy
2S 
.
Bài 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
13
1
31xx


; Đáp số
7S 
b).
21
3
2 1 2
x
xx


; Đáp số
5
1;
4
S



Trang 40
c).
2
11
( 2)( 5) 5
xx
x x x

; Đáp số
1;3S 
d).
1 1 3 4
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x


. Đáp số
3 37
2
S





Lời giải.
a).
13
1(1)
31xx


. Điều kiện
3, 1xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
( 1) 3( 3) ( 1)( 3)
77
( 1)( 3) ( 1) 3
x x x x
xx
x x x x
(thỏa đk).
Vậy
7S 
.
b).
21
3(1)
2 1 2
x
xx


. Điều kiện
1
,2
2
xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
1(th?a dk)
2 (2 ) (2 1) 3(2 1)(2 )
4 9 5 0
5
(2 1)(2 ) (2 1)(2 )
(th?a dk).
4
x
x x x x x
xx
x x x x
x
Vậy
5
1;
4
S



.
c).
2
11
(1)
( 2)( 5) 5
xx
x x x

. Điều kiện
2, 5xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
1(th?a dk)
12
2 3 0
3(th?a dk).
( 2)( 5) ( 2)( 5)
x
x x x
xx
x
x x x x

Vậy
1;3S 
.
d).
1 1 3 4
(1)
1 2 ( 1)( 2)
xx
x x x x


. Điều kiện
1, 2xx
.
Phương trình
(1)
tương đương với
Trang 41
2
3 37
(th?a dk)
( 1)( 2) ( 1) 3 4
2
3 7 0
( 1)( 2) ( 1)( 2)
3 37
(th?a dk).
2
x
x x x x
xx
x x x x
x
Vậy
3 37
2
S





.
Bài 6. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
3 2 2
32
1
11
x x x x x
x x x
; Đáp số
1S 
b).
2
4 3 2
21
11
xx
x x x x

; Đáp số
S 
Lời giải.
a).
3 2 2 3 2 2
3 2 2 2
11
(1)
1 1 ( 1)( 1) 1
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
. Điều kiện
1x
.
Phương trình
(1)
tương đương với
3 2 2
2
22
1(không th?a dk)
1 ( )( 1)
10
1(th?a dk).
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x
x x x x x x
x
x
x x x x x x

Vậy
1S 
.
b).
22
4 3 2 2 2
2 1 2 1
(1)
1 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x x x x
. Điều kiện
1x 
.
Phương trình
(1)
tương đương với
2
2
22
21
11
( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)
x x x
xx
x x x x x x
(không thỏa đk).
Vậy
S 
.
Bài 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
( 3)( 5) 0x x x
; Đáp số
0;3;5S
b).
32
8 15 0x x x
; Đáp số
0;3;5S
c).
32
6 12 8 0x x x
; Đáp số
2S
Trang 42
d).
32
4 3 2 0x x x
. Đáp số
5 17
1;
2
S






Lời giải.
a).
00
( 3)( 5) 0 3 0 3
5 0 5.
xx
x x x x x
xx






Vậy
0;3;5S
.
b).
3 2 2
2
0
0
8 15 0 ( 8 15) 0 3
8 15 0
5.
x
x
x x x x x x x
xx
x
Vậy
0;3;5S
.
c).
3 2 3
6 12 8 0 ( 2) 0 2x x x x x
.
Vậy
2S
.
d).
3 2 2
2
1
10
4 3 2 0 ( 1)( 5 2) 0
5 17
5 2 0
.
2
x
x
x x x x x x
xx
x


Vậy
5 17
1;
2
S






.
Bài 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
22
( )( 3 ) 0x x x x
; Đáp số
0;1;3S
b).
2 2 2
( 2 ) ( 2) 0x x x
; Đáp số
3 17
2
S





c).
2 2 2
( 2 ) 3( 2 )x x x x
; Đáp số
1;0;2;3S 
d).
2 2 3
( 1) 5 5 0x x x
; Đáp số
5 21
2
S





e).
3
( 1) 1 ( 1)(2 1)x x x x
. Đáp số
1S 
Lời giải.
Trang 43
a).
2
22
2
0
0 ( 1) 0
( )( 3 ) 0 1
( 3) 0
30
3.
x
x x x x
x x x x x
xx
xx
x


Vậy
0;1;3S
.
b).
2 2 2
[ ]( 2 ) ( 2) 0t x x x
22
( 2 ) ( 2) ( 2 ) ( 2) 0x x x x x x
22
( 3 2)( 2) 0x x x x
22
3 2 0 2 0(vô nghi?m)x x x x
3 17 3 17
.
22
xx

Vậy
3 17
2
S





.
c).
2 2 2 2 2 2
2
22
2
[ ] ( 2 ) 3( 2 ) ( 2 ) 3( 2 ) 0
0
2 0 2
( 2 )( 2 3) 0
1
2 3 0
3.
t x x x x x x x x
x
x x x
x x x x
x
xx
x
Vậy
1;0;2;3S 
.
d).
2 2 3 2 2 2
2
22
2
[ ] ( 1) 5 5 0 ( 1) 5 ( 1) 0
1 0(vô nghi?m)
5 21
( 1)( 5 1) 0 .
2
5 1 0
t x x x x x x
x
x x x x
xx

Vậy
5 21
2
S





.
e).
3
[ ]( 1) 1 ( 1)(2 1)t x x x x
3
( 1) ( 1) ( 1)(2 1) 0x x x x
3
( 1) ( 1)(2 2) 0x x x
2
( 1) ( 1) 2( 1) 0x x x


2
1 0 3 0(vô nghi?m)xx
1.x
Vậy
1S 
.
Trang 44
Bài 9. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:
a).
2
(3 1) 3(3 1) 2 0xx
; Đáp số
1
0;
3
S



b).
2 2 2
( ) 5( ) 6 0x x x x
; Đáp số
S 
c).
2 2 2
( ) 2 2 3 0x x x x
; Đáp số
15
2
S






d).
42
( 4) 7( 4) 6 0xx
; Đáp số
5; 3; 4 6S
e).
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x
; Đáp số
2;0S 
f).
2
2
3
20
( 1) 1
xx
xx

; Đáp số
2S 
g).
21
20
12
xx
xx
; Đáp số
1S
Lời giải.
a).
2
(3 1) 3(3 1) 2 0xx
.
Đặt
31tx
. Phương trình trở thành
2
1
3 2 0
2.
t
tt
t
b). Với
1t
thì
3 1 1 0xx
.
c). Với
2t
thì
1
3 1 2
3
xx
.
Vậy
1
0;
3
S



.
d).
2 2 2
( ) 5( ) 6 0x x x x
.
Đặt
2
t x x
. Phương trình trở thành
2
2
5 6 0
3.
t
tt
t


e). Với
2t 
thì
22
2 2 0x x x x
(vô nghiệm).
f). Với
3t 
thì
22
3 3 0x x x x
(vô nghiệm).
Vậy
S 
.
g).
2 2 2 2 2 2
( ) 2 2 3 0 ( ) 2( ) 3 0x x x x x x x x
.
Trang 45
Đặt
2
t x x
. Phương trình trở thành
2
1
2 3 0
3.
t
tt
t

h). Với
1t
thì
22
15
1 1 0
2
x x x x x

.
i). Với
3t 
thì
2
30xx
(vô nghiệm).
Vậy
15
2
S






.
j).
42
( 4) 7( 4) 6 0(1)xx
.
Đặt
2
( 4)tx
,
0t
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1(th?a dk)
7 6 0
6(th?a dk).
t
tt
t
k). Với
1t
thì
2
4 1 3
( 4) 1
4 1 5.
xx
x
xx



l). Với
6t
thì
2
4 6 4 6
( 4) 6
4 6 4 6.
xx
x
xx




Vậy
5; 3; 4 6S
.
m).
22
( 2 1)( 2 2) 2x x x x
.
Đặt
2
21t x x
. Phương trình trở thành
2
1
( 1) 2 2 0
2.
t
t t t t
t

n). Với
1t
thì
22
0
2 1 1 2 0 ( 2) 0
2.
x
x x x x x x
x

o). Với
2t 
thì
22
2 1 2 2 3 0x x x x
(vô nghiệm).
Vậy
2;0S 
.
p).
2
2
3
2 0(1)
( 1) 1
xx
xx

. Điều kiện
1x 
.
Đặt
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
trở thành
2
1
3 2 0
2.
t
tt
t
q). Với
1t
thì
1 1 0 1
1
x
x x x
x
(vô nghiệm).
r). Với
2t
thì
2 2( 1) 2
1
x
x x x
x
(thỏa đk).
Trang 46
Vậy
2S 
.
s).
2 1 2 1
2 0 2 0(1)
2
1 2 1
1
x x x
x
x x x
x

