Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Dương Minh Hùng

Tài liệu gồm 26 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Dương Minh Hùng, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về chủ đề phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng, giúp học sinh lớp 9 tham khảo khi học chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

52 26 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn

Môn: Toán 9

Thông tin:

26 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
➊. Công thức nghiệm:
➋. Công thức nghiệm thu gọn:
➌. Định lí Vi-ét:
Tóm tắt lý thuyết
Ⓐ
Phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a 0) có = b
2
- 4ac
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
➋
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
➍. Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)
➎. Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số:
Phân dạng toán cơ bản
Ⓑ
Phương pháp:
Chuyển vế
Quy đồng (ĐK nếu có)
Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất
❖Dạng ➊
Giải phương trình quy về bậc nhất
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
Điều kiện:
3x −
11
5 15
33
x
xx
+ = +
++
5 15x=
3x=
Lời giải
Điều kiện:
3x
(1)
xx 2713 −=+−
3= x
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Câu 1:
3x 1
x 1 2x 2 3x 1 x 1
2
−
− = − = − = −
Vậy phương trình có nghiệm x = -1
Câu 2:
Điều kiện: x
1
2
x 1 x x
x 1 x 1
++
=
−−
2
x1
x1
x1
=
=
=−
Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm x = -1
Câu 3:
Giải phương trình:
Ví dụ ➊
Giải phương trình: (1)
Ví dụ ➋
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau:
Câu 1:
Câu 2:
Câu 3:
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Điều kiện: x

1
2
6 3 15
x 1 x 1 x 1
+ =
− − +
6 + 3(x + 1) = 15(x – 1)
12x – 24 = 0
x = 2 (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Lời giải
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
= 51
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
51)49(
1
−=
−−−
=x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=x
Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
Cách 3: = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
=
−=
−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau
Công thức nghiệm
Nhẫm nghiệm đặc biệt
Sử dụng các ứng dụng của Vi-ét
Ẩn phụ
❖Dạng ➋
Giải phương trình bậc hai
Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0 b) (2- )x
2
+ 2 x – 2 – = 0
Ví dụ ➊
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
= (2
3
)
2
- 4(2-
3
)(– 2 –
3
) = 16;
= 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
)32(2
432
1
=
−
+−
=x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=x
Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2-
3
; b
’
=
3
; c = – 2 –
3
)
’
= (
3
)
2
- (2 -
3
)(– 2 –
3
) = 4;
= 2
Do
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
32
23
1
=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−
−−
=x
Cách 3: Nhẫm nghiệm đặc biệt
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32
+−=
−
−−
−
Lời giải
2 2 2
a)2x 8 0 2x 8 x 4 x 2− = = = =
Vậy phương trình có nghiệm
x2=
2
x0
x0
b)3x 5x 0 x(3x 5)
5
3x 5 0
x
3
=
=
− = −
−=
=
Vậy phương trình có nghiệm
5
x 0;x
3
==
2
c) 2x 3x 5 0− + + =
Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0
Do đó phương trình có nghiệm :
12
55
x 1;x
22
= − = − =
−
42
d)x 3x 4 0+ − =
Giải các phương trình sau:
Ví dụ ➋
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Đặt
2
t x (t 0)=
. Ta có phương trình :
2
t 3t 4 0+ − =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
Do đó phương trình có nghiệm :
1
t 1 0=
(thỏa mãn);
2
4
t 4 0
1
= − = −
(loại)
Với:
2
t 1 x 1 x 1= = =
Vậy phương trình có nghiệm
x1=
Lời giải
x 2 6
a) 3
x 5 2 x
+
+=
−−
(ĐKXĐ :
x 2;x 5
)
Phương trình :
x 2 6
3
x 5 2 x
+
+=
−−
22
2
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
+ − − − −
+ =
− − − − − −
+ − + − − = −
− + − − + = −
− + + =
= − − = + = =
Do đó phương trình có hai nghiệm :
1
15 17 1
x
2.( 4) 4
−+
= = −
−
(thỏa mãn ĐKXĐ)
2
15 17
x4
2.( 4)
−−
==
−
(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
1
x
4
=−
,
2
x4=
( ) ( )
2
)2 4 7 2b x x x+ + = +
2
4 3 0xx + + =
1
3
x
x
=−
=−
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
x1=−
,
2
x3=−
Giải các phương trình sau:
Ví dụ ➌
Bài tập rèn luyện
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a)
22
5 2 1x x x x− + = + −
22
2 1 5x x x x − − − = − −
36x − = −
2x=
b) Phương trình
2
2 9 4 0xx− + =
có:
2
( 9) 4.2.4 49 0 = − − =
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
9 49 1
42
9 49
4
4
x
x
−
==
+
==
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =
1
;4
2



Hướng dẫn giải
a) Nhẵm nghiệm đặc biêt:
Phương trình có a+b+c= 1-5+4=0
Do đó phương trình có hai nghiệm
1; 4xx==
Cách khác: Ta có
( ) ( )
22
5 4 0 4 4 0 4 4 0x x x x x x x x− + = − − + = − − − =
( )( )
1
1 4 0
4
x
xx
x
=
− − =
=
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
1;4S =
.
b)
2
2 3 0.xx− − =
Phương trình đã cho có
0a b c− + =
.
Suy ra phương trình có hai nghiệm
1x =−
và
3x =
.
c)
22
4 0 4 2x x x− = = =
Vậy phương trình có tập nghiệm
2S =
d)
2
0
50
5
x
xx
x
=
+ =
=−
Vậy phương trình có tập nghiệm
0; 5S =−
Câu 1: Giải các phương trình sau:
a) b)
Câu 2: Giải các phương trình sau:
a) b)
c) d)
Câu 3: Giải các phương trình sau:
a) b) x
4
- 20x
2
+ 64 = 0
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a) Đặt
2
( 0).t x t=
Phương trình
( )
1
trở thành
( )
42
12 16 0 2tt− + =
, Với
1, 12, 16.a b c= = − =
( )
2
' 6 1.16 36 16 20 ' 2 5. = − − = − = =
Vậy phương trình
( )
2
có hai nghiệm
( ) ( )
12
6 2 5 , 6 2 5 .t N t N= + = −
Vậy phương trình
( )
1
có bốn nghiệm
( )
12
6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1 ,xx= + = + = − + = − +
( )
34
6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1 .xx= − = − = − − = − −
Vậy phương trình có tập nghiệm
( ) ( )
5 1; 5 1 ; 5 1; 5 1 .S = + − + − − −
b) Đặt: x
2
= t 0.
Khi đó phương trình trở thành: t
2
- 20t + 64 = 0 t = 4 và t = 16.
Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2
Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4
Suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm
2; 4S =
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện:
0, 1, 2.x x x
Phương trình
( )
1
trở thành
( )
( )( )
( )( )
2 2 3 1 2
2
1 1 2 2
x x x x
x
x x x x
− − −
+=
− − −
2 2 2
2 4 2 3 9 6 7 6 0x x x x x x x − + = − + − + =
Vì
1 7 6 0abc+ + = − + =
. Nên
( ) ( )
12
1 , 6 .x L x N==
Vậy phương trình có nghiệm
6.x =
b) ĐKXĐ:
x 2 0 x 2
x 0 x 0
−