. Điều kiện
1, 0xx
.
Đặt
2
1
x
t
x
. Phương trình
(1)
tương đương với
22
1
2 0 2 1 0 ( 1) 0 1t t t t t
t
.
Với
1t
thì
2
1 2 1 1
1
x
x x x
x
(thỏa đk).
Vậy
1S
.
Bài 10. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a).
2 2 3x x x
; Đáp số
1;9S
b).
2 2 2 0xx
. Đáp số
2;6S
Lời giải.
a).
[ ] 2 2 3t x x x
43xx
2
3 016 ( 3)x x x
2
3 10 9 0x x x
3 1(th?a dk) 9(th?a dk).x x x
Vậy
1;9S
.
b).
[ ] 2 2 2 0t x x
2 2 2xx
2
2 0( 2) 4( 2)x x x
2
2 8 12 0x x x
2 2(th?a dk) 6(th?a dk).x x x
Vậy
2;6S
.
--- HẾT ---
| 1/46
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Bài 7. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG
 Phương trình trùng phương là phương trình có dạng 4 2
ax bx c  0(a  0).
Cách giải: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.  Bước 1. Đặt 2
t x (t  0) ;
Bước 2. Giải phương trình bậc hai 2
at bt c  0 và tìm nghiệm của phương trình trùng phương.
2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨCf (x) f (x) f (x)
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có dạng 1 2 n      0. g (x) g (x) g (x) 1 2 nCách giải:
Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình bậc hai vừa nhận được;
Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
3. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
 Phương trình tích là phương trình có dạng f (x)  f (x)  f (x)  0. 1 2 nf (x)  0 1  f (x)  0   Cách giải: 2
f (x)  f (x)  f (x)  0  1 2 n   f (x)  0.  n
Để giải một số phương trình trước hết cần đặt ẩn phụ, thu gọn về dạng phương trình bậc hai hoặc
đưa về dạng phương trình tích.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Giải phương trình trùng phương  Bước 1: Đặt 2
t = x (t ³ 0) .
 Bước 2: Giải phương trình bậc hai 2
at + bt + c = 0.
 Bước 3: Với mỗi t ³ 0, giải phương trình 2 x = t .
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x  2x 1  0 ;
ĐS: S    1 .   b) 4 2
4x  3x 1  0 ; ĐS: 1 S    .  2  c) 4 2
3x 10x  3  0 ;
ĐS: S   . d) 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 .
ĐS: S  0;2;1 3 . Trang 1
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x  2x 1  0 ;
ĐS: S   . b) 4 2
2x  6x  8  0 ;
ĐS: S    2 .   c) 4 2
3x 10x  7  0 ; ĐS: 7 S   1  ;  .  3   d) 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 .
ĐS: S  0; 2  ; 1   3.
Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) 4 2
x 1  2x ;
ĐS: S    1 . b) 4 2
x  2x  3 ;
ĐS: S   3.   c) 4 2 2
2x  3x  4x  5 ; ĐS: 5 S   1  ;  .  2   d) 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 .
ĐS: S  0;2;1  3.
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) 4 2 2
x  3x x 1;
ĐS: S   . b) 4 2
x  3x  4 ;
ĐS: S    2 .   c) 4 2 2
3x  5x  5x  7 ; ĐS: 7 S   1  ;  .  3   d) 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 .
ĐS: S  2;0;1  3 .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a) 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 ;
ĐS: S   . b) 4 2
x  6,3x  7,3  0 ;
ĐS: S   7,3.   c) 4 2
3x  4,1x 1,1  0 ; ĐS: 11 S   1  ;  .  30   7 d) 2 x   8 .
ĐS: S  1; 7 . 2 x
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: Trang 2 a) 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 ;
ĐS: S   0,  1 . b) 4 2
x  6,9x  7,9  0 ;
ĐS: S    1 . c) 4 2
3,3x  4, 4x 1,1  0 ;
ĐS: S   . 6 d) 2 x   5 .
ĐS: S  1; 6 . 2 x
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
 Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
 Bước 3: Giải phương trình bậc hai vừa nhận được.
 Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 2 x  2x 2x a)  ;
ĐS: S  0;  4 . x 1 x 1 x  3 14   b) 1  ; ĐS: 9 S  3;   . x  2 x 1  2  2 xx  3x 1 c)  .
ĐS: S   . x 1
(x 1)(x  3)
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 2 x  4x 3x a)  ; ĐS: S   1  ;  0 . x 1 x 1 x  4 16 b) 1  ;
ĐS: S  3;  5 . x  2 x 1 2 3x x  9x 14   c)  . ĐS: 7 S    . x 1
(x 1)(x  2)  2 
Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: 1 2 a)   1;
ĐS: S  0;  3 . x 1 x 1 2x 7 b)   4 ;
ĐS: S   . x 1 2  x 2 x  2x  8 1 c)  ;
ĐS: S   .
(x  2)(x  3) x  3 2x 1 2x  3 d)   . ĐS: S   3  ;  1 . x 1 x  3
(x 1)(x  3) Trang 3
Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: 1 4 a)   1;
ĐS: S  1;  5 . x  2 x 1 x 1    b)   3 ; ĐS: 11 21 S    . 2x 1 2  x  10   2 x x 1 1 c)  ;
ĐS: S    1 .
(x  2)(x  3) x  3 x 1 x  4 d)   . ĐS: S   3  ;  1 . x 1 x  2
(x 1)(x  2)
Ví dụ 11. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x  3x  4x  2 2x  3x a)  ; ĐS: S   1  ;  2 . 3 2 x 1 x x 1 2 x  3x  4 1 b)  .
ĐS: S    3 . 4 3 2 x 1
x x x 1
Ví dụ 12. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x x x 1 x x   a)  ; ĐS: 1 S    . 3 2 x 1 x x 1  3 2 2 x x  2 x b)  .
ĐS: S    2 . 4 3 2 x 1
x x x 1
Dạng 3: Giải phương trình tích
 Bước 1: Chuyển phương trình đã cho về dạng f (x) f
× (x)L f (x) = 0 . 1 1 n f é (x) = 0 ê1 f ê (x) = 0  ê
Bước 2: Giải phương trình 2 f (x ) f
× (x)L f (x) = 0 Û . 1 2 n ê êM êfê (x) = 0 n ë
Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) (x 1)(x  2)(x  3)  0 ;
ĐS: S  1;2;  3 . b) 3 2
x  6x 11x  6  0 ;
ĐS: S  1;2;  3 . c) 3 2
x  3x  3x 1  0 ;
ĐS: S    1 . d) 3 2
x  3x  2x  6  0 .
ĐS: S  3; 2 .
Ví dụ 14. Giải các phương trình sau: Trang 4
a) x(x 1)(x  4)  0 ;
ĐS: S  0;1;  4 . b) 3 2
x x x 1  0 ;
ĐS: S    1 . c) 3 2
x  5x  4x  0 ;
ĐS: S  0;1;  4 . d) 3 2
x  3x  2x  6  0 .
ĐS: S    3 .
Ví dụ 15. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x x  4)(x  3x)  0 ;
ĐS: S  0;  3 . b) 2 2 2
(x x  2)  (2x  2)  0 ;
ĐS: S  0;  3 . c) 2 2 2
(x  4x)  4(x  4x) ;
ĐS: S  0;4;2  2 2 .    d) 2 2 3
(x  3)  5x 15x  0 ; ĐS: 5 37 S   3; .  2   e) 3
(x  2)  x 1  (x 1)(x 1) .
ĐS: S    2 .
Ví dụ 16. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x  2x 1)(x  4x)  0 ;
ĐS: S  0;1;  4 . b) 2 2 2
(x 1)  4x  0 ;
ĐS: S    1 . c) 2 2 2
(x  5x)  6(x  5x) ; ĐS: S   6  ; 5  ;0;  1 .   d) 2 2 3
(2x  3) 10x 15x  0 ; ĐS: 3 S  1  ;  .  2  e) 3
(x 1)  x 1  (x 1)(x  2) .
ĐS: S    0 .
Dạng 4: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
 Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (nếu cần).
 Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ và giải phương trình theo ẩn phụ thu được.
 Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu, đối chiếu với điều kiện (nếu có) và kết luận.
Lưu ý: Nếu điều kiện của ẩn phụ phức tạp thì có thể không cần tìm điều kiện cụ thể nhưng sau
khi tìm được ẩn chính thì cần thử lại.
Ví dụ 17. Giải các phương trình sau: a) 2
(x 1)  3(x 1)  2  0 ;
ĐS: S  2;  3 . b) 2 2 2
(x  2x  3)  5(x  2x  3)  6  0 ;
ĐS: S  0;1;  2 . Trang 5   c) 2 2 2
(2x x  2) 10x  5x 16  0 ; ĐS: 3 S   ;1 .  2  d) 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 ;
ĐS: S  0;2;1 3 . e) 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2 ; ĐS: S   3  ; 2  ;0;  1 . 2 x 3x f)   2  0;
ĐS: S    2 . 2 (x 1) x 1 3x x 1   g)  3 10  0 . ĐS: 1 3
S   ;   . x 1 x  4 4 
Ví dụ 18. Giải các phương trình sau: a) 2
(x  2)  3(x  2)  2  0 ; ĐS: S   1  ;  0 . b) 2 2 2
(x  2x)  5(x  2x)  6  0 ;
ĐS: S  1 2;1 7 . c) 2 2 2
(x x  2)  2x  2x  4  0 ; ĐS: S   2  ; 1  ;0;  1 .     d) 4 2
(2x 1)  4(2x 1)  3  0 ; ĐS: 1 3 S   1  ;0;  .  2   e) 2 2
(x x 1)(x x 1)  3 ; ĐS: S   2  ;  1 . 2 x x   f)   2  0; ĐS: 2 S    . 2 (x 1) x 1  3  2x x 1   g)  2  5  0 . ĐS: 2 1
S   ;   . x 1 x  3 3 
Ví dụ 19. Giải các phương trình sau: a) x  2 x x  2 ;
ĐS: S  1;  4 .
b) 2x x  3  7  0 .
ĐS: S    4 .
Ví dụ 20. Giải các phương trình sau: a) x  2 x x  6 ;
ĐS: S    4 .
b) x x 1  7  0 .
ĐS: S    10 .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải các phương trình sau: Trang 6 a) 4 2
x x  2  0 ;
ĐS: S   2 . b) 4 2
x  3x  2  0 ;
ĐS: S  1; 2 .   c) 4 2
2x  5x  2  0 ; ĐS: 1 S   2;   .  2  d) 4 2
(x  2)  6(x  2)  5  0 .
ĐS: S  1;3;2  5 .
Bài 2. Giải các phương trình sau: a) 4 2 2
3x x x 1;
ĐS: S    1 . b) 4 2
x x  2 ;
ĐS: S    1 . c) 4 2 2
x  4x x  6 ;
ĐS: S  1; 6 . d) 4 2
(x  2)  3(x  2)  2 .
ĐS: S  1; 2 .
Bài 3. Giải các phương trình sau: a) 4 2
0,1x  0,8x  0, 7  0 ;
ĐS: S  1; 7 . b) 4 2
3x  4, 4x 1, 4  0 ;
ĐS: S   . c) 4 2
x  3,3x  4,3  0 ;
ĐS: S    1 . 1 d) 2 x   2 .
ĐS: S    1 . 2 x
Bài 4. Giải các phương trình sau: 2 x  4x 2x a)  ; ĐS: S   2  ;  0 . 2x 1 2x 1 x 1 3   b)  2  ; ĐS: 5 S  1  ;  . x  2 x 1  4  2 x 2x  3x  4 c)  .
ĐS: S    2 . x 1
(x 1)(x  3)
Bài 5. Giải các phương trình sau: 1 3 a)   1;
ĐS: S   7 . x  3 x 1 2x 1   b)   3 ; ĐS: 5 S  1  ;  . 2x 1 2  x  4  Trang 7 2 x x 1 1 c)  ; ĐS: S   1  ;  3 .
(x  2)(x  5) x  5 x 1 1 3x  4    d)   . ĐS: 3 37 S   . x 1 x  2
(x 1)(x  2)  2  
Bài 6. Giải các phương trình sau: 3 2 2
x x x 1 x x a)  ;
ĐS: S    1 . 3 2 x 1 x x 1 2 x x  2 1 b)  ;
ĐS: S   . 4 3 2 x 1
x x x 1
Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) x(x  3)(x  5)  0 ;
ĐS: S  0;3;  5 . b) 3 2
x  8x 15x  0 ;
ĐS: S  0;3;  5 . c) 3 2
x  6x 12x  8  0 ;
ĐS: S    2 .     d) 3 2
x  4x  3x  2  0 . ĐS: 5 17 S  1  ;  .  2  
Bài 8. Giải các phương trình sau: a) 2 2
(x x)(x  3x)  0 ;
ĐS: S  0;1;  3 .    b) 2 2 2
(x  2x)  (x  2)  0 ; ĐS: 3 17 S   .  2   c) 2 2 2
(x  2x)  3(x  2x) ; ĐS: S   1  ;0;2;  3 .    d) 2 2 3
(x 1)  5x  5x  0 ; ĐS: 5 21 S    .  2   e) 3
(x 1)  x 1  (x 1)(2x 1) .
ĐS: S    1 .
Bài 9. Giải các phương trình sau:   a) 2
(3x 1)  3(3x 1)  2  0 ; ĐS: 1 S  0;  .  3 b) 2 2 2
(x x)  5(x x)  6  0 ;
ĐS: S   . Trang 8    c) 2 2 2
(x x)  2x  2x  3  0 ; ĐS: 1 5 S   .  2   d) 4 2
(x  4)  7(x  4)  6  0 ;
ĐS: S  5;3;4  6. e) 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2 ; ĐS: S   2  ;  0 . 2 x 3x f)   2  0;
ĐS: S    2 . 2 (x 1) x 1 2x x 1 g)   2  0 ;
ĐS: S    1 . x 1 2x
Bài 10. Giải các phương trình sau:
a) x  2 x  2 x  3 ;
ĐS: S  1;  9 .
b) x  2 x  2  2  0 .
ĐS: S  2;  6 . Trang 9 HƯỚNG DẪN GIẢI
Ví dụ 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x  2x 1  0 ; Đáp số S    1   b). 4 2
4x  3x 1  0 ; Đáp số 1 S     2  c). 4 2
3x 10x  3  0 ;
Đáp số S   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 .
Đáp số S  0;2;1 3 Lời giải. a). 4 2
x  2x 1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2
t  2t 1  0 2  (t 1)  0
t  1(th?a di?u ki?n). • Với 2
t  1  x  1  x  1  . Vậy S    1 . b). 4 2
4x  3x 1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2 
4t  3t 1  0  1  t  (th?a dk).  4 1 1 1 • Với 2 t
x   x   . 4 4 2  1 
Vậy S    .  2  c). 4 2
3x 10x  3  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành Trang 10  1
t   (không th?a dk) 2 
3t 10t  3  0  3  t  3  (không th?a dk). Vậy S   . d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 . Đặt 2
t  (x 1) (t  0) . Phương trình trở thành t 1(th?a dk) 2
t  4t  3  0   t  3(th?a dk). x 1  1 2
[t]t  1  (x 1)  1  x1 1  • Với x  2  x 0. x 1  3 2 [t]t  3
 (x 1)  3  x1 3 • Với x 1 3
 x 1 3.
Vậy S  0;2;1 3;1 3 .
Ví dụ 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x  2x 1  0 ; Đáp số S   b). 4 2
2x  6x  8  0 ;
Đáp số S    2   c). 4 2
3x 10x  7  0 ; Đáp số 7 S   1  ;   3   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 .
Đáp số S  0; 2  ; 1   3 Lời giải. a). 4 2
x  2x 1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2
t  2t 1  0  (t 1)  0  t  1  (không thỏa đk). Vậy S   . Trang 11 b). 4 2
2x  6x  8  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2
2t  6t  8  0   . t  4(th?a dk) • Với 2
t  4  x  4  x  2  . Vậy S    2 . c). 4 2
3x 10x  7  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t 1(th?a dk) 2 
3t 10t  7  0  7  . t  (th?a dk)  3 • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 7 7 7 • Với 2 t
x   x   . 3 3 3  7   Vậy S   1  ;  .  3   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 . Đặt 2
t  (x 1) (t  0) . Phương trình trở thành t  1(th?a dk) 2
t  4t  3  0   . t  3(th?a dk) x 1  1 x  0 • Với 2
t  1  (x 1)  1     . x 1  1  x  2.  x 1 3 x  3 1 • Với 2
t  3  (x 1)  3     x 1  3 x   3 1. Vậy S  0; 2  ; 3 1; 3   1 .