x 2 1 2
x 2 x x(x 2)
+
+=
−−
( )
( ) ( )
x x 2
x 2 2
x x 2 x x 2 x(x 2)
+
−
+=
− − −
x(x + 2) + x - 2 = 2 x
2
+ 2x + x - 2 = 2
x
2
+ x - 4 = 0
x1
x4
=
=
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}.
Câu 4: Giải các phương trình sau:
a) b)
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x
1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3−
; x
1
.x
2
=
5−
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21
22
=
−
−
=
+
=+
xx
xx
xx
Phương pháp:
Sử dụng các dạng phân tích của tổng và tích hai nghiệm:
①
.
②
.
③
.
④
.
⑤
.
⑥
.
⑦
.
⑧
.
⑨
.
⑩
.
❖Dạng ➌
Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét
Cho phương trình x
2
+ x - = 0 có 2 nghiệm là x
1
và x
2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A = ; B = x
1
2
+ x
2
2
; C = ; D = x
1
3
+ x
2
3
Ví dụ ➊
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2
+=−−−
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=
−
+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x
1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +−=−−+−
Lời giải
Ta có
1 2 1 2
8; 15
bc
x x x x
aa
+ = − = = =
a)
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 8 2.15 64 30 34x x x x x x+ = + − = − = − =
b)
12
1 2 1 2
1 1 8
15
xx
x x x x
+
+ = =
c)
22
1 2 1 2
2 1 1 2
34
15
x x x x
x x x x
+
+ = =
Đáp số:
a)
22
12
65xx+=
b)
12
1 1 9
8xx
+=
Đáp số:
Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) b) c)
Ví dụ ➋
Bài tập rèn luyện
Câu 1:
Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) b)
Câu 2:
Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) b)
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
a)
33
12
1526xx+=
b)
12
12
11
44
29
xx
xx
−−
−
+=
Lời giải
a) Với m = 3 ta có phương trình: x
2
– 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x
1
=
2
3 5; x 3 5+ = −
.
b) Ta có: ∆
/
= m
2
– 4
Phương trình (1) có nghiệm
/
m2
0
m -2
(*).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= 2m và x
1
x
2
= 4.
Suy ra: ( x
1
+ 1)
2
+ ( x
2
+ 1)
2
= 2
x
1
2
+ 2x
1
+ x
2
2
+ 2x
2
= 0
(x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
+ 2(x
1
+ x
2
) = 0
4m
2
– 8 + 4m = 0
m
2
+ m – 2 = 0
1
2
m1
m2
=
=−
.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m
2
= - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá
trị cần tìm.
Phương pháp: Sử dụng kết hợp
①. Định lý Vi-ét
②. Các hệ thức đối xứng
③. Các điều kiện có liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc
hai
❖Dạng ➍
Toán tham số m với ứng dụng định lý Vi-ét
Cho phương trình ẩn x: x
2
– 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
( x
1
+ 1 )
2
+ ( x
2
+ 1 )
2
= 2.
Ví dụ ➊
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a) Ta có ∆
/
= m
2
+ 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x
1
+ x
2
= 2m và x
1
.x
2
= - 1.
Ta có: x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
= 7
(x
1
+ x
2
)
2
– 3x
1
.x
2
= 7
4m
2
+ 3 = 7
m
2
= 1
m = ± 1.
Lời giải
a) Với m = 0 ta có phương trình x
2
– x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆
0
- 3 – 4m
0
4m
- 3
3m
4
−
(1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= 1 và x
1
.x
2
= 1 + m
Thay vào đẳng thức: x
1
x
2
.( x
1
x
2
– 2) = 3( x
1
+ x
2
), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3
m
2
= 4
m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Lời giải
a) Với m = 5 ta có phương trình: x
2
+ 12x + 25 =0.
∆’ = 6
2
-25 = 36 - 25 = 11
x
1
=
- 6 - 11
; x
2
=
- 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0
(m + 1)
2
- m
2
> 0
2m + 1 > 0
m >
- 1
2
(*)
Cho phương trình ẩn x: x
2
– 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
b) Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
= 7.
Ví dụ ➋
Cho phương trình ẩn x: x
2
– x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
x
1
x
2
.( x
1
x
2
– 2 ) = 3( x
1
+ x
2
).
Ví dụ ➌
Cho phương trình: x
2
+ 2 (m + 1)x + m
2
= 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1
nghiệm bằng - 2.
Ví dụ ➍
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Phương trình có nghiệm x = - 2
4 - 4 (m + 1) + m
2
= 0
m
2
- 4m = 0
m = 0
m = 4
(thoả mãn điều kiện (*))
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x
2
+ 8x = 0
x (x + 8) = 0
x = 0
x = - 8
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’
0
(m - 1)
2
+ (m + 3) ≥ 0
m
2
- 2m + 1 + m + 3 ≥ 0
m
2
- m + 4 > 0
2
1 15
(m ) 0
24
− +
đúng
m
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m
Theo hệ thức Vi ét ta có:
12
12
x + x = 2(m - 1) (1)
x - x = - m - 3 (2)
Ta có
22
12
x + x
= 10
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 10
4 (m - 1)
2
+ 2 (m + 3) = 10
4m
2
- 6m + 10 = 10
m = 0
2m (2m - 3) = 0
3
m =
2

c) Từ (2) ta có m = -x
1
x
2
- 3 thế vào (1) ta có:
x
1
+ x
2
= 2 (- x
1
x
2
- 3 - 1) = - 2x
1
x
2
- 8
x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2
+ 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.
Lời giải
Cho phương trình: x
2
- 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m.
Ví dụ ➎
Cho phương trình ẩn x: x
2
- (2m + 1) x + m
2
+ 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6.
Ví dụ ❻
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
a) m = - 2, phương trình là: x
2
+ 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân
biệt x
1, 2
=
- 3 33
2
b) Ta có ∆ =
2
2
- (2m +1 - 4 (m + 5m) =
4m
2
+ 4m + 1 - 4m
2
- 20m
= 1 - 16m.
Phương trình có hai nghiệm
∆ ≥ 0
1 - 16m ≥ 0
1
m
16

Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m
2
+ 5m.
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m
2
+ 5m = 6
m
2
+ 5m - 6 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m
1
= 1; m
2
= - 6.
Đối chiếu với điều kiện m ≤
1
16
thì m = - 6 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x
2
- 4x + 3 = 0
Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
= 3
b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
,2
b' - ac 0 =
2
2 (m 1) 0− +
3 - m
0
m
3 (1)
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có :
12
12
x x 4
x x m 1
+=
=+
22
12
x + x
= 5 (x
1
+ x
2
)
(x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 5 (x
1
+ x
2
)
4
2
- 2 (m +1) = 5.4
2 (m + 1) = - 4
m = - 3
Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3
Lời giải
x
2
- (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
Cho phương trình: x
2
- 4x + m +1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b)
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn đẳng
thức = 5 (x
1
+ x
2
)
Ví dụ ❼
Cho phương trình x
2
- (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
Ví dụ ❽
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
a) Khi m = 1, ta có phương trình x
2
- 6x + 5 = 0
a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0
x
1
= 1; x
2
= 5
b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)
2
- (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0
4 + 2m + 10 - m + 6 = 0
m = - 20
c) ∆ = (m + 5)
2
- 4(- m + 6) = m
2
+ 10m + 25 + 4m - 24
= m
2
+ 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m
2
+ 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x
1
+ x
2
= m + 5; P = x
1
. x
2
= - m + 6. Khi đó:
22
1 2 1 2 1 2 1 2
x x x x 24 x x x x 24()+ = + =
m 6 m 5 24( )( )− + + =
2
m m 6 0 m 3 m 2;.− − = = = −
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Lời giải
a) Với
2=m
, ta có phương trình:
0132
2
=++ xx
. Các hệ số của phương trình thoả mãn
0132 =+−=+− cba
nên phương trình có các nghiệm:
1
1
−=x
,
2
1
2
−=x
.
b) Phương trình có biệt thức
( ) ( ) ( )
0321.2.412
22
−=−−−= mmm
nên phương trình
luôn có hai nghiệm
21
, xx
với mọi
m
.
Theo định lý Viet, ta có:
−
=
−
−=+
2
1
.
2
12
21
21
m
xx
m
xx
.
Điều kiện đề bài
1424
2
221
2
1
=++ xxxx
( )
164
21
2
21
=−+ xxxx
. Từ đó ta có:
( ) ( )
11321
2
=−−− mm
0374
2
=+− mm
.
Phương trình này có tổng các hệ số
03)7(4 =+−+=++ cba
nên phương trình này có
các nghiệm
12
3
1,
4
mm==
.
Vậy các giá trị cần tìm của
m
là
3
1,
4
mm==
.
Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
.
Ví dụ ❾
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Lời giải
a) Khi
3=a
và
5b =−
ta có phương trình:
043
2
=−+ xx
.
Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm
4,1
21
−== xx
.
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt
21
, xx
2
4( 1) 0ab = − +
(*)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có
12
12
1
x x a
x x b
+ = −
=+
(1).
Bài toán yêu cầu
=−
=−
9
3
3
2
3
1
21
xx
xx
( ) ( )
12
3
1 2 1 2 1 2
x x 3
x x 3x x x x 9
−=
− + − =
−=
=−
2
3
21
21
xx
xx
(2).
Từ hệ (2) ta có:
( ) ( )
22
2
1 2 1 2 1 2
4 3 4( 2) 1x x x x x x+ = − + = + − =
, kết hợp với (1) được
2
1
12
a
b
=
+ = −
1, 3
1, 3
ab
ab
= = −
= − = −
.
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1, ta có phương trình: x
2
– x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b)Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆
0
1 – 4m
0
1
m
4
(1).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x
1
+ x
2
= 1 và x
1
.x
2
= m
Thay vào đẳng thức: ( x
1
x
2
– 1 )
2
= 9( x
1
+ x
2
), ta được:
Cho phương trình với là tham số.
a) Giải phương trình khi và .
b) Tìm giá trị của để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt
thoả mãn điều kiện: .
Ví dụ ❿
Bài tập rèn luyện
Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x
2
– x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
(x
1
x
2
– 1)
2
= 9( x
1
+ x
2
).
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
(m – 1)
2
= 9
m
2
– 2m – 8 = 0
m = - 2
.
m = 4
.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Hướng dẫn giải
a) Ta có
= m
2
+ 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x
1
+ x
2
= 2m và x
1
.x
2
= - 1. Ta có: x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
= 7
(x
1
+ x
2
)
2
– 3x
1
.x
2
= 7
4m
2
+ 3 = 7
m
2
= 1
m =
1
.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 2, ta có phương trình
(x
2
- x - 2)(x - 1) = 0 <=>
2
x 1; x 2
x x 2 0
x1
x 1 0
= − =
−−=
=
−=
Vậy phương trình có 3 nghiệm x
1; x = 2
b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x
1
= 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân
biệt khi và chỉ khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x
2
- x - m = 0 có nghiệm kép khác 1
1
0 1 4m 0
m
1
m
4
f(1) 0 1 1 m 0
4
m0
= + =
=−

= −
− −

.
- Hoặc phương trình f(x) = x
2
- x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
bằng 1.
1
0 1 4m 0
m
m 0.
4
f(1) 0 m 0
m0
+
−

=
==

=
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
m = -
4
1
; m = 0.
Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x
2
– 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
b) Tìm các giá trị của m để: x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
= 7.
Câu 3: Cho phương trình: (x
2
- x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a) Với m = 4 ta có x
4
- 5x
2
+ 4 = 0
Đặt x
2
= t , với
t0
ta có pt t
2
- 5t + 4 = 0 <=> t
1
= 1; t
2
= 4
Từ đó, ta được:
2
2
x 1 x 1
x2
x4
= =
=
=
.
Vậy phương trình có 4 nghiệm
x 1; x 2.= =
b) x
4
- 5x
2
+ m = 0 (1) có dạng f(y) = y
2
- 5y + m = 0 (2)
(với y = x
2
; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2):
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=>
25
0
m
25
m
4
f(0) 0
4
m0
=
=
=

.
2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu
m0
.
Vậy m =
4
25
hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
a) Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x
1
= - 1; x
2
= 3
b) Phương trình có nghiệm
'
> 0
1 - m > 0
m < 1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x
1
+ x
2
= 2 và x
1
x
2
= m (1)
2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
x x (x x ) 2x x
11
1 1 1
x x x x (x x )
+ + −
+ = = =
(2)
Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m
2
<=> m
2
+ 2m - 4 = 0
'
= 1 + 4 = 5 =>
'
=
5
nên m = -1 +
5
(loại); m
= - 1 -
5
(T/m vì m < 1).
Vậy giá trị m cần tìm là:
m 1 5= − −
Câu 4: Cho phương trình: x
4
- 5x
2
+ m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Câu 5: Cho phương trình: x
2
- 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: = 1.
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Hướng dẫn giải
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x
2
- 4x -12 = 0
'
= 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x
= 6.
b) Phương trình (1) có nghiệm
'
0
m
2
+ 6m
m 6; m 0 −
(2)
Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có:
12
12
x + x = 2m
x x = - 6m
(3)
Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi:
22
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
x 2x ; x 2x (x 2x )(x 2x ) 0 5x x 2(x x ) 0= = − − = − + =
22
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
5x x 2[(x x ) 2x x ] 0 9x x 2(x x ) 0 − + − = − + =
(4)
Từ (3), (4), ta có:
2
27
54m 8m 0 m 0; m
4
− − = = = −
(TMĐK (2))
Vậy các giá trị m cần tìm là
27
m 0; m
4
= = −
.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:
2
0
(2 3) 4 ( 4) 0
m
m m m
= + − −
0
28 9 0
m
m
+
0
9
28
m
m
−
Vậy với
9
0
28
m −
thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt.
b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn:
12
12
23
4
m
xx
m
m
xx
m
+
+=
−
=
12
12
3
2
4
1
xx
m
xx
m
+ = +
=−
12
12
12
4( ) 8
12
33
xx
m
xx
m
+ = +
=−
Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
Câu 6: Cho phương trình: x
2
- 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Câu 7: Cho phương trình: mx
2
- (2m + 3 )x+ m - 4= 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
4(x
1
+x
2
) +3 x
1
x
2
=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+
−m
Do
0
2
1
2
−m
với mọi m;
0
4
15
> 0 với mọi m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
3
3
1
0)3(
0)1(2
−
−
+−
−
m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A 10 4m
2
– 6m 0 2m(2m-3) 0
−
−
0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Câu 8: Cho phương trình: x
2
- 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2
10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x
1
qua x
2
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Vậy m
2
3
hoặc m 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
−−=
−=+
+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2
21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+ x
2
+ 2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m
f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
)
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1
2
−x
)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: = m
2
- 4(m + 3) = m
2
- 4m - 12
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
> 0 m
2
- 4m - 12 > 0
( )( )
m < -2
m -6 m + 2 > 0
m>6
.
b) Ta có x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình trên.
Theo định lý Vi-et, ta có:
12
12
x x m
x x m 3
+ = −
=+
2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x+ = + −
22
( m) 2(m 3) m 2m 6= − − + = − −
Thay vào ta được:
m
2
- 2m - 6 = 9 m
2
- 2m - 15= 0
m = -3
m = 5
c) Phương trình có nghiệm
12
x ;x 0
Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị
của m.
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có:
12
12
x x m (1)
x x m 3 (2)
+ = −
=+
Hệ thức: 2x
1
+ 3x
2
= 5 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình :
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
+ = − + = − = − − = − −
+ = + = = − − = +
Thay
1
2
x 3m 5
x 2m 5
= − −
=+
vào (2) ta có phương trình:
22
2
2
(m)
( 3m 5)(2m 5) m 3 6m 15m 10m 25 m 3 6m 26m 28 0
3m 13m 14 0
13 4.3.14 1 0
− − + = + − − − − = + − − − =
+ + =
= − =
Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
12
13 1 13 1 7
m 2; m
2.3 2.3 3
− + − −
= = − = = −
Kiểm tra:
Với
m 2 0= − =
(thỏa mãn).
Với
7 25
m0
39
−
= =
(thỏa mãn).
Vậy với
7
m 2; m
3
= − = −
phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn: 2x
1
+ 3x
2
= 5.
d) Phương trình (1) có nghiệm
1
x3=−
2
( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6 − + − + + = − + = =
Khi đó:
1 2 2 1 2 2
x x m x m x x 6 ( 3) x 3+ = − = − − = − − − = −
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm: x
1
= x
2
= - 3.
e) Theo định lí Vi-et, ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x m m x x
x x x x 3
x x m 3 m x x 3
+ = − = − −