Ví dụ 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x 1  2x ;
Đáp số S    1 Trang 12 b). 4 2
x  2x  3 ;
Đáp số S   3   c). 4 2 2
2x  3x  4x  5 ; Đáp số 5 S   1  ;   2   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 . Đáp số S  0;2;1  3 Lời giải. a). 4 2 x 1  2x . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2 2
t 1  2t t  2t 1  0  (t 1)  0  t  1 (thỏa đk). • Với 2
t  1  x  1  x  1  . Vậy S    1 . b). 4 2
x  2x  3 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2 2
t  2t  3  t  2t  3  0   t  3(th?a dk). • Với 2
t  3  x  3  x   3 .
Vậy S   3 . c). 4 2 2 4 2
2x  3x  4x  5  2x  7x  5  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t 1(th?a dk) 2 
2t  7t  5  0  5  t  (th?a dk).  2 • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 5 5 5 • Với 2 t
x   x   . 2 2 2  5   Vậy S   1  ;  .  2   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 . Trang 13 Đặt 2
t  (x 1) (t  0) . Phương trình trở thành t  1(th?a dk) 2 2
t  4t  3  t  4t  3  0   t  3(th?a dk). • Với 2
t  1  (x 1)  1  x  0, x  2 . • Với 2
t  3  (x 1)  3  x  1  3 .
Vậy S  0;2;1  3 .
Ví dụ 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2 2
x  3x x 1; Đáp số S   b). 4 2
x  3x  4 ;
Đáp số S    2   c). 4 2 2
3x  5x  5x  7 ; Đáp số 7 S   1  ;   3   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 . Đáp số S  2;0;1 3 Lời giải. a). 4 2 2 4 2
x  3x x 1  x  2x 1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2 2
t  2t 1  0  (t 1)  0  t  1  (không thỏa đk). Vậy S   . b). 4 2
x  3x  4 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2 2
t  3t  4  0   t  4(th?a dk). • Với 2
t  4  x  4  x  2  . Vậy S    2 . c). 4 2 2 4 2
3x  5x  5x  7  3x 10x  7  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành Trang 14t 1(th?a dk) 2 
3t 10t  7  0  7  t  (th?a dk).  3 • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 7 7 7 • Với 2 t
x   x   . 3 3 3  7   Vậy S   1  ;  .  3   d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3 . Đặt 2
t  (x 1) (t  0) . Phương trình trở thành t  1(th?a dk) 2
t  4t  3  0   t  3(th?a dk). x 1 1 x  0 • Với 2
t  1  (x 1)  1     . x 1  1  x  2  x 1 3 x  1   3 • Với 2
t  3  (x 1)  3     x 1  3 x  1   3.
Vậy S  2;0;1 3.
Ví dụ 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 ; Đáp số S   b). 4 2
x  6,3x  7,3  0 ;
Đáp số S   7,3   c). 4 2
3x  4,1x 1,1  0 ; Đáp số 11 S   1  ;   30   7 d). 2 x   8 .
Đáp số S  1; 7 2 x Lời giải. a). 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2
0,1t  0, 2t  0,1  0  t  1  (không thỏa đk). Trang 15 Vậy S   . b). 4 2
x  6,3x  7,3  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2
t  6, 3t  7, 3  0   t  7,3(th?a dk). • Với 2
t  7,3  x  7,3  x   7,3 .
Vậy S   7,3. c). 4 2
3x  4,1x 1,1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t 1(th?a dk) 2 
3t  4,1t 1,1  0  11  t  (th?a dk).  30 • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 11 11 11 • Với 2 t   x   x   . 30 30 30  11   Vậy S   1  ;  .  30   7 d). 2 x   8 . 2 x Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t   0 7 t   0  t 1 (th?a dk) t   8  
 t 1   • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 2 t t   8t  7  0  t  7(th?a dk). t  7 • Với 2
t  7  x  7  x   7 .
Vậy S  1; 7 .
Ví dụ 6. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 ; Đáp số S   0,  1 Trang 16 b). 4 2
x  6,9x  7,9  0 ;
Đáp số S    1 c). 4 2
3,3x  4, 4x 1,1  0 ; Đáp số S   6 d). 2 x   5.
Đáp số S  1; 6 2 x Lời giải. a). 4 2
0,1x  0, 2x  0,1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành 2
0,1t  0, 2t  0,1  0  t  0,1 (thỏa đk). • Với 2
t  0,1  x  0,1  x   0,1 .
Vậy S   0,  1 . b). 4 2
x  6,9x  7,9  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1(th?a dk) 2
t  6, 9t  7, 9  0   t  7,  9(không th?a dk). • Với 2
t  1  x  1  x  1  . Vậy S    1 . c). 4 2
3,3x  4, 4x 1,1  0 . Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t  1  (không th?a dk) 2 
3,3t  4, 4t 1,1  0  1 
t   (không th?a dk).  3 Vậy S   . 6 d). 2 x   5. 2 x Đặt 2
t x (t  0) . Phương trình trở thành t   0 6 t   0  t  1(th?a dk) t   5  
 t 1   • Với 2
t  1  x  1  x  1  . 2 t t   5t  6  0  t  6(th?a dk). t  6 Trang 17 • Với 2
t  6  x  6  x   6 .
Vậy S  1; 6 .
Ví dụ 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 2 x  2x 2x a). S  0; 4 x 1
x  ; Đáp số   1 x  3 14   b). 1  ; Đáp số 9 S  3;   x  2 x 1  2  2 xx  3x 1 c). x 1 (x 1)(x  .
Đáp số S   3) Lời giải. 2 x  2x 2x a).  (1) x 1 x  . 1
• Điều kiện x  1  .
• Phương trình (1) tương đương với 2 2 [t]
x  2x  2x x  4x  0
x  0(th?a dk) • Vậy S  0;  4 . 
x(x  4)  0  x  4(th?a dk). x  3 14 b). 1  (1) . x  2 x 1
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với
(x  3)(x 1)  (x 1)(x  2) 14(x  2) [t] 
(x 1)(x  2) (x 1)(x  2)
 (x  3)(x 1)  (x 1)(x  2)  14(x  2) 2
 2x 15x  27  0  9
x  3(th?a dk)x  (th?a dk).   2  9  • Vậy S  3;   .  2  Trang 18 2 xx  3x 1 c).  (1) . x 1
(x 1)(x  3)
• Điều kiện x  1, x  3 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 x(x  3) x  3x 1 [t] 
(x 1)(x  3)
(x 1)(x  3) 2 
x(x  3)  x  3x 1 2 
2x 1  0(vô nghi?m). • Vậy S   .
Ví dụ 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 2 x  4x 3x a). S  1  ;0 x 1
x  ; Đáp số   1 x  4 16 b). 1 
; Đáp số S  3;  5 x  2 x 1 2 3x x  9x 14   c). S    x 1 (x 1)(x  . Đáp số 7 2)  2  Lời giải. 2 x  4x 3x a).  (1) x 1 x  . 1
• Điều kiện x 1.
• Phương trình (1) tương đương với 2 2 [t]
x  4x  3x x x  0
x  0(th?a dk) • Vậy S   1  ;  0 . 
x(x 1)  0  x  1  (th?a dk). x  4 16 b). 1  (1) . x  2 x 1
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với Trang 19
(x  4)(x 1)  (x 1)(x  2) 16(x  2) [t] 
(x 1)(x  2)
(x 1)(x  2) 
(x  4)(x 1)  (x 1)(x  2)  16(x  2)
• Vậy S  3;  5 . x  3(th?a dk) 2 
2x 16x  30  0  x  5(th?a dk). 2 3x x  9x 14 c).  (1) . x 1
(x 1)(x  2)
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 3x(x  2) x  9x 14 [t] 
(x 1)(x  2)
(x 1)(x  2) 7  2
 3x(x  2)  x  9x 14
• Vậy S    .  2   7 x  (th?a dk) 2  
2x  3x 14  0  2  x  2  (không th?a dk).
Ví dụ 9. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 1 2 a).
 1; Đáp số S  0;  3 x 1 x 1 2x 7 b).
 4 ; Đáp số S   x 1 2  x 2 x  2x  8 1 c).
(x  2)(x  3) x  ;
Đáp số S   3 2x 1 2x  3 d).   S  3  ;1 x 1 x  3 (x 1)(x  . Đáp số   3) Lời giải. 1 2 a).   1 (1) . x 1 x 1
• Điều kiện x  1  .
• Phương trình (1) tương đương với Trang 20
(x 1)  2(x 1) (x 1)(x 1) [t]  (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 2 2 
3x 1  x 1  x  3x  0
• Vậy S  0;  3 . x  0(th?a dk) 
x(x  3)  0  x  3(th?a dk). 2x 7 b).   4 (1) . x 1 2  x
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình tương đương với
2x(2  x)  7(x 1)
4(x 1)(2  x) [t] 
(x 1)(2  x)
(x 1)(2  x) • Vậy S   . 2 
2x x 1  0(Vô nghi?m vì  0) 2 x  2x  8 1 c).  (1)
(x  2)(x  3) x  . 3
• Điều kiện x  3  , x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 x  2x  8 (x  2) [t] 
(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3) • Vậy S   .
x  2(không th?a dk) 2 
x x  6  0  x  3  (không th?a dk). 2x 1 2x  3 d).   (1) x 1 x  3 (x 1)(x  . 3)
• Điều kiện x  1, x  3 .
• Phương trình (1) tương đương với
2x(x  3)  (x 1) (2x  3) [t] 
(x 1)(x  3)
(x 1)(x  3)     7  65 7 65  x
(th?a dk) • Vậy S    .  4   2 4  
2x  7x  2  0   7 65 x  (th?a dk).  4
Ví dụ 10. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 1 4 a).
 1; Đáp số S  1;  5 x  2 x 1 Trang 21 x 1    b).   3 ; Đáp số 11 21 S    2x 1 2  x  10   2 x x 1 1 c).  ;
Đáp số S    1
(x  2)(x  3) x  3 x 1 x  4 d).   S  3  ;1 x 1 x  2 (x 1)(x  . Đáp số   2) Lời giải. 1 4 a).   1 (1) . x  2 x 1
• Điều kiện x  1, x  2 .
• Phương trình (1) tương đương với
x 1 4(x  2)
(x  2)(x 1) [t] 
(x  2)(x 1)
(x  2)(x 1)
• Vậy S  1;  5 . x 1(th?a dk) 2 
x  6x  5  0  x  5(th?a dk). x 1 b).   3 (1) . 2x 1 2  x 1
• Điều kiện x  , x  2 . 2
• Phương trình tương đương với
x(2  x)  (2x 1)
3(2  x)(2x 1) [t] 
(2  x)(2x 1)
(2  x)(2x 1)     11 21 11 21  x
(th?a dk) • Vậy S    .  10   2 10  
5x 11x  5  0   11 21 x  (th?a dk).  10 x 1 c).   3 (1) . 2x 1 2  x
• Điều kiện x  2, x  3 .
• Phương trình (1) tương đương với 2 x x 1 x  2 [t] 
(x  2)(x  3)
(x  2)(x  3) • Vậy S    1 . 2 
x  2x 1  x  1(th?a dk). Trang 22 x 1 x  4 d).   (1) x 1 x  2 (x 1)(x  . 2)
• Điều kiện x  2, x  1.
• Phương trình (1) tương đương với
x(x  2)  (x 1) x  4 [t] 
(x 1)(x  2)
(x 1)(x  2) x 1(th?a dk) 2 
x  2x  3  0  x  3  (th?a dk). • Vậy S   3  ;  1 .
Ví dụ 11. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: 3 2 2
x  3x  4x  2 2x  3x a). S  1  ;2 3 2 x 1
x x  ; Đáp số   1 2 x  3x  4 1 b). S   4 3 2 x 1
x x x  . Đáp số   3 1 Lời giải. 3 2 2
x  3x  4x  2 2x  3x [t]  3 2 x 1 x x 1 a).
• Điều kiện x 1. 3 2 2
x  3x  4x  2 2x  3x   (1). 2 2
(x 1)(x x 1) x x 1
• Phương trình (1) tương đương với 3 2 2
x  3x  4x  2
(2x  3x)(x 1) [t]  2 2
(x 1)(x x 1)
(x 1)(x x  1) 3 2
x  2x x  2  0 2
x (x  2)  (x  2)  0 2
 (x  2)(x 1)  0 2
 x  2  0x 1 0 
 x  2(th?a dk)x  1
 (th?a dk)x 1(không th?a dk). • Vậy S   1  ;  2 . 2 2 x  3x  4 1 x  3x  4 1 b).    (1) 4 3 2 2 2 x 1
x x x 1
(x 1)(x 1)(x 1) (x 1)(x  . 1) Trang 23
• Điều kiện x  1  .
• Phương trình (1) tương đương với 2 x  3x  4 (x 1) [t]  2 2
(x 1)(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)(x 1) • Vậy S  3.
x  1(không th?a dk) 2 
x  2x  3  0  x  3  (th?a dk).
Ví dụ 12. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: 3 2 2
x x x 1 x x   a). S    3 2 x 1
x x  ; Đáp số 1 1  3 2 2 x x  2 x b). S  4 3 2 x 1
x x x  . Đáp số   2 1 Lời giải. 3 2 2
x x x 1 x x [t]  3 2 x 1 x x 1 a).
• Điều kiện x 1. 3 2 2
x x x 1 x x   (1). 2 2
(x 1)(x x 1) x x 1
• Phương trình (1) tương đương với 3 2 2
x x x 1
(x x)(x 1) [t]  2 2
(x 1)(x x 1)
(x 1)(x x 1)  1
x 1(không th?a dk) • Vậy S    .  3 2  
3x  2x 1  0  1 x   (th?a dk).  3 2 2 x x  2 x [t]  4 3 2 x 1
x x x 1 b).
• Điều kiện x  1  . 2 2 x x  2 x   2 2
(x 1)(x 1)(x 1) (x 1)(x 1)
• Phương trình (1) tương đương với 2 2 x x  2 x (x 1) [t]  2 2
(x 1)(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)(x  1) 3 2
x  2x x  2  0 2
x (x  2)  (x  2)  0 Trang 24 2
 (x  2)(x 1)  0
 x  2(th?a dk)x  1
 (không th?a dk)x 1(không th?a dk).
• Vậy S    2 .
Ví dụ 13. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). (x 1)(x  2)(x  3)  0 ; Đáp số S  1;2;  3 b). 3 2
x  6x 11x  6  0 ;
Đáp số S  1;2;  3 c). 3 2
x  3x  3x 1  0 ;
Đáp số S    1 d). 3 2
x  3x  2x  6  0 .
Đáp số S  3; 2 Lời giải. [t]
(x 1)(x  2)(x  3)  0 x 1  0 x  1 a).    Vậy S  1;2;  3 .
x  2  0  x  2   x  3  0 x  3.   3 2 [t]
x  6x 11x  6  0 b). 2 
(x 1)(x  5x  6  0)  0 Vậy S  1; 2;  3 . x  1 x 1  0     x  2 2 
x  5x  6  0 x  3.  c). 3 2 3
x  3x  3x 1  0  (x 1)  0  x  1 Vậy S    1 . d). 3 2 2 2 [t]
x  3x  2x  6  0  x (x  3)  2(x  3)  0  (x  3)(x  2)  0 x  3  0 x  3      2 x  2  0 x   2.
Vậy S  3; 2
Ví dụ 14. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). x(x 1)(x  4)  0 ;
Đáp số S  0;1;  4 Trang 25 b). 3 2
x x x 1  0 ;
Đáp số S    1 c). 3 2
x  5x  4x  0 ; Đáp số S  0;1;  4 d). 3 2
x  3x  2x  6  0 .
Đáp số S    3 Lời giải. [t]
x(x 1)(x  4)  0 x  0 x  0 a).    Vậy S  0;1;  4 .
x 1  0  x  1   x  4  0 x  4.   3 2 [t]
x x x 1  0 b). 2 2 
x (x 1)  (x 1)  0  (x 1)(x 1)  0 Vậy S    1 . x 1  0 x  1     2 2 x 1  0
x 1  0(vô nghi?m). 3 2 [t]
x  5x  4x  0 c). 2 
x(x  5x  4)  0 Vậy S  0;1;  4 . x  0 x  0     x  1 2 
x  5x  4  0 x  4.  3 2 [t]
x  3x  2x  6  0 d). 2 2 
x (x  3)  2(x  3)  0  (x  3)(x  2)  0 Vậy S    3 . x  3  0 x  3     2 2 x  2  0
x  2  0(vô nghi?m).
Ví dụ 15. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 2 2
(x x  4)(x  3x)  0 ; Đáp số S  0;  3 b). 2 2 2
(x x  2)  (2x  2)  0 ;
Đáp số S  0;  3 c). 2 2 2
(x  4x)  4(x  4x) ; Đáp số S  0;4;2  2 2    d). 2 2 3
(x  3)  5x 15x  0 ; Đáp số 5 37 S   3;   2   e). 3