− − = −

= + = −

Hướng dẫn giải
a) Ta có ' = (m + 1)
2
- m
2
= 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm '
0 m
-
1
2
b ) Theo hệ thức Viét ta có
12
2
12
2( 1) (1)
(2)
x x m
x x m
+ = +
=
Câu 10:
Cho phương trình x
2
- 2(m + 1) x + m
2
=0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Từ (1) ta có m =
12
1
2
xx+
−
thay vào (2) ta được
2
12
12
1
2
xx
xx
+

=−


hay 4x
1
x
2
= (x
1
+ x
2
- 2)
2
là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình đã cho có
0a b c− + =
.
Suy ra phương trình có hai nghiệm
1x =−
và
3x =
.
Câu 2: Đặt
( )
2
0t x t=
ta có phương trình:
2
5 36 0tt+ − =
2
9 4 36 0t t t + − − =
( ) ( )
9 4 9 0t t t + − + =
( )( )
9 4 0tt + − =
40
90
t
t
−=
+=
( )
( )
4
9
t TM
t KTM
=
=−
Với
2
44tx= =
2x =
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
2x =
;
2x =−
Câu 3:
( )
2
3 4.1.1 5 0 = − − =
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1
x
;
2
x
Theo hệ thức Vi-et, ta có:
12
12
3
.1
xx
xx
+=
=
(2)
Ta có
( )
2
22
1 2 1 2 1 2
2A x x x x x x= + = + −
(3)
Thay (2) vào (3) ta được
2
3 2.1 7A = − =
Vậy
7A =
.
Câu 4:
a) Giải phương trình với
1m =
.
Với
1m =
, phương trình đã trở thành: 𝑥
2
+ 4𝑥 + 3 = 0
Phiếu ôn tập
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3:
Cho phương trình . Gọi và là hai nghiệm của phương trình.
Hãy tính giá trị của biểu thức
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tìm để phương trình có nghiệm kép.
Phiếu ➊
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Nhận xét:
1 4 3 0a b c− + = − + =
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
1
3
x
c
x
a
=−
= − = −
Vậy khi
1m =
thì tập nghiệm của phương trình là
1; 3S = − −
b) Tìm
m
để phương trình có nghiệm kép.
Phương trình
2
4 2 1 0x x m+ + + =
có
( )
'2
2 2 1 4 2 1 3 2m m m = − + = − − = −
Để phương trình có nghiệm kép thì
'
3
3 2 0
2
mm = − = =
Vậy với
3
2
m =
thì phương trình đã cho có nghiệm kép.
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình
2
2 9 4 0xx− + =
có:
2
( 9) 4.2.4 49 0 = − − =
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
9 49 1
42
9 49
4
4
x
x
−
==
+
==
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =
1
;4
2



Câu 2:
Đặt
2
( 0).t x t=
Phương trình
( )
1
trở thành
( )
42
12 16 0 2tt− + =
, Với
1, 12, 16.a b c= = − =
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1)
a) Giải phương trình (1) với .
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn
hệ thức .
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số).
1. Giải phương trình với
2. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Phiếu ➋
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
( )
2
' 6 1.16 36 16 20 ' 2 5. = − − = − = =
Vậy phương trình
( )
2
có hai nghiệm
( ) ( )
12
6 2 5 , 6 2 5 .t N t N= + = −
Vậy phương trình
( )
1
có bốn nghiệm
( )
12
6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1 ,xx= + = + = − + = − +
( )
34
6 2 5 5 1, 6 2 5 5 1 .xx= − = − = − − = − −
Vậy phương trình có tập nghiệm
( ) ( )
5 1; 5 1 ; 5 1; 5 1 .S = + − + − − −
Câu 3:
a) Giải phương trình (1) với
6m =
.
Với
6m =
phương trình (1) trở thành phương trình:
2
5 4 0xx− + =
(2)
Ta có:
( )
1 5 4 0abc+ + = + − + =
nên phương trình (2) có hai nghiệm
1
1x =
và
2
4x =
Vậy với
6m =
thì tập hợp nghiệm của phương trình (1) là
1;4S =
b) Tìm
m
để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
12
;xx
thỏa mãn
hệ thức
12
1 1 3
2
xx
+=
.
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
12
;xx
thì:
12
12
0
0
.0
S x x
P x x