(x  2)  x 1  (x 1)(x 1) .
Đáp số S    2 Lời giải. Trang 26 2   2 1 7
x x  4  0  x    0(vô nghi?m) x  0   a). 2 2
[t] (x x  4)(x  3x)  0     2  4   Vậy 2
x 3x  0 x  3.
x(x 3)  0 S  0;  3 . b). 2 2 2
[t](x x  2)  (2x  2)  0 2 2
 (x x  2)  (2x  2) (x x  2)  (2x  2)  0     2 2
 x 3x  0x x  4  0  2   1  7
 x(x 3)  0 x    0(vô nghi?m)     2  4 
 x  0x  3.Vậy S 0;  3 . c). 2 2 2
[t](x  4x)  4(x  4x) 2 2 2
 (x  4x)  4(x  4x)  0 2 2
 (x  4x)(x  4x  4)  0 2 2
 x  4x  0x  4x  4  0  2
 x(x  4)  0x  4x  4  0 
 x  0x  4x  2  2 2x  2  2 2. 
Vậy S  0;4;2  2 2 . 2 2 3 2 2 2 2 2 [t]
(x  3)  5x 15x  0  (x  3)  5x(x  3)  0  (x  3)(x  5x  3)  0 x   3 d). 2 x  3  0  Vậy      2 5 37
x  5x  3  0 x  .  2  5  37   S   3; .  2   e). 3
[t](x  2)  x 1  (x 1)(x 1) 3
 (x  2)  (x 1)  (x 1)(x 1)  0 3
 (x  2)  (x 1)(x  2)  0 2
 (x  2) (x  2)  (x 1)  0   2
 (x  2)(x  3x  5)  0 Trang 27 2
 x  2  0x  3x  5  0   x  2.
 Vậy S    2 .
Ví dụ 16. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: a). 2 2
(x  2x 1)(x  4x)  0 ;
Đáp số S  0;1;  4 b). 2 2 2
(x 1)  4x  0 ;
Đáp số S    1 c). 2 2 2
(x  5x)  6(x  5x) ; Đáp số S   6  ; 5  ;0;  1   d). 2 2 3
(2x  3) 10x 15x  0 ; Đáp số 3 S  1  ;   2  e). 3
(x 1)  x 1  (x 1)(x  2) .
Đáp số S    0 Lời giải. 2 2 [t]
(x  2x 1)(x  4x)  0 x  1 a). 2 2 2
x  2x 1  0
x  2x 1  0 (x 1)  0  Vậy S  0;1;  4 .        x  0 2 2 
x  4x  0
x  4x  0
x(x  4)  0 x  4.  2 2 2 2 2 2 [t]
(x 1)  4x  0  (x 1)  (2x)  0 b). 2 2
x  2x 1  0 (x 1)  0
x 1 Vậy S    1 . 2 2 
(x  2x 1)(x  2x 1)  0       2 2
x  2x 1 0 (x 1)  0 x  1.  2 2 2 [t]
(x  5x)  6(x  5x) x  0  c).
x(x  5)  0 x  5  Vậy 2 2 2 2 2 (x 5x) 6(x 5x) 0 (x 5x)(x 5x 6) 0               2
x  5x  6  0 x 1  x  6.  S   6  ; 5  ;0;  1 . 2 2 3 [t]
(2x  3) 10x 15x  0  3  d). 2 2 2 2 2 
(2x  3)  5x(2x  3)  0  (2x  3)(2x  5x  3)  0 Vậy S  1  ;  .  2    2 x 1
2x  3  0(vô nghi?m)     3 2
2x 5x  3  0 x  .  2 Trang 28 3 [t]
(x 1)  x 1  (x 1)(x  2) e). x  0 Vậy S    0 . 3 2 2 
x  2x  5x  0  x(x  2x  5)  0   2
x  2x  5  0(vô nghi?m).
Ví dụ 17. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: a). 2
(x 1)  3(x 1)  2  0 ; Đáp số S  2;  3 b). 2 2 2
(x  2x  3)  5(x  2x  3)  6  0 ;
Đáp số S  0;1;  2   c). 2 2 2
(2x x  2) 10x  5x 16  0 ; Đáp số 3 S   ;1  2  d). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 ;
Đáp số S  0;2;1 3 e). 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2 ;
Đáp số S   3  ; 2  ;0;  1 2 x 3x f).   2  0 S   2 (x 1) x  ; Đáp số   2 1 3x x 1   g).  3
10  0 . Đáp số 1 3 S   ;   x 1 x  4 4  Lời giải. a). 2
(x 1)  3(x 1)  2  0 (1) . t  1
Đặt t x 1. Phương trình (1) trở thành 2
t  3t  2  0   t  2.
b). Với t 1 thì x 1 1  x  2.
c). Với t  2 thì x 1  2  x  3. Vậy S  2;  3 . d). 2 2 (x 2x 3) 5(x    2x  3)  6  0 (1) . t  2 Đặt 2
t x  2x  3 . Phương trình (1) trở thành 2
t  5t  6  0   . t  3
e). Với t  2 thì 2 2 2
x  2x  3  2  x  2x 1  0  (x 1)  0  x  1. x  0
f). Với t  3 thì 2 2
x  2x  3  3  x  2x  0  x(x  2)  0   x  2. Trang 29 Vậy S  0;1;  2 . g). 2 2 2 2 2 2
(2x x  2) 10x  5x 16  0  (2x x  2)  5(2x x  2)  6  0 (1) . t 1 Đặt 2
t  2x x  2 . Phương trình (1) trở thành 2
t  5t  6  0   t  6.  x 1
h). Với t 1 thì 2 2 
2x x  2  1  2x x  3  0  3 .  x    2
i). Với t  6  thì 2 2
2x x  2  6
  2x x  4  0 (vô nghiệm).  3 
Vậy S   ;1 .  2  j). 4 2
(x 1)  4(x 1)  3  0 (1) . t  1(th?a dk) Đặt 2
t  (x 1) , (t  0) . Phương trình (1) trở thành 2
t  4t  3  0   t  3(th?a dk). x 1  1 x  2
k). Với t 1 thì 2 (x 1)  1     x 1  1 x  0. x 1 3 x 1 3
l). Với t  3 thì 2 (x 1)  3     x 1  3 x 1 3.
Vậy S  0;2;1 3 . m). 2 2 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2  (x  2x 1) (x  2x 1) 1  2 (1)   . t  1  Đặt 2
t x  2x 1. Phương trình (1) trở thành 2
t(t 1)  2  t t  2  0   t  2. x  0
n). Với t  1  thì 2 2
x  2x 1  1
  x  2x  0  x(x  2)  0   x  2.  x 1
o). Với t  2 thì 2 2
x  2x 1  2  x  2x  3  0   x  3.  Vậy S   3  ; 2  ;0;  1 . 2 x 3x p).   2  0(1) x   . 2 (x 1) x  . Điều kiện 1 1 Trang 30t  1 Đặ x t t
. Phương trình (1) trở thành 2
t  3t  2  0   x 1 t  2. x
q). Với t 1 thì
1  x x 1  0x 1 (vô nghiệm). x 1 x
r). Với t  2 thì
 2  x  2(x 1)  x  2 (thỏa đk). x 1 Vậy S    2 . 3x x 1 3x 1 s).  3 10  0   3
10  0(1) . Điều kiện x  1, x  0 . x 1 x x 1 x x 1  1 t   Đặ x 1 t t  . Phương trình  (1) trở thành 2
3t  10  0  t 10t  3  0  3 x 1 t  t  3.  1 x 1 1
t). Với t   thì
   3x  (x 1)  4x  1  x   (thỏa đk). 3 x 1 3 4 x 3
u). Với t  3    3
  x  3(x 1)  4x  3  x   (thỏa đk). x 1 4  1 3 
Vậy S   ;   .  4 4 
Ví dụ 18. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: a). 2
(x  2)  3(x  2)  2  0 ;
Đáp số S   1  ;  0 b). 2 2 2
(x  2x)  5(x  2x)  6  0 ; Đáp số S  1 2;1 7 c). 2 2 2
(x x  2)  2x  2x  4  0 ; Đáp số S   2  ; 1  ;0;  1     d). 4 2
(2x 1)  4(2x 1)  3  0 ; Đáp số 1 3 S   1  ;0;   2   e). 2 2
(x x 1)(x x 1)  3 ;
Đáp số S   2  ;  1 2 x x   f).   2  0 S    2 (x 1) x  ; Đáp số 2 1  3  2x x 1   g).  2  5  0 S     x  . Đáp số 2 1 ; 1 x  3 3  Trang 31 Lời giải. a). 2
(x  2)  3(x  2)  2  0(1) . t  1
Đặt t x  2. Phương trình (1) trở thành 2
t  3t  2  0   t  2.
b). Với t 1 thì x  2 1  x  1  .
c). Với t  2 thì x  2  2  x  0 . Vậy S   1  ;  0 . d). 2 2 2
(x  2x)  5(x  2x)  6  0(1) . t  1 Đặt 2
t x  2x . Phương trình (1) trở thành 2
t  5t  6  0   t  6. x 1 2
e). Với t 1 thì 2 2
x  2x  1  x  2x 1  0   x 1 2. 1   7
f). Với t  6 thì 2 2
x  2x  6  x  2x  6  0   1   7.
Vậy S  1 2;1 7 . g). 2 2 2 2 2 2
(x x  2)  2x  2x  4  0  (x x  2)  2(x x  2)  0(1) . t  0 Đặt 2
t x x  2 . Phương trình (1) trở thành 2
t  2t  0  t(t  2)  0   t  2.  x  1
h). Với t  0 thì 2
x x  2  0   x  2.  x  0
i). Với t  2  thì 2 2
x x  2  2
  x x  0  x(x 1)  0   x  1.  Vậy S   2  ; 1  ;0;  1 . j). 4 2
(2x 1)  4(2x 1)  3  0(1) . t  1(th?a dk) Đặt 2
t  (2x 1) , t  0 . Phương trình (1) trở thành 2
t  4t  3  0   t  3(th?a dk). 2x 1  1 x  0
k). Với t 1 thì 2 (2x 1)  1     2x 1  1  x  1.  Trang 32  1   3  x  2x 1   3 2
l). Với t  3 thì 2 (2x 1)  3     2x 1 3  1   3 x  .  2  1   3  Vậy  1  ;0;  .  2   m). 2 2
(x x 1)(x x 1)  3 (1) . t  1 Đặt 2
t x x 1. Phương trình (1) trở thành 2
t(t  2)  3  t  2t  3  0   t  3.  x  1
n). Với t 1 thì 2 2
x x 1  1  x x  2  0   x  2. 
o). Với t  3  thì 2 2
x x 1  3
  x x  2  0 (vô nghiệm). Vậy S   2  ;  1 . 2 x x p).   2  0 (1) x   . 2 (x 1) x  . Điều kiện 1 1 t 1 Đặ x t t
. Phương trình (1) trở thành 2
t t  2  0   x 1 t  2.  x
q). Với t 1 thì
1  x x 1  0x 1 (vô nghiệm). x 1 x 2
r). Với t  2  thì  2   x  2(
x 1)  x   (thỏa đk). x 1 3  2 
Vậy S    .  3  2x x 1 2x 2 s).  2  5  0    5  0
(1) . Điều kiện x  1, x  0 . x 1 x x 1 x x 1 t  2  Đặ x 2 t t
. Phương trình (1) trở thành 2  2t
 5  0  2t  5t  2  0  1 x 1 tt   .  2 x 2
t). Với t  2  thì  2   x  2(
x 1)  x   (thỏa đk). x 1 3 1 x 1 1
u). Với t   thì
   2x  (x 1)  x   (thỏa đk). 2 x 1 2 3 Trang 33  2 1 
Vậy S   ;   .  3 3 
Ví dụ 19. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). x  2 x x  2 ;
Đáp số S  1;  4
b). 2x x  3  7  0 .
Đáp số S    4 Lời giải.
a). [t]x  2 x x  2
x  2  3 x   2
x  2  0(x  2)  9x   2 x  2
x 5x  4  0  x  2
 x 1(th?a dk)x  4(th?a dk) Vậy S  1;  4 .
b). [t]2x x  3  7  0
 2x 7  x 3   2
2x  7  0(2x  7)  x  3  7 2
 x  4x  29x  52  0  2  7  13  x
x  4(th?a dk)x  (không th?a dk)  Vậy S    4 .  2  4
Ví dụ 20. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). x  2 x x  6 ;
Đáp số S    4
b). x x 1  7  0 .
Đáp số S    10 Lời giải.
a). [t]x  2 x x  6
x  6  x Trang 34   2
6  x  0x  (6  x)   2
x  6x 13x  36  0
 x  6x  4(th?a dk) x  9(th?a dk) Vậy S    4 .
b). [t]x x 1  7  0
x  7  x 1   2
x  7  0(x  7)  x 1   2
x  7x 15x  50  0
 x  7x  5(không th?a dk)x 10(th?a dk) Vậy S   10 . Bài 1. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
x x  2  0 ; Đáp số S   2 b). 4 2
x  3x  2  0 ; Đáp số S  1; 2   c). 4 2
2x  5x  2  0 ; Đáp số 1 S   2;    2  d). 4 2
(x  2)  6(x  2)  5  0 .
Đáp số S  1;3;2  5 Lời giải. a). 4 2
x x  2  0 . t  1  (không th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
t t  2  0   t  2(th?a dk). Với t  2 thì 2
x  2  x   2 .
Vậy S   2 . b). 4 2
x  3x  2  0 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
t  3t  2  0   t  2(th?a dk).
c). Với t 1 thì 2
x  1  x  1. Trang 35
d). Với t  2 thì 2
x  2  x   2 .
Vậy S  1; 2 . e). 4 2
2x  5x  2  0 . t  2(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2 
2t  5t  2  0  1  t  (th?a dk).  2
f). Với t  2 thì 2
x  2  x   2 . 1 1 1 g). Với t  thì 2 x   x   . 2 2 2  1 
Vậy S   2;   .  2  h). 4 2
(x  2)  6(x  2)  5  0 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t  (x  2) , t  0 . Phương trình trở thành 2
t  6t  5  0   t  5(th?a dk). x  2  1 x  1 
i). Với t 1 thì 2 (x  2)  1     x  2  1  x  3.  x  2  5 x  2   5
j). Với t  5 thì 2 (x  2)  5     x  2   5 x  2   5.
Vậy S  1;3;2  5 . Bài 2. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2 2
3x x x 1; Đáp số S    1 b). 4 2
x x  2 ;
Đáp số S    1 c). 4 2 2
x  4x x  6 ; Đáp số S  1; 6 d). 4 2
(x  2)  3(x  2)  2 . Đáp số S  1; 2 Lời giải. a). 4 2 2 4 2
3x x x 1  3x  2x 1  0 . Trang 36t 1(th?a dk) Đặt 2 t x , 
t  0 . Phương trình trở thành 2
3t  2t 1  0  1 
t   (không th?a dk).  3
b). Với t 1 thì 2
x  1  x  1. Vậy S    1 . c). 4 2 x x  2 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
t t  2  0   t  2(  không th?a dk).
d). Với t 1 thì 2
x  1  x  1. Vậy S    1 . e). 4 2 2
x  4x x  6 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
t  5t  6  0   t  6(th?a dk).
f). Với t 1 thì 2
x  1  x  1.
g). Với t  6 thì 2
x  6  x   6 .
Vậy S  1; 6 . h). 4 2
(x  2)  3(x  2)  2 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t  (x  2) , t  0 . Phương trình trở thành 2
t  3t  2  0   t  2(th?a dk).
i). Với t 1 thì 2
x  1  x  1.
j). Với t  2 thì 2
x  2  x   2 .
Vậy S  1; 2 . Bài 3. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 4 2
0,1x  0,8x  0, 7  0 ; Đáp số S  1; 7 b). 4 2
3x  4, 4x 1, 4  0 ;
Đáp số S   c). 4 2
x  3,3x  4,3  0 ;
Đáp số S    1 Trang 37 1 d). 2 x   2 .
Đáp số S    1 2 x Lời giải. a). 4 2
0,1x  0,8x  0, 7  0 . t  1(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
0,1t  0,8t  0, 7  0   t  7(th?a dk).
b). Với t 1 thì 2
x  1  x  1.
c). Với t  7 thì 2
x  7  x   7 .
Vậy S  1; 7 . d). 4 2
3x  4, 4x 1, 4  0 . t  1  (không th?a dk) Đặt 2 t x , 
t  0 . Phương trình trở thành 2
3t  4, 4t 1, 4  0  1, 4  t   (không th?a dk).  3 Vậy S   . e). 4 2
x  3,3x  4,3  0 . t 1(th?a dk) Đặt 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2
t  3, 3t  4, 3  0   t  4  ,3(không th?a dk)
f). Với t 1 thì 2
x  1  x  1. Vậy S    1 . 1 g). 2 x
 2 . Điều kiện x  0 . 2 x Đặ 1 t 2
t x , t  0 . Phương trình trở thành 2 2
t   2  t  2t 1  0  (t 1)  0  t  1 (thỏa đk). t
h). Với t 1 thì 2
x  1  x  1 (thỏa đk). Vậy S    1 . Bài 4. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 2 x  4x 2x a). S  2  ;0 2x 1
2x  ; Đáp số   1 Trang 38 x 1 3   b).  2  ; Đáp số 5 S  1  ;  x  2 x 1  4  2 x 2x  3x  4 c).  .
Đáp số S    2 x 1
(x 1)(x  3) Lời giải. 2 x  4x 2x 1 a).  (1) x   . 2x 1 2x  . Điều kiện 1 2
Phương trình (1) tương đương với x  0(th?a dk) 2 2
x  4x  2x x  2x  0  x(x  2)  0   x  2(  th?a dk). Vậy S   2  ;  0 . x 1 3 b).  2 
(1) . Điều kiện x  1, x  2 . x  2 x 1
Phương trình (1) tương đương với x 1(th?a dk)
2x(2  x)  (2x 1)
3(2x 1)(2  x) 2  
 4x  9x  5  0  5
(2x 1)(2  x)
(2x 1)(2  x) x  (th?a dk).  4  5  Vậy S  1  ;  .  4  2 x 2x  3x  4 c).  (1) x x   . x 1 (x 1)(x  . Điều kiện 1, 3 3)
Phương trình (1) tương đương với 2 x(x  3) 2x  3x  4 2 
x  4  0  x  2 
(x 1)(x  3) (x 1)(x  (thỏa đk). 3) Vậy S    2 . Bài 5. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: 1 3 a).
 1; Đáp số S   7 x  3 x 1 2x 1   b).   3 ; Đáp số 5 S  1  ;  2x 1 2  x  4  Trang 39 2 x x 1 1 c).  ;
Đáp số S   1  ;  3
(x  2)(x  5) x  5 x 1 1 3x  4    d).   S    x 1 x  2 (x 1)(x  . Đáp số 3 37 2)  2   Lời giải. 1 3 a).
 1(1) . Điều kiện x  3, x  1. x  3 x 1
Phương trình (1) tương đương với
(x 1)  3(x  3)
(x 1)(x  3) 2 
x  7  x   7
(x 1)(x  3) (x 1)x  (thỏa đk). 3
Vậy S   7 . 2x 1 1 b).
 3(1) . Điều kiện x  , x  2 . 2x 1 2  x 2
Phương trình (1) tương đương với x 1(th?a dk)
2x(2  x)  (2x 1)
3(2x 1)(2  x) 2  
 4x  9x  5  0  5
(2x 1)(2  x)
(2x 1)(2  x) x  (th?a dk).  4  5  Vậy S  1  ;  .  4  2 x x 1 1 c).  (1) x   x  .
(x  2)(x  5) x  . Điều kiện 2, 5 5
Phương trình (1) tương đương với 2 x x 1 x  2 x  1  (th?a dk) 2 
x  2x  3  0  
(x  2)(x  5)
(x  2)(x  5) x  3(th?a dk). Vậy S   1  ;  3 . x 1 1 3x  4 d).   (1) x x  . x 1 x  2 (x 1)(x  . Điều kiện 1, 2 2)
Phương trình (1) tương đương với Trang 40  3  37 x  (th?a dk)
(x 1)(x  2)  (x 1) 3x  4 2 2 
x  3x  7  0  
(x 1)(x  2)
(x 1)(x  2)  3  37 x  (th?a dk).  2 3 37  Vậy S   .  2   Bài 6. [9D4K7]
Giải các phương trình sau: 3 2 2
x x x 1 x x a). S   3 2 x 1
x x  ; Đáp số   1 1 2 x x  2 1 b).  4 3 2 x 1
x x x  ;
Đáp số S   1 Lời giải. 3 2 2 3 2 2
x x x 1 x x
x x x 1 x x a).   
(1) . Điều kiện x 1. 3 2 2 2 x 1 x x 1
(x 1)(x x 1) x x 1
Phương trình (1) tương đương với 3 2 2
x x x 1
(x x)(x 1)
x 1(không th?a dk) 2 
x 1  0   2 2
(x 1)(x x 1)
(x 1)(x x 1) x  1  (th?a dk). Vậy S    1 . 2 2 x x  2 1 x x  2 1 b).    (1) x   . 4 3 2 2 2 x 1
x x x 1
(x 1)(x 1)(x 1) (x 1)(x  . Điều kiện 1 1)
Phương trình (1) tương đương với 2 x x  2 x 1 2 
x 1  x  1  2 2
(x 1)(x 1)(x 1)
(x 1)(x 1)(x  (không thỏa đk). 1) Vậy S   . Bài 7. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). x(x  3)(x  5)  0 ;
Đáp số S  0;3;  5 b). 3 2
x  8x 15x  0 ;
Đáp số S  0;3;  5 c). 3 2
x  6x 12x  8  0 ;
Đáp số S    2 Trang 41     d). 3 2
x  4x  3x  2  0 . Đáp số 5 17 S  1  ;   2   Lời giải. x  0 x  0  
a). x(x  3)(x  5)  0  x  3  0  x  3   x  5  0 x  5.   Vậy S  0;3;  5 . x  0 x  0  b). 3 2 2
x  8x 15x  0  x(x  8x 15)  0    x  3 2 
x 8x 15  0 x  5.  Vậy S  0;3;  5 . c). 3 2 3
x  6x 12x  8  0  (x  2)  0  x  2 . Vậy S    2 . x  1 x 1  0  d). 3 2 2
x  4x  3x  2  0  (x 1)(x  5x  2)  0      2 5 17 x 5x 2 0     x  .  2  5   17  Vậy S  1  ;  .  2   Bài 8. [9D4B7]
Giải các phương trình sau: a). 2 2
(x x)(x  3x)  0 ;
Đáp số S  0;1;  3    b). 2 2 2
(x  2x)  (x  2)  0 ; Đáp số 3 17 S     2   c). 2 2 2
(x  2x)  3(x  2x) ; Đáp số S   1  ;0;2;  3    d). 2 2 3
(x 1)  5x  5x  0 ; Đáp số 5 21 S     2   e). 3
(x 1)  x 1  (x 1)(2x 1) . Đáp số S    1 Lời giải. Trang 42x  0 2 x x  0
x(x 1)  0  a). 2 2
(x x)(x  3x)  0     x  1  2 
x 3x  0
x(x  3)  0 x  3.  Vậy S  0;1;  3 . b). 2 2 2
[t](x  2x)  (x  2)  0 2 2
 (x  2x)  (x  2) (x  2 )
x  (x  2)  0     2 2
 (x  3x  2)(x x  2)  0 2 2
 x 3x  2  0x x  2  0(vô nghi?m)   3  17 3  17  x x  . 2 2  3 17  Vậy S   .  2   2 2 2 2 2 2 [t]
(x  2x)  3(x  2x)  (x  2x)  3(x  2x)  0 x  0  c). 2
x  2x  0 x  2 2 2 (x 2x)(x 2x 3) 0          2
x  2x  3  0 x 1  x  3. Vậy S   1  ;0;2;  3 . 2 2 3 2 2 2 [t]
(x 1)  5x  5x  0  (x 1)  5x(x 1)  0 5 21 d). 2
x 1  0(vô nghi?m)
5  21 Vậy S    . 2 2 
(x 1)(x  5x 1)  0    x  .  2   2
x 5x 1 0 2 e). 3
[t](x 1)  x 1  (x 1)(2x 1) 3
 (x 1)  (x 1)  (x 1)(2x 1)  0 3
 (x 1)  (x 1)(2x  2)  0 2
 (x 1) (x 1)  2(x 1)  0   2
 x 1 0x  3  0(vô nghi?m)   x  1.  Vậy S    1 . Trang 43 Bài 9. [9D4K7]
Giải các phương trình sau:   a). 2
(3x 1)  3(3x 1)  2  0 ; Đáp số 1 S  0;   3 b). 2 2 2
(x x)  5(x x)  6  0 ;
Đáp số S      c). 2 2 2
(x x)  2x  2x  3  0 ; Đáp số 1 5 S     2   d). 4 2
(x  4)  7(x  4)  6  0 ;
Đáp số S  5;3;4  6 e). 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2 ;
Đáp số S   2  ;  0 2 x 3x f).   2  0 S   2 (x 1) x  ; Đáp số   2 1 2x x 1 g).   2  0 ;
Đáp số S    1 x 1 2x Lời giải. a). 2
(3x 1)  3(3x 1)  2  0 . t  1
Đặt t  3x 1. Phương trình trở thành 2
t  3t  2  0   t  2.
b). Với t 1 thì 3x 1 1  x  0 . 1
c). Với t  2 thì 3x 1  2  x  . 3  1
Vậy S  0;  .  3 d). 2 2 2
(x x)  5(x x)  6  0 . t  2  Đặt 2
t x x . Phương trình trở thành 2
t  5t  6  0   t  3. 
e). Với t  2  thì 2 2 x x  2
  x x  2  0 (vô nghiệm).
f). Với t  3  thì 2 2 x x  3
  x x  3  0 (vô nghiệm). Vậy S   . g). 2 2 2 2 2 2
(x x)  2x  2x  3  0  (x x)  2(x x)  3  0 . Trang 44t 1 Đặt 2
t x x . Phương trình trở thành 2
t  2t  3  0   t  3.  1 5
h). Với t 1 thì 2 2
x x  1  x x 1  0  x  . 2
i). Với t  3  thì 2
x x  3  0 (vô nghiệm).  1   5  Vậy S   .  2   j). 4 2
(x  4)  7(x  4)  6  0(1) . t  1(th?a dk) Đặt 2
t  (x  4) , t  0 . Phương trình (1) trở thành 2
t  7t  6  0   t  6(th?a dk). x  4  1 x  3 
k). Với t 1 thì 2 (x  4)  1     x  4  1  x  5.  x  4  6 x  4   6
l). Với t  6 thì 2 (x  4)  6     x  4   6 x  4   6.
Vậy S  5;3;4  6 . m). 2 2
(x  2x 1)(x  2x  2)  2 . t  1 Đặt 2
t x  2x 1. Phương trình trở thành 2
t(t 1)  2  t t  2  0   t  2.  x  0
n). Với t 1 thì 2 2
x  2x 1  1  x  2x  0  x(x  2)  0   x  2. 
o). Với t  2  thì 2 2
x  2x 1  2
  x  2x  3  0 (vô nghiệm). Vậy S   2  ;  0 . 2 x 3x p).   2  0(1) x   . 2 (x 1) x  . Điều kiện 1 1 t  1 Đặ x t t
. Phương trình (1) trở thành 2
t  3t  2  0   x 1 t  2. x
q). Với t 1 thì
1  x x 1  0x 1 (vô nghiệm). x 1 x
r). Với t  2 thì
 2  x  2(x 1)  x  2 x  (thỏa đk). 1 Trang 45 Vậy S    2 . 2x x 1 2x 1 s).   2  0  
 2  0(1) . Điều kiện x  1, x  0 . x 1 2x x 1 2x x 1 Đặ 2x 1 t t
. Phương trình (1) tương đương với 2 2
t   2  0  t  2t 1  0  (t 1)  0  t  1 x 1 t . 2x Với t 1 thì
1  2x x 1  x  1 (thỏa đk). x 1 Vậy S    1 . Bài 10. [9D4B7]
Giải các phương trình sau:
a). x  2 x  2 x  3 ;
Đáp số S  1;  9
b). x  2 x  2  2  0 .
Đáp số S  2;  6 Lời giải.
a). [t]x  2 x  2 x  3
 4 x x  3   2
x  3  016x  (x  3)   2 x  3
x 10x  9  0  x  3
 x 1(th?a dk)x  9(th?a dk).Vậy S 1;  9 .
b). [t]x  2 x  2  2  0
x  2  2 x  2   2
x  2  0(x  2)  4(x  2)   2
x  2x  8x 12  0
 x  2x  2(th?a dk)x  6(th?a dk).Vậy S  2;  6 . --- HẾT --- Trang 46