= +
=
( ) ( )
2
5 4 2 0
33
33 4 0
50
4
2
2
20
m
m
m
m
m
m
− − −
−


−
Vậy với
33
2
4
m
thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
12
;xx
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có
12
12
5
.2
xx
x x m
+=
=−
(3)
Ta có
12
1 1 3
2
xx
+=
21
1 2 1 2
3
2
xx
x x x x
+ =
( )
1 2 1 2
2 3 .x x x x + =
( )
1 2 1 2 1 2
4 2 . 9 .x x x x x x + + =
(4)
Thay (3) vào (4) ta có:
( )
( ) ( )
4 5 2 2 9 2 9 2 8 2 20 0m m m m+ − = − − − − − =
(5)
Đặt
2tm=−
điều kiện
0t
khi đó phương trình (5) trở thành phương trình:
2
9 8 20 0tt− − =
(6)
Giải phương trình (6) ta được
2t =
(thỏa mãn) hoặc
10
9
t
−
=
(không thỏa mãn)
Với
2t =
2 2 2 4 6m m m − = − = =
Vậy
6m =
thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
12
;xx
thỏa mãn hệ thức
12
1 1 3
2
xx
+=
.
Chuyên đề Ôn thi TS vào lớp 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Word xinh
Câu 4:
1) Với
2m =−
thì
( )
2
1
1 4 3 0
3
x
xx
x
=−
+ + =
=−
(vì:
0a b c− + =
)
Vậy PT có hai nghiệm
1; 3xx= − = −
2) Ta có:
( ) ( ) ( )
22
2
' 1. 4 5 4 5 2 1 0m m m m m m = − − − − = + + = + +
Vậy phương trình
( )
1
luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
.m
Theo Vi-Et ta có:
12
12
2
. 4 5
x x m
x x m
+=
= − −
Mà:
( ) ( )
1 1
2
1 2 1 2
1 33
1 2 4059 2 1 2 4 33 8118
22
x m x x m m x xx m− − + − + = − − + − + =
( ) ( )
22
1 1 1 2 1 1 1 2
2 2 2 4 5 38 8118 2 4 5 2 8080 *x mx x x m x mx m x x − + + − − + = − − − + + =
Do:
1
x
là một nghiệm của phương trình
( )
1
nên:
2
11
2 4 5 0x mx m− − − =
( ) ( )
12
* 2 8080 2.2 8080x x m + = =
(Vì:
12
2x x m+=
)
4 8080 2020.mm = =
Vậy
2020m =
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
| 1/26
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

 
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
➋ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT  Ⓐ
Tóm tắt lý thuyết
➊. Công thức nghiệm:
 Phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có  = b2- 4ac
 Nếu  < 0 thì phương trình vô nghiệm
 Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
 Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =
➋. Công thức nghiệm thu gọn:
➌. Định lí Vi-ét:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
➍. Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)
➎. Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: Ⓑ
Phân dạng toán cơ bản ❖Dạng ➊
Giải phương trình quy về bậc nhất
Phương pháp:  Chuyển vế
 Quy đồng (ĐK nếu có)
 Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022Ví dụ ➊ Giải phương trình: Lời giải
Điều kiện: x  3 −  1 1 5x + =15 +  x =  x = 3 x + 3 x + 5 15 3 Ví dụ ➋ Giải phương trình: (1) Lời giải
 Điều kiện: x  3
 (1)  x − 3 +1 = 7 − 2x x = 3 (loại)
 Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau: Câu 1: Câu 2: Câu 3:
Hướng dẫn giải − Câu 1: 3x 1 x −1 =
 2x − 2 = 3x −1  x = 1 − 2
 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 2: Điều kiện: x  1 2 + + x =1  x 1 x x =  2 x = 1   x −1 x −1 x = 1 −
 Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm x = -1 Câu 3:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Điều kiện: x   1  6 3 15 + =
 6 + 3(x + 1) = 15(x – 1)  12x – 24 = 0 2 x −1 x −1 x +1  x = 2 (nhận)
 Vậy phương trình có nghiệm x = 2. ❖Dạng ➋
Giải phương trình bậc hai
Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau  Công thức nghiệm
 Nhẫm nghiệm đặc biệt
 Sử dụng các ứng dụng của Vi-ét  Ẩn phụ Ví dụ ➊ Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- )x2 + 2 x – 2 – = 0 Lời giải
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)
 = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51
Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − ( 49 − ) − 51 − ( 49 − ) + 51 x = = 1 − ; x = = 50 1 2 2 2
Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 − 50
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − = 50 1
Cách 3:  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
x + x = 49 = (− ) 1 + 50 x 1 2  = −1    1
x .x = 49 = −50 = (− ). 1 50 x 1 2  = 50 2 − 50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − = 50 1
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
 = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;  = 4
Do  > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − + − − 2 3 4 2 3 4 x = = 1; x = = ( − 7 + 4 3) 1 2 ( 2 2 − 3) ( 2 2 − 3)
Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
’ = ( 3 )2 - (2 - 3 )(– 2 – 3 ) = 4;  = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − + − − 3 2 3 2 x = = 1; x = = −(7 + 4 3) 1 2 2 − 3 2 − 3
Cách 3: Nhẫm nghiệm đặc biệt
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 − −
Nên phương trình có nghiệm: x 2 3 1 = 1; x1 = − = −(7 + 4 3) 2 − 3 Ví dụ ➋
Giải các phương trình sau: Lời giải 2 2 2
a)2x − 8 = 0  2x = 8  x = 4  x = 2 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2  x = 0 x = 0 2 
b)3x − 5x = 0  x(3x − 5)    5 3x − 5 = 0 x =  3
Vậy phương trình có nghiệm 5 x = 0; x = 3 2 c) − 2x + 3x + 5 = 0 Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0
Do đó phương trình có nghiệm : 5 5 x = 1 − ; x = − = 1 2 2 − 2 4 2 d)x + 3x − 4 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  Đặt 2
t = x (t  0) . Ta có phương trình : 2 t + 3t − 4 = 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
Do đó phương trình có nghiệm : 4
t = 1  0 (thỏa mãn); t = − = 4 −  0 (loại) 1 2 1 Với: 2 t = 1  x = 1  x = 1 
Vậy phương trình có nghiệm x = 1  Ví dụ ➌
Giải các phương trình sau: Lời giải x + 2 6 a) + 3 = (ĐKXĐ : x  2; x  5) x − 5 2 − x + Phương trình : x 2 6 + 3 = x − 5 2 − x (x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x) 6(x − 5)  + = (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)
 (x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5) 2 2
 4 − x + 6x − 3x − 30 +15x = 6x − 30 2  4 − x +15x + 4 = 0 2  =15 − 4.( 4)
− .4 = 225 + 64 = 289  0;  = 17 − +
Do đó phương trình có hai nghiệm : 15 17 1 x = = − (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 2.( 4) − 4 − − 15 17 x = = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2.( 4) −
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x = − , x = 4 1 4 2 x = 1 − b
x ( x + ) + = ( x + )2 )2 4 7 2 2
x + 4x + 3 = 0   x = 3 −
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 − , x = 3 − 1 2
Bài tập rèn luyện
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 1: Giải các phương trình sau: a) b)
Hướng dẫn giải a) 2 2
x − x + 5 = x + 2x −1 2 2
x − x − x − 2x = 1 − −5  3 − x = 6 −  x = 2 b) Phương trình 2
2x − 9x + 4 = 0 có: 2  = ( 9 − ) − 4.2.4 = 49  0  9 − 49 1 x = = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4 2   9 + 49 x = = 4 2  4  
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1  ;4 2 
Câu 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d)
Hướng dẫn giải
a) Nhẵm nghiệm đặc biêt:
Phương trình có a+b+c= 1-5+4=0
Do đó phương trình có hai nghiệm x =1; x = 4 Cách khác: Ta có 2 2
x − 5x + 4 = 0  x − 4x − x + 4 = 0  x ( x − 4) − ( x − 4) = 0  (  = x − )( x − ) x 1 1 4 = 0  x = 4. S = 1; 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 4 . b) 2
x − 2x − 3 = 0.
Phương trình đã cho có a −b + c = 0.
Suy ra phương trình có hai nghiệm x = 1 − và x = 3. c) 2 2
x − 4 = 0  x = 4  x = 2 
Vậy phương trình có tập nghiệm S =   2 x = 0 d) 2
x + 5x = 0   x = 5 −
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0;−  5
Câu 3: Giải các phương trình sau: a) b) x4 - 20x2 + 64 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Hướng dẫn giải a) Đặt 2
t = x (t  0). Phương trình ( ) 1 trở thành 4 2
t −12t +16 = 0 (2) , Với a =1, b = 1 − 2, c =16.  = (− )2 ' 6
−1.16 = 36 −16 = 20   ' = 2 5.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm t = 6 + 2 5 N ,t = 6 − 2 5 N . 1 ( ) 2 ( ) Vậy phương trình ( ) 1 có bốn nghiệm x =
6 + 2 5 = 5 +1, x = − 6 + 2 5 = − 5 +1 , 1 2 ( ) x =
6 − 2 5 = 5 −1, x = − 6 − 2 5 = − 5 −1 . 3 4 ( )
Vậy phương trình có tập nghiệm S =  5 +1;−( 5 + ) 1 ; 5 −1; − ( 5 − ) 1 . b) Đặt: x2 = t  0.
Khi đó phương trình trở thành: t2 - 20t + 64 = 0  t = 4 và t = 16.
Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2
Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4
Suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm S =  2  ;  4
Câu 4: Giải các phương trình sau: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: x  0, x  1, x  2. 2x ( x − 2) 2x 3( x − ) 1 ( x − 2) Phương trình ( ) 1 trở thành + = x −1 (x − ) 1 ( x − 2) 2x 2 2 2
 2x − 4x + 2x = 3x −9x + 6  x − 7x + 6 = 0
Vì a + b + c =1− 7 + 6 = 0 . Nên x =1 L , x = 6 N . 1 ( ) 2 ( )
Vậy phương trình có nghiệm x = 6. x − 2  0 x  2 b) ĐKXĐ:    x  0 x  0 + x (x + 2) − x 2 1 2 + =  x 2 2 + = x − 2 x x(x − 2) x (x − 2) x (x − 2) x(x − 2)
 x(x + 2) + x - 2 = 2 x2 + 2x + x - 2 = 2  =  x 1 x2 + x - 4 = 0   (thỏa mãn điều kiện) x = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  ❖Dạng ➌
Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét
Phương pháp:
Sử dụng các dạng phân tích của tổng và tích hai nghiệm: ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑩. Ví dụ ➊ Cho phương trình x2 + x -
= 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x 2 2 3 3 1 + x2 ; C = ; D = x1 + x2 Lời giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ; x1.x2 = − 5 x + x − A = 1 1 3 1 1 2 + = = = 15 x x x .x − 2 2 1 2 5 5
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  B = x 2 2 2
1 + x2 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3) − ( 2 − 5) = 3 + 2 5 2 2 x + x + C = 3 2 5 1 1 2 = = 3 ( + 2 5) ; 2 x . 2 x − 1 2 ( 5)2 5 D = (x 2 2
1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) = (− 3 3 )[ + 2 5 − (− 5)] = − 3 ( 3 + 3 15) Ví dụ ➋ Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b) c) Lời giải Ta có b c x + x = − = 8; x x = =15 1 2 1 2 a a a) 2 2 2 2 x + x
= (x + x ) − 2x x = 8 − 2.15 = 64 −30 = 34 1 2 1 2 1 2 1 1 x + x 8 b) 1 2 + = = x x x x 15 1 2 1 2 2 2 + c) x x x x 34 1 2 1 2 + = = x x x x 15 2 1 1 2
Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b) Đáp số: a) 1 1 9 2 2 x + x = 65 b) + = 1 2 x x 8 1 2 Câu 2: Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b)  Đáp số:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  − − − a) 1 x 1 x 44 3 3 x + x =1526 b) 1 2 + = 1 2 x x 29 1 2 ❖Dạng ➍
Toán tham số m với ứng dụng định lý Vi-ét
Phương pháp: Sử dụng kết hợp
①. Định lý Vi-ét
②. Các hệ thức đối xứng
③. Các điều kiện có liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ ➊
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2. Lời giải
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 + 5; x = 3 − 5 . 2 b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 m  2
Phương trình (1) có nghiệm  /   0   (*). m  -2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.
Suy ra: ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 = 2  x 2 2
1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0  (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0  4m2 – 8 + 4m = 0 m = 1  m2 + m – 2 = 0  1  . m = −2  2
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022Ví dụ ➋
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 – x1x2 = 7. Lời giải
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x 2 2
1 + x2 – x1x2 = 7  (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
 4m2 + 3 = 7  m2 = 1  m = ± 1. Ví dụ ➌
Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ). Lời giải
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0  - 3 – 4m 0  4m - 3  3 −  m  (1). 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3  m2 = 4  m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. Ví dụ ➍
Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2. Lời giải
a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0  (m + 1)2 - m2 > 0  2m + 1 > 0  m > - 1 (*) 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Phương trình có nghiệm x = - 2  4 - 4 (m + 1) + m2 = 0   m = 0 m2 - 4m = 0  
(thoả mãn điều kiện (*)) m = 4
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm. Ví dụ ➎
Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Lời giải
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0  x (x + 8) = 0  x = 0  x = - 8
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’  0  (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0  m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0  m2 - m + 4 > 0  1 15 2 (m − ) +  0 đúng m 2 4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt  m x + x = 2(m - 1) (1)
Theo hệ thức Vi ét ta có: 1 2  x - x = - m - 3 (2)  1 2 Ta có 2 2
x + x = 10  (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 1 2
 4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10 m = 0  4m2 - 6m + 10 = 10   2m (2m - 3) = 0  3 m =  2
c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8  x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Ví dụ ❻
Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6. Lời giải
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân  biệt x1, 2 = - 3 33 2 b) Ta có ∆ =  2 2
- (2m +1 - 4 (m + 5m) = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m = 1 - 16m.
Phương trình có hai nghiệm  ∆ ≥ 0  1 - 16m ≥ 0 1  m  16
Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m.
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6  m2 + 5m - 6 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6.
Đối chiếu với điều kiện m ≤ 1 thì m = - 6 là giá trị cần tìm. 16 Ví dụ ❼
Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2) Lời giải
a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0
Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3
b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , 2  = b' - ac  0  2 2 − (m +1)  0
 3 - m  0  m  3 (1) x + x = 4
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : 1 2  x x = m +1  1 2 2 2
x + x = 5 (x1+ x2)  (x + x )2- 2x1x2 = 5 (x1 + x2) 1 2 1 2
 42 - 2 (m +1) = 5.4  2 (m + 1) = - 4  m = - 3
Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3 Ví dụ ❽
Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn Lời giải x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0
a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0  x1 = 1; x2 = 5
b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0  4 + 2m + 10 - m + 6 = 0  m = - 20
c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: 2 2
x x + x x = 24  x x (x + x ) = 24 1 2 1 2 1 2 1 2
 (−m + 6)(m + 5) = 24  2
m − m − 6 = 0  m = 3; m = 2 − .
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ ❾ Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn . Lời giải
a) Với m = 2, ta có phương trình: 2 2
x + 3x +1 = 0 . Các hệ số của phương trình thoả mãn 1
a − b + c = 2 − 3 +1 = 0 nên phương trình có các nghiệm: x = −1, x = − . 1 2 2
b) Phương trình có biệt thức  = (2m − ) 1 2 − (. 2 . 4 m − ) 1 = (2m − )
3 2  0 nên phương trình
luôn có hai nghiệm x , x với mọi m . 1 2  2m − x + x = − 1  1 2
Theo định lý Viet, ta có:  2 .  m −1 x .x =  1 2 2 Điều kiện đề bài 4 2 x + 2x x + 4 2 x = 1  ( 4 x + x
− x x = . Từ đó ta có: 1 2 )2 6 1 1 1 2 2 1 2 (1− 2 )2 m − ( 3 m − ) 1 = 1  4 2
m − 7m + 3 = 0 .
Phương trình này có tổng các hệ số a + b + c = 4 + (− )
7 + 3 = 0 nên phương trình này có các nghiệm 3 m = 1, m = . 1 2 4
Vậy các giá trị cần tìm của m là 3 m = 1, m = . 4
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022Ví dụ ❿ Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi và . b) Tìm giá trị của
để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: . Lời giải
a) Khi a = 3 và b = 5 − ta có phương trình: 2
x + 3x − 4 = 0 .
Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = , 1 x = 4 − . 1 2
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x  2
 = a − 4(b +1)  0 (*) 1 2
x + x = −a
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2  (1). x x = b +1  1 2 x − x = 3 x − x = 3  x − x = 3 Bài toán yêu cầu  1 2  1 2    1 2 (2).  3 3 x − 3 x = 9 (x − x +3x x x − x = 9  x x = −2 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 2
Từ hệ (2) ta có: ( x + x )2 = (x − x )2 2 + 4x x = 3 + 4( 2
− ) =1, kết hợp với (1) được 1 2 1 2 1 2 2 a =1 a =1,b = 3 −    . b  +1 = 2 − a = 1 − ,b = 3 −
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Bài tập rèn luyện
Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
(x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ).
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b)Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆  0  1 – 4m  0  1 m  (1). 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m
Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  
(m – 1)2 = 9  m2 – 2m – 8 = 0  m = - 2.  . m = 4
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 – x1x2 = 7.
Hướng dẫn giải
a) Ta có  = m2 + 1 > 0, m  R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x 2 2
1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7
 (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7  4m2 + 3 = 7  m2 = 1  m = 1  .
Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 2, ta có phương trình 2 x − x − 2 = 0 x = 1 − ; x = 2
(x2 - x - 2)(x - 1) = 0 <=>    x −1 = 0 x =1
Vậy phương trình có 3 nghiệm x  1; x = 2
b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1  1  =  + =  = −  0 1 4m 0 m 1      4  m = − . f (1)  0 1  −1− m  0 4 m  0
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.  1    +    −  0 1 4m 0 m      4  m = 0. f (1) = 0 m = 0 m = 0
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = - 1 ; m = 0. 4
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 4: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t , với t  0 ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 4 2 x =1 x = 1  Từ đó, ta được:    . 2 x = 4 x = 2 
Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 1  ; x = 2  .
b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2):  25  = 0 m =
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=> 25    4  m = . f (0)  0 4 m  0
2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu  m  0.
Vậy m = 25 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt 4
Câu 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1.
Hướng dẫn giải
a) Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3
b) Phương trình có nghiệm  ' > 0  1 - m > 0  m < 1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1) 2 2 2 1 1 x + x (x + x ) − 2x x 1 2 1 2 1 2 + =1  =1  =1 (2) 2 2 2 2 2 x x x x (x x ) 1 2 1 2
Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 <=> m2 + 2m - 4 = 0
' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m = - 1 - 5 (T/m vì m < 1).
Vậy giá trị m cần tìm là: m = 1 − − 5
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 6: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Hướng dẫn giải
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0
 ' = 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.
b) Phương trình (1) có nghiệm   '  0  m2 + 6m  m  6 − ; m  0 (2) x + x = 2m
Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: 1 2  (3) x x = - 6m  1 2
Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 2 2
x = 2x ; x = 2x  (x − 2x )(x − 2x ) = 0  5x x − 2(x + x ) = 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2
 5x x − 2[(x + x ) − 2x x ] = 0  9x x − 2(x + x ) = 0 (4) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Từ (3), (4), ta có: 27 2 5
− 4m −8m = 0  m = 0; m = − (TMĐK (2)) 4
Vậy các giá trị m cần tìm là 27 m = 0; m = − . 4
Câu 7: Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi:  m  0 m  0 m     0    9 2
 = (2m + 3) − 4m(m − 4)  0 28m + 9  0 m  −  28 Vậy với 9 0  m  −
thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. 28  2m + 3  3 x + x =  x + x = 2 + 1 2   1 2 
b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: m   mm − 4  4 x x = x x =1− 1 2  m 1 2  m  12 4(x + x ) = 8 +  1 2   m  12 3  x x = 3− 1 2  m
Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x 2 2
1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Hướng dẫn giải 2  
a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 1 15 m −  +  2  4 2   Do 1  15 m −   0 với mọi m;
 0   > 0 với mọi m  2  4
 Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0  ( 2 m − ) 1  0 m  1      m  3 − − (m + ) 3  0 m  3 − Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x 2 2
1 +x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A  10  4m2 – 6m  0  2m(2m-3)  0 m  0  m    0   3 m 2m − 3     3  0  2 m        2 m  0 m     0   m  0  2m − 3  0     3  m   2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  Vậy m  3 hoặc m  0 2
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm x + x = ( 2 m − ) 1 x x m 1 2  + = 2 − 2
Theo định lí Viet ta có:    . 1 2
x .x = −(m + ) 3 x x m 1 2 2 . = −2 − 6 1 2  x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m 8 + x f) Từ ý e) ta có: x 2
1 + x2+2x1x2 = - 8  x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)  x = − 1 1 + 2x2 8 + x Vậy 1 2 x = − ( x  − ) 1 1 + 2x 2 2 2
Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:  = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 
 > 0  m2 - 4m - 12 > 0  ( )( ) m < -2 m - 6 m + 2 > 0   . m > 6
b) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
Theo định lý Vi-et, ta có: x + x = −m 1 2  x x = m + 3  1 2 2 2 2 2 2 = − − + = − − x + x = (x + x ) − 2x x ( m) 2(m 3) m 2m 6 1 2 1 2 1 2 Thay vào ta được: m = -3
m2 - 2m - 6 = 9  m2 - 2m - 15= 0   m = 5
c) Phương trình có nghiệm x ; x    0 1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  x + x = −m (1)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: 1 2  x x = m + 3 (2)  1 2 Hệ thức: 2x1 + 3x2 = 5 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình : x + x = −m 3  x + 3x = 3 − m x = 3 − m − 5 x = −3m − 5 1 2 1 2 1 1        2x + 3x = 5 2x + 3x = 5 x = −m − x x = 2m + 5  1 2  1 2  2 1  2 x = 3 − m − 5 Thay 1 
vào (2) ta có phương trình: x = 2m + 5  2 2 2 ( 3
− m − 5)(2m + 5) = m + 3  6
− m −15m −10m − 25 = m + 3  6 − m − 26m − 28 = 0 2  3m +13m +14 = 0 2  =13 − 4.3.14 = 1  0 (m) − + − −
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 13 1 13 1 7 m = = 2 − ; m = = − 1 2 2.3 2.3 3 Kiểm tra: Với m = 2
−   = 0 (thỏa mãn). − Với 7 25 m =   =  0 (thỏa mãn). 3 9 Vậy với 7 m = 2
− ; m = − phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 5. 3
d) Phương trình (1) có nghiệm x = 3 − 1 2  ( 3 − ) + m.( 3 − ) + m + 3 = 0  2m − +12 = 0  m = 6
Khi đó: x + x = −m  x = −m − x  x = 6 − − ( 3 − )  x = 3 − 1 2 2 1 2 2
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm: x1 = x2 = - 3. x + x = −m m = −x − x
e) Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2     −x − x = x x − 3 1 2 1 2 x x = m + 3 m = x x − 3  1 2  1 2
Câu 10: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn giải
a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm  '  0  m  - 1 2
x + x = 2(m +1) (1)
b ) Theo hệ thức Viét ta có 1 2  2 x x = m (2)  1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022  + 2  +  Từ (1) ta có m = x x x x 1
2 −1 thay vào (2) ta được 1 2 x x = −1   2 1 2  2 
hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Phiếu ôn tập Phi ếu ➊
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3: Cho phương trình . Gọi và
là hai nghiệm của phương trình.
Hãy tính giá trị của biểu thức
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tìm để phương trình có nghiệm kép.
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình đã cho có a −b + c = 0 .
Suy ra phương trình có hai nghiệm x = 1 − và x = 3.
Câu 2: Đặt 2
t = x (t  0) ta có phương trình: 2
t + 5t − 36 = 0 2
t + 9t − 4t −36 = 0  t (t + 9) − 4(t + 9) = 0  − = t = 4 (TM )  ( t
t + 9)(t − 4) = 4 0 0     t + 9 = 0 t = 9 −  (KTM ) Với 2
t = 4  x = 4  x = 2 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 ; x = 2 − Câu 3:  = (− )2 3
− 4.1.1= 5  0  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1x; x 2 x + x = 3
Theo hệ thức Vi-et, ta có: 1 2  (2) =  1 x . 2 x 1 Ta có 2 2 A = + = + − (3) 1 x 2 x
( 1x 2x)2 2 1x 2x Thay (2) vào (3) ta được 2 A = 3 − 2.1 = 7 Vậy A = 7 . Câu 4:
a) Giải phương trình với m =1.
Với m =1, phương trình đã trở thành: 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Nhận xét: a −b + c =1− 4 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 − 1  cx = − = 3 − 2  a
Vậy khi m =1 thì tập nghiệm của phương trình là S =  1 − ;−  3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Phương trình 2
x + 4x + 2m +1 = 0 có ' 2  = 2 − (2m + )
1 = 4 − 2m −1 = 3 − 2m
Để phương trình có nghiệm kép thì 3 '
 = 3− 2m = 0  m = 2 Vậy với 3 m =
thì phương trình đã cho có nghiệm kép. 2 Phi ếu ➋
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1)
a) Giải phương trình (1) với .
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn hệ thức .
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số). 1. Giải phương trình với 2. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình 2
2x − 9x + 4 = 0 có: 2  = ( 9 − ) − 4.2.4 = 49  0  9 − 49 1 x = = 1
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4 2   9 + 49 x = = 4 2  4  
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1  ;4 2 
Câu 2: Đặt 2
t = x (t  0). Phương trình ( ) 1 trở thành 4 2
t −12t +16 = 0 (2) , Với a =1, b = 1 − 2, c =16.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022   = (− )2 ' 6
−1.16 = 36 −16 = 20   ' = 2 5.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm t = 6 + 2 5 N ,t = 6 − 2 5 N . 1 ( ) 2 ( ) Vậy phương trình ( ) 1 có bốn nghiệm x =
6 + 2 5 = 5 +1, x = − 6 + 2 5 = − 5 +1 , 1 2 ( ) x =
6 − 2 5 = 5 −1, x = − 6 − 2 5 = − 5 −1 . 3 4 ( )
Vậy phương trình có tập nghiệm S =  5 +1;−( 5 + ) 1 ; 5 −1; − ( 5 − ) 1 .
Câu 3:
a) Giải phương trình (1) với m = 6.
Với m = 6 phương trình (1) trở thành phương trình: 2
x − 5x + 4 = 0 (2)
Ta có: a + b + c = 1+ ( 5
− ) + 4 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm và 1 x = 1 2 x = 4
Vậy với m = 6 thì tập hợp nghiệm của phương trình (1) là S = 1;  4
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x thỏa mãn hệ thức 1 1 3 + = . x x 2 1 2
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x thì:   2  0 ( 5
− ) − 4(m − 2)  0   33  3  3− 4m  0 m  S = +        1 x 2 x 0 5 0  4   m  2  P =   m − 2  0 m  2 1 x . 2 x 0  Vậy với 33 2  m
thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x 4 x + x = 5
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có 1 2  (3) = −  1 x . 2 x m 2 Ta có 1 1 3 + = x x 2 1 2 2 x 1 x 3  + = x x x x 2 1 2 1 2  2( + = 1 x 2 x ) 3 1 x . 2 x  4( + + = (4) 1 x 2 x 2 1 x . 2 x ) 9 1 x . 2 x Thay (3) vào (4) ta có:
4(5 + 2 m − 2 ) = 9(m − 2)  9(m − 2) −8 m − 2 − 20 = 0 (5)
Đặt t = m − 2 điều kiện t  0 khi đó phương trình (5) trở thành phương trình: 2
9t − 8t − 20 = 0 (6) −
Giải phương trình (6) ta được t = 2 (thỏa mãn) hoặc 10 t = (không thỏa mãn) 9
Với t = 2  m − 2 = 2  m − 2 = 4  m = 6
Vậy m = 6 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2
x thỏa mãn hệ thức 1 1 3 + = . x x 2 1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh   
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022Câu 4: x = 1 − 1) Với m = 2 − thì ( ) 2
1  x + 4x + 3 = 0  
(vì: a −b + c = 0 ) x = 3 −
Vậy PT có hai nghiệm x = 1 − ; x = 3 −
2) Ta có:  =(−m)2 − (− m − ) = m + m+ =(m + )2 2 ' 1. 4 5 4 5 2 +1 0 m Vậy phương trình ( )
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi . m
x + x = 2m Theo Vi-Et ta có: 1 2  x .x = 4 − m − 5  1 2 Mà: 1 33 2
x − m −1 x + x − 2m +
= 4059  x − 2 m −1 x + 2x − 4m+ 33=8118 1 ( ) 1 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 2
x − 2mx + 2x + 2x − 4m− 5 +38=8118  x − 2mx − 4m− 5 + 2 x + x =8080 * 1 1 1 2 1 1 ( 1 2 ) ( )
Do: x là một nghiệm của phương trình ( ) 1 nên: 2
x − 2mx − 4m − 5= 0 1 1 1  ( ) *  2( x + x
= 8080  2.2m = 8080 (Vì: x + x = 2m ) 1 2 ) 1 2
 4m = 8080 m = 2020.
Vậy m = 2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh