Phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng – Dương Minh Hùng
Tài liệu gồm 26 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Dương Minh Hùng, phân dạng và hướng dẫn giải các dạng toán về chủ đề phương trình bậc hai, hệ thức Vi-ét và ứng dụng, giúp học sinh lớp 9 tham khảo khi học chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán.
Chủ đề: Chương 4: Phương trình bậc hai một ẩn 22 tài liệu
Môn: Toán 9 2.5 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
➋ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-ỨNG DỤNG VIÉT Ⓐ
Tóm tắt lý thuyết
➊. Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 =
➋. Công thức nghiệm thu gọn:
➌. Định lí Vi-ét:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
➍. Ứng dụng Vi-ét: (nhẫm nghiệm đặc biệt của phương trình bậc hai)
➎. Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: Ⓑ
Phân dạng toán cơ bản ❖Dạng ➊
Giải phương trình quy về bậc nhất
Phương pháp: Chuyển vế
Quy đồng (ĐK nếu có)
Phân phối, thu gọn đưa về phương trình bậc nhất
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Ví dụ ➊ Giải phương trình: Lời giải
Điều kiện: x 3 − 1 1 5x + =15 + x = x = 3 x + 3 x + 5 15 3 Ví dụ ➋ Giải phương trình: (1) Lời giải
Điều kiện: x 3
(1) x − 3 +1 = 7 − 2x x = 3 (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau: Câu 1: Câu 2: Câu 3:
Hướng dẫn giải − Câu 1: 3x 1 x −1 =
2x − 2 = 3x −1 x = 1 − 2
Vậy phương trình có nghiệm x = -1 Câu 2: Điều kiện: x 1 2 + + x =1 x 1 x x = 2 x = 1 x −1 x −1 x = 1 −
Đối chiếu điều kiện, phương trình có nghiệm x = -1 Câu 3:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Điều kiện: x 1 6 3 15 + =
6 + 3(x + 1) = 15(x – 1) 12x – 24 = 0 2 x −1 x −1 x +1 x = 2 (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm x = 2. ❖Dạng ➋
Giải phương trình bậc hai
Phương pháp: Áp dụng một trong các cách sau Công thức nghiệm
Nhẫm nghiệm đặc biệt
Sử dụng các ứng dụng của Vi-ét Ẩn phụ Ví dụ ➊ Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = 0 b) (2- )x2 + 2 x – 2 – = 0 Lời giải
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
Cách 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − ( 49 − ) − 51 − ( 49 − ) + 51 x = = 1 − ; x = = 50 1 2 2 2
Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0 − 50
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − = 50 1
Cách 3: = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
x + x = 49 = (− ) 1 + 50 x 1 2 = −1 1
x .x = 49 = −50 = (− ). 1 50 x 1 2 = 50 2 − 50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − = 50 1
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Cách 3: Dùng công thức nghiệm (a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
= (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16; = 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − + − − 2 3 4 2 3 4 x = = 1; x = = ( − 7 + 4 3) 1 2 ( 2 2 − 3) ( 2 2 − 3)
Cách 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
’ = ( 3 )2 - (2 - 3 )(– 2 – 3 ) = 4; = 2
Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − + − − 3 2 3 2 x = = 1; x = = −(7 + 4 3) 1 2 2 − 3 2 − 3
Cách 3: Nhẫm nghiệm đặc biệt
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0 − −
Nên phương trình có nghiệm: x 2 3 1 = 1; x1 = − = −(7 + 4 3) 2 − 3 Ví dụ ➋
Giải các phương trình sau: Lời giải 2 2 2
a)2x − 8 = 0 2x = 8 x = 4 x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 x = 0 x = 0 2
b)3x − 5x = 0 x(3x − 5) 5 3x − 5 = 0 x = 3
Vậy phương trình có nghiệm 5 x = 0; x = 3 2 c) − 2x + 3x + 5 = 0 Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0
Do đó phương trình có nghiệm : 5 5 x = 1 − ; x = − = 1 2 2 − 2 4 2 d)x + 3x − 4 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Đặt 2
t = x (t 0) . Ta có phương trình : 2 t + 3t − 4 = 0 a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
Do đó phương trình có nghiệm : 4
t = 1 0 (thỏa mãn); t = − = 4 − 0 (loại) 1 2 1 Với: 2 t = 1 x = 1 x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 Ví dụ ➌
Giải các phương trình sau: Lời giải x + 2 6 a) + 3 = (ĐKXĐ : x 2; x 5) x − 5 2 − x + Phương trình : x 2 6 + 3 = x − 5 2 − x (x + 2)(2 − x) 3(x − 5)(2 − x) 6(x − 5) + = (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x) (x − 5)(2 − x)
(x + 2)(2 − x) + 3(x − 5)(2 − x) = 6(x − 5) 2 2
4 − x + 6x − 3x − 30 +15x = 6x − 30 2 4 − x +15x + 4 = 0 2 =15 − 4.( 4)
− .4 = 225 + 64 = 289 0; = 17 − +
Do đó phương trình có hai nghiệm : 15 17 1 x = = − (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 2.( 4) − 4 − − 15 17 x = = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 2.( 4) −
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 x = − , x = 4 1 4 2 x = 1 − b
x ( x + ) + = ( x + )2 )2 4 7 2 2
x + 4x + 3 = 0 x = 3 −
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 − , x = 3 − 1 2
Bài tập rèn luyện
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 1: Giải các phương trình sau: a) b)
Hướng dẫn giải a) 2 2
x − x + 5 = x + 2x −1 2 2
x − x − x − 2x = 1 − −5 3 − x = 6 − x = 2 b) Phương trình 2
2x − 9x + 4 = 0 có: 2 = ( 9 − ) − 4.2.4 = 49 0 9 − 49 1 x = = 1
Phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4 2 9 + 49 x = = 4 2 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1 ;4 2
Câu 2: Giải các phương trình sau: a) b) c) d)
Hướng dẫn giải
a) Nhẵm nghiệm đặc biêt:
Phương trình có a+b+c= 1-5+4=0
Do đó phương trình có hai nghiệm x =1; x = 4 Cách khác: Ta có 2 2
x − 5x + 4 = 0 x − 4x − x + 4 = 0 x ( x − 4) − ( x − 4) = 0 ( = x − )( x − ) x 1 1 4 = 0 x = 4. S = 1;
Vậy tập nghiệm của phương trình là 4 . b) 2
x − 2x − 3 = 0.
Phương trình đã cho có a −b + c = 0.
Suy ra phương trình có hai nghiệm x = 1 − và x = 3. c) 2 2
x − 4 = 0 x = 4 x = 2
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 2 x = 0 d) 2
x + 5x = 0 x = 5 −
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 0;− 5
Câu 3: Giải các phương trình sau: a) b) x4 - 20x2 + 64 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Hướng dẫn giải a) Đặt 2
t = x (t 0). Phương trình ( ) 1 trở thành 4 2
t −12t +16 = 0 (2) , Với a =1, b = 1 − 2, c =16. = (− )2 ' 6
−1.16 = 36 −16 = 20 ' = 2 5.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm t = 6 + 2 5 N ,t = 6 − 2 5 N . 1 ( ) 2 ( ) Vậy phương trình ( ) 1 có bốn nghiệm x =
6 + 2 5 = 5 +1, x = − 6 + 2 5 = − 5 +1 , 1 2 ( ) x =
6 − 2 5 = 5 −1, x = − 6 − 2 5 = − 5 −1 . 3 4 ( )
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 5 +1;−( 5 + ) 1 ; 5 −1; − ( 5 − ) 1 . b) Đặt: x2 = t 0.
Khi đó phương trình trở thành: t2 - 20t + 64 = 0 t = 4 và t = 16.
Với t = 4 suy ra x = 2 và x = -2
Với t = 16 suy ra x = 4 và x = -4
Suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm S = 2 ; 4
Câu 4: Giải các phương trình sau: a) b)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện: x 0, x 1, x 2. 2x ( x − 2) 2x 3( x − ) 1 ( x − 2) Phương trình ( ) 1 trở thành + = x −1 (x − ) 1 ( x − 2) 2x 2 2 2
2x − 4x + 2x = 3x −9x + 6 x − 7x + 6 = 0
Vì a + b + c =1− 7 + 6 = 0 . Nên x =1 L , x = 6 N . 1 ( ) 2 ( )
Vậy phương trình có nghiệm x = 6. x − 2 0 x 2 b) ĐKXĐ: x 0 x 0 + x (x + 2) − x 2 1 2 + = x 2 2 + = x − 2 x x(x − 2) x (x − 2) x (x − 2) x(x − 2)
x(x + 2) + x - 2 = 2 x2 + 2x + x - 2 = 2 = x 1 x2 + x - 4 = 0 (thỏa mãn điều kiện) x = 4
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 4}.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 ❖Dạng ➌
Tính giá trị biểu thức nghiệm dùng Vi-ét
Phương pháp:
Sử dụng các dạng phân tích của tổng và tích hai nghiệm: ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧. ⑨. ⑩. Ví dụ ➊ Cho phương trình x2 + x -
= 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = ; B = x 2 2 3 3 1 + x2 ; C = ; D = x1 + x2 Lời giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ; x1.x2 = − 5 x + x − A = 1 1 3 1 1 2 + = = = 15 x x x .x − 2 2 1 2 5 5
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 B = x 2 2 2
1 + x2 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3) − ( 2 − 5) = 3 + 2 5 2 2 x + x + C = 3 2 5 1 1 2 = = 3 ( + 2 5) ; 2 x . 2 x − 1 2 ( 5)2 5 D = (x 2 2
1+x2)( x1 - x1x2 + x2 ) = (− 3 3 )[ + 2 5 − (− 5)] = − 3 ( 3 + 3 15) Ví dụ ➋ Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b) c) Lời giải Ta có b c x + x = − = 8; x x = =15 1 2 1 2 a a a) 2 2 2 2 x + x
= (x + x ) − 2x x = 8 − 2.15 = 64 −30 = 34 1 2 1 2 1 2 1 1 x + x 8 b) 1 2 + = = x x x x 15 1 2 1 2 2 2 + c) x x x x 34 1 2 1 2 + = = x x x x 15 2 1 1 2
Bài tập rèn luyện Câu 1: Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b) Đáp số: a) 1 1 9 2 2 x + x = 65 b) + = 1 2 x x 8 1 2 Câu 2: Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính a) b) Đáp số:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 − − − a) 1 x 1 x 44 3 3 x + x =1526 b) 1 2 + = 1 2 x x 29 1 2 ❖Dạng ➍
Toán tham số m với ứng dụng định lý Vi-ét
Phương pháp: Sử dụng kết hợp
①. Định lý Vi-ét
②. Các hệ thức đối xứng
③. Các điều kiện có liên quan đến sự tồn tại nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ ➊
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho khi m = 3.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
( x1 + 1 )2 + ( x2 + 1 )2 = 2. Lời giải
a) Với m = 3 ta có phương trình: x2 – 6x + 4 = 0.
Giải ra ta được hai nghiệm: x1 = 3 + 5; x = 3 − 5 . 2 b) Ta có: ∆/ = m2 – 4 m 2
Phương trình (1) có nghiệm / 0 (*). m -2
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 2m và x1x2 = 4.
Suy ra: ( x1 + 1)2 + ( x2 + 1)2 = 2 x 2 2
1 + 2x1 + x2 + 2x2 = 0 (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 0 4m2 – 8 + 4m = 0 m = 1 m2 + m – 2 = 0 1 . m = −2 2
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy chỉ có nghiệm m2 = - 2 thỏa mãn. Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Ví dụ ➋
Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 – x1x2 = 7. Lời giải
a) Ta có ∆/ = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x 2 2
1 + x2 – x1x2 = 7 (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7
4m2 + 3 = 7 m2 = 1 m = ± 1. Ví dụ ➌
Cho phương trình ẩn x: x2 – x + 1 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 0.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x1x2.( x1x2 – 2 ) = 3( x1 + x2 ). Lời giải
a) Với m = 0 ta có phương trình x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b) Ta có: ∆ = 1 – 4(1 + m) = -3 – 4m.
Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 - 3 – 4m 0 4m - 3 3 − m (1). 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = 1 + m
Thay vào đẳng thức: x1x2.( x1x2 – 2) = 3( x1 + x2), ta được:
(1 + m)(1 + m – 2) = 3 m2 = 4 m = ± 2.
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn. Ví dụ ➍
Cho phương trình: x2 + 2 (m + 1)x + m2 = 0. (1)
a) Giải phương trình với m = 5
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng - 2. Lời giải
a) Với m = 5 ta có phương trình: x2 + 12x + 25 =0.
∆’ = 62 -25 = 36 - 25 = 11 x1 = - 6 - 11 ; x2 = - 6 + 11
b) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
∆’ > 0 (m + 1)2 - m2 > 0 2m + 1 > 0 m > - 1 (*) 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Phương trình có nghiệm x = - 2 4 - 4 (m + 1) + m2 = 0 m = 0 m2 - 4m = 0
(thoả mãn điều kiện (*)) m = 4
Vậy m = 0 hoặc m = 4 là các giá trị cần tìm. Ví dụ ➎
Cho phương trình: x2 - 2 (m - 1)x - m - 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = -3
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn hệ thức = 10.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc giá trị của m. Lời giải
a) Với m = - 3 ta có phương trình: x2 + 8x = 0 x (x + 8) = 0 x = 0 x = - 8
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm khi:
∆’ 0 (m - 1)2 + (m + 3) ≥ 0 m2 - 2m + 1 + m + 3 ≥ 0 m2 - m + 4 > 0 1 15 2 (m − ) + 0 đúng m 2 4
Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt m x + x = 2(m - 1) (1)
Theo hệ thức Vi ét ta có: 1 2 x - x = - m - 3 (2) 1 2 Ta có 2 2
x + x = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 1 2
4 (m - 1)2 + 2 (m + 3) = 10 m = 0 4m2 - 6m + 10 = 10 2m (2m - 3) = 0 3 m = 2
c) Từ (2) ta có m = -x1x2 - 3 thế vào (1) ta có:
x1 + x2 = 2 (- x1x2 - 3 - 1) = - 2x1x2 - 8 x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0
Đây là hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m. Ví dụ ❻
Cho phương trình ẩn x: x2 - (2m + 1) x + m2 + 5m = 0
a) Giải phương trình với m = -2.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho tích các nghiệm bằng 6. Lời giải
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
a) m = - 2, phương trình là: x2 + 3x - 6 = 0; ∆ = 33> 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, 2 = - 3 33 2 b) Ta có ∆ = 2 2
- (2m +1 - 4 (m + 5m) = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 20m = 1 - 16m.
Phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ 0 1 - 16m ≥ 0 1 m 16
Khi đó hệ thức Vi-ét ta có tích các nghiệm là m2 + 5m.
Mà tích các nghiệm bằng 6, do đó m2 + 5m = 6 m2 + 5m - 6 = 0
Ta thấy a + b + c = 1 + 5 + (-6) = 0 nên m1 = 1; m2 = - 6.
Đối chiếu với điều kiện m ≤ 1 thì m = - 6 là giá trị cần tìm. 16 Ví dụ ❼
Cho phương trình: x2- 4x + m +1 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức = 5 (x1 + x2) Lời giải
a) Khi m = 2, PT đã cho trở thành: x2- 4x + 3 = 0
Ta thấy: a +b + c = 1 - 4 +3 = 0
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = 3
b) Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là: , 2 = b' - ac 0 2 2 − (m +1) 0
3 - m 0 m 3 (1) x + x = 4
Áp dụng hệ thức Vi ét ta có : 1 2 x x = m +1 1 2 2 2
x + x = 5 (x1+ x2) (x + x )2- 2x1x2 = 5 (x1 + x2) 1 2 1 2
42 - 2 (m +1) = 5.4 2 (m + 1) = - 4 m = - 3
Kết hợp với điều kiện (1) , ta có m = - 3 Ví dụ ❽
Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = - 2
c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn Lời giải x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0 (1)
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
a) Khi m = 1, ta có phương trình x2 - 6x + 5 = 0
a + b + c = 1 - 6 + 5 = 0 x1 = 1; x2 = 5
b) Phương trình (1) có nghiệm x = - 2 khi:
(-2)2 - (m + 5) . (-2) - m + 6 = 0 4 + 2m + 10 - m + 6 = 0 m = - 20
c) ∆ = (m + 5)2 - 4(- m + 6) = m2 + 10m + 25 + 4m - 24 = m2 + 14m + 1
Phương trình (1) có nghiệm khi ∆ = m2 + 14m + 1 ≥ 0 (*)
Với điều kiện trên, áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
S = x1 + x2 = m + 5; P = x1. x2 = - m + 6. Khi đó: 2 2
x x + x x = 24 x x (x + x ) = 24 1 2 1 2 1 2 1 2
(−m + 6)(m + 5) = 24 2
m − m − 6 = 0 m = 3; m = 2 − .
Giá trị m = 3 thoả mãn, m = - 2 không thoả mãn điều kiện. (*)
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm. Ví dụ ❾ Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi .
b) Tìm để phương trình có hai nghiệm thoả mãn . Lời giải
a) Với m = 2, ta có phương trình: 2 2
x + 3x +1 = 0 . Các hệ số của phương trình thoả mãn 1
a − b + c = 2 − 3 +1 = 0 nên phương trình có các nghiệm: x = −1, x = − . 1 2 2
b) Phương trình có biệt thức = (2m − ) 1 2 − (. 2 . 4 m − ) 1 = (2m − )
3 2 0 nên phương trình
luôn có hai nghiệm x , x với mọi m . 1 2 2m − x + x = − 1 1 2
Theo định lý Viet, ta có: 2 . m −1 x .x = 1 2 2 Điều kiện đề bài 4 2 x + 2x x + 4 2 x = 1 ( 4 x + x
− x x = . Từ đó ta có: 1 2 )2 6 1 1 1 2 2 1 2 (1− 2 )2 m − ( 3 m − ) 1 = 1 4 2
m − 7m + 3 = 0 .
Phương trình này có tổng các hệ số a + b + c = 4 + (− )
7 + 3 = 0 nên phương trình này có các nghiệm 3 m = 1, m = . 1 2 4
Vậy các giá trị cần tìm của m là 3 m = 1, m = . 4
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Ví dụ ❿ Cho phương trình với là tham số. a) Giải phương trình khi và . b) Tìm giá trị của
để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: . Lời giải
a) Khi a = 3 và b = 5 − ta có phương trình: 2
x + 3x − 4 = 0 .
Do a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = , 1 x = 4 − . 1 2
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x , x 2
= a − 4(b +1) 0 (*) 1 2
x + x = −a
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có 1 2 (1). x x = b +1 1 2 x − x = 3 x − x = 3 x − x = 3 Bài toán yêu cầu 1 2 1 2 1 2 (2). 3 3 x − 3 x = 9 (x − x +3x x x − x = 9 x x = −2 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 1 2
Từ hệ (2) ta có: ( x + x )2 = (x − x )2 2 + 4x x = 3 + 4( 2
− ) =1, kết hợp với (1) được 1 2 1 2 1 2 2 a =1 a =1,b = 3 − . b +1 = 2 − a = 1 − ,b = 3 −
Các giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*) nên chúng là các giá trị cần tìm.
Bài tập rèn luyện
Câu 1: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình đã cho với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
(x1x2 – 1)2 = 9( x1 + x2 ).
Hướng dẫn giải
a) Với m = 1, ta có phương trình: x2 – x + 1 = 0
Vì ∆ = - 3 < 0 nên phương trình trên vô nghiệm.
b)Ta có: ∆ = 1 – 4m. Để phương trình có nghiệm thì ∆ 0 1 – 4m 0 1 m (1). 4
Theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = 1 và x1.x2 = m
Thay vào đẳng thức: ( x1x2 – 1 )2 = 9( x1 + x2 ), ta được:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
(m – 1)2 = 9 m2 – 2m – 8 = 0 m = - 2. . m = 4
Đối chiếu với điều kiện (1) suy ra chỉ có m = -2 thỏa mãn.
Câu 2: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
b) Tìm các giá trị của m để: x 2 2 1 + x2 – x1x2 = 7.
Hướng dẫn giải
a) Ta có = m2 + 1 > 0, m R. Do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo định lí Vi-ét thì: x 2 2
1 + x2 = 2m và x1.x2 = - 1. Ta có: x1 + x2 – x1x2 = 7
(x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 7 4m2 + 3 = 7 m2 = 1 m = 1 .
Câu 3: Cho phương trình: (x2 - x - m)(x - 1) = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 2, ta có phương trình 2 x − x − 2 = 0 x = 1 − ; x = 2
(x2 - x - 2)(x - 1) = 0 <=> x −1 = 0 x =1
Vậy phương trình có 3 nghiệm x 1; x = 2
b) Vì phương trình (1) luôn có nghiệm x1 = 1 nên phương trình (1) có 2 đúng nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có nghiệm kép khác 1 1 = + = = − 0 1 4m 0 m 1 4 m = − . f (1) 0 1 −1− m 0 4 m 0
- Hoặc phương trình f(x) = x2 - x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1. 1 + − 0 1 4m 0 m 4 m = 0. f (1) = 0 m = 0 m = 0
Vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = - 1 ; m = 0. 4
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 4: Cho phương trình: x4 - 5x2 + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 4.
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Hướng dẫn giải
a) Với m = 4 ta có x4 - 5x2 + 4 = 0
Đặt x2 = t , với t 0 ta có pt t2 - 5t + 4 = 0 <=> t1 = 1; t2 = 4 2 x =1 x = 1 Từ đó, ta được: . 2 x = 4 x = 2
Vậy phương trình có 4 nghiệm x = 1 ; x = 2 .
b) x4 - 5x2 + m = 0 (1) có dạng f(y) = y2 - 5y + m = 0 (2) (với y = x2 ; y > 0)
Phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt phương trình (2): 25 = 0 m =
1) Hoặc có nghiệm kép khác 0 <=> 25 4 m = . f (0) 0 4 m 0
2) Hoặc có 2 nghiệm khác dấu m 0.
Vậy m = 25 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt 4
Câu 5: Cho phương trình: x2 - 2x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = - 3.
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: = 1.
Hướng dẫn giải
a) Vì a - b + c = 1 - (- 2) + (- 3) = 0 nên x1 = - 1; x2 = 3
b) Phương trình có nghiệm ' > 0 1 - m > 0 m < 1
Khi đó theo hệ thức Viét, ta có: x1 + x2 = 2 và x1x2 = m (1) 2 2 2 1 1 x + x (x + x ) − 2x x 1 2 1 2 1 2 + =1 =1 =1 (2) 2 2 2 2 2 x x x x (x x ) 1 2 1 2
Từ (1), (2), ta được: 4 - 2m = m2 <=> m2 + 2m - 4 = 0
' = 1 + 4 = 5 => ' = 5 nên m = -1 + 5 (loại); m = - 1 - 5 (T/m vì m < 1).
Vậy giá trị m cần tìm là: m = 1 − − 5
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Câu 6: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Hướng dẫn giải
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành: x2 - 4x -12 = 0
' = 16, pt đã cho có 2 nghiệm: x = - 2; x = 6.
b) Phương trình (1) có nghiệm ' 0 m2 + 6m m 6 − ; m 0 (2) x + x = 2m
Khi đó, theo hệ thức Vi ét ta có: 1 2 (3) x x = - 6m 1 2
Phương trình có 1nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia khi và chỉ khi: 2 2
x = 2x ; x = 2x (x − 2x )(x − 2x ) = 0 5x x − 2(x + x ) = 0 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2
5x x − 2[(x + x ) − 2x x ] = 0 9x x − 2(x + x ) = 0 (4) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Từ (3), (4), ta có: 27 2 5
− 4m −8m = 0 m = 0; m = − (TMĐK (2)) 4
Vậy các giá trị m cần tìm là 27 m = 0; m = − . 4
Câu 7: Cho phương trình: mx2- (2m + 3 )x+ m - 4= 0
a) Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt?
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi: m 0 m 0 m 0 9 2
= (2m + 3) − 4m(m − 4) 0 28m + 9 0 m − 28 Vậy với 9 0 m −
thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt. 28 2m + 3 3 x + x = x + x = 2 + 1 2 1 2
b) Khi đó pt có 2 nghiệm thoả mãn: m m m − 4 4 x x = x x =1− 1 2 m 1 2 m 12 4(x + x ) = 8 + 1 2 m 12 3 x x = 3− 1 2 m
Cộng 2 vế pt trên ta đợc:
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
4(x1+x2) +3 x1x2=11. Đây chính là hệ thức cần tìm.
Câu 8: Cho phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x 2 2
1, x2 của phương trình thoả mãn x1 +x2 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Hướng dẫn giải 2
a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 1 15 m − + 2 4 2 Do 1 15 m − 0 với mọi m;
0 > 0 với mọi m 2 4
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0 ( 2 m − ) 1 0 m 1 m 3 − − (m + ) 3 0 m 3 − Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó A = x 2 2
1 +x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0 m 0 m 0 3 m 2m − 3 3 0 2 m 2 m 0 m 0 m 0 2m − 3 0 3 m 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Vậy m 3 hoặc m 0 2
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm x + x = ( 2 m − ) 1 x x m 1 2 + = 2 − 2
Theo định lí Viet ta có: . 1 2
x .x = −(m + ) 3 x x m 1 2 2 . = −2 − 6 1 2 x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m 8 + x f) Từ ý e) ta có: x 2
1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) x = − 1 1 + 2x2 8 + x Vậy 1 2 x = − ( x − ) 1 1 + 2x 2 2 2
Câu 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: .
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 = 5.
d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - 3. Tính nghiệm còn lại.
e) Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: = m2 - 4(m + 3) = m2 - 4m - 12
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì
> 0 m2 - 4m - 12 > 0 ( )( ) m < -2 m - 6 m + 2 > 0 . m > 6
b) Ta có x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên.
Theo định lý Vi-et, ta có: x + x = −m 1 2 x x = m + 3 1 2 2 2 2 2 2 = − − + = − − x + x = (x + x ) − 2x x ( m) 2(m 3) m 2m 6 1 2 1 2 1 2 Thay vào ta được: m = -3
m2 - 2m - 6 = 9 m2 - 2m - 15= 0 m = 5
c) Phương trình có nghiệm x ; x 0 1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 x + x = −m (1)
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: 1 2 x x = m + 3 (2) 1 2 Hệ thức: 2x1 + 3x2 = 5 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình : x + x = −m 3 x + 3x = 3 − m x = 3 − m − 5 x = −3m − 5 1 2 1 2 1 1 2x + 3x = 5 2x + 3x = 5 x = −m − x x = 2m + 5 1 2 1 2 2 1 2 x = 3 − m − 5 Thay 1
vào (2) ta có phương trình: x = 2m + 5 2 2 2 ( 3
− m − 5)(2m + 5) = m + 3 6
− m −15m −10m − 25 = m + 3 6 − m − 26m − 28 = 0 2 3m +13m +14 = 0 2 =13 − 4.3.14 = 1 0 (m) − + − −
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 13 1 13 1 7 m = = 2 − ; m = = − 1 2 2.3 2.3 3 Kiểm tra: Với m = 2
− = 0 (thỏa mãn). − Với 7 25 m = = 0 (thỏa mãn). 3 9 Vậy với 7 m = 2
− ; m = − phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 5. 3
d) Phương trình (1) có nghiệm x = 3 − 1 2 ( 3 − ) + m.( 3 − ) + m + 3 = 0 2m − +12 = 0 m = 6
Khi đó: x + x = −m x = −m − x x = 6 − − ( 3 − ) x = 3 − 1 2 2 1 2 2
Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm: x1 = x2 = - 3. x + x = −m m = −x − x
e) Theo định lí Vi-et, ta có: 1 2 1 2 −x − x = x x − 3 1 2 1 2 x x = m + 3 m = x x − 3 1 2 1 2
Câu 10: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Hướng dẫn giải
a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1
Phương trình đã cho có nghiệm ' 0 m - 1 2
x + x = 2(m +1) (1)
b ) Theo hệ thức Viét ta có 1 2 2 x x = m (2) 1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 + 2 + Từ (1) ta có m = x x x x 1
2 −1 thay vào (2) ta được 1 2 x x = −1 2 1 2 2
hay 4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Phiếu ôn tập Phi ếu ➊
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3: Cho phương trình . Gọi và
là hai nghiệm của phương trình.
Hãy tính giá trị của biểu thức
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số)
a) Giải phương trình với .
b) Tìm để phương trình có nghiệm kép.
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình đã cho có a −b + c = 0 .
Suy ra phương trình có hai nghiệm x = 1 − và x = 3.
Câu 2: Đặt 2
t = x (t 0) ta có phương trình: 2
t + 5t − 36 = 0 2
t + 9t − 4t −36 = 0 t (t + 9) − 4(t + 9) = 0 − = t = 4 (TM ) ( t
t + 9)(t − 4) = 4 0 0 t + 9 = 0 t = 9 − (KTM ) Với 2
t = 4 x = 4 x = 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 ; x = 2 − Câu 3: = (− )2 3
− 4.1.1= 5 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1x; x 2 x + x = 3
Theo hệ thức Vi-et, ta có: 1 2 (2) = 1 x . 2 x 1 Ta có 2 2 A = + = + − (3) 1 x 2 x
( 1x 2x)2 2 1x 2x Thay (2) vào (3) ta được 2 A = 3 − 2.1 = 7 Vậy A = 7 . Câu 4:
a) Giải phương trình với m =1.
Với m =1, phương trình đã trở thành: 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022
Nhận xét: a −b + c =1− 4 + 3 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x = 1 − 1 c x = − = 3 − 2 a
Vậy khi m =1 thì tập nghiệm của phương trình là S = 1 − ;− 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Phương trình 2
x + 4x + 2m +1 = 0 có ' 2 = 2 − (2m + )
1 = 4 − 2m −1 = 3 − 2m
Để phương trình có nghiệm kép thì 3 '
= 3− 2m = 0 m = 2 Vậy với 3 m =
thì phương trình đã cho có nghiệm kép. 2 Phi ếu ➋
Câu 1: Giải phương trình
Câu 2: Giải phương trình
Câu 3: Cho phương trình ẩn : (1)
a) Giải phương trình (1) với .
b) Tìm để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn hệ thức .
Câu 4: Cho phương trình: ( là tham số). 1. Giải phương trình với 2. Tìm để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Hướng dẫn giải
Câu 1: Phương trình 2
2x − 9x + 4 = 0 có: 2 = ( 9 − ) − 4.2.4 = 49 0 9 − 49 1 x = = 1
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt : 4 2 9 + 49 x = = 4 2 4
Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 1 ;4 2
Câu 2: Đặt 2
t = x (t 0). Phương trình ( ) 1 trở thành 4 2
t −12t +16 = 0 (2) , Với a =1, b = 1 − 2, c =16.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 = (− )2 ' 6
−1.16 = 36 −16 = 20 ' = 2 5.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm t = 6 + 2 5 N ,t = 6 − 2 5 N . 1 ( ) 2 ( ) Vậy phương trình ( ) 1 có bốn nghiệm x =
6 + 2 5 = 5 +1, x = − 6 + 2 5 = − 5 +1 , 1 2 ( ) x =
6 − 2 5 = 5 −1, x = − 6 − 2 5 = − 5 −1 . 3 4 ( )
Vậy phương trình có tập nghiệm S = 5 +1;−( 5 + ) 1 ; 5 −1; − ( 5 − ) 1 .
Câu 3:
a) Giải phương trình (1) với m = 6.
Với m = 6 phương trình (1) trở thành phương trình: 2
x − 5x + 4 = 0 (2)
Ta có: a + b + c = 1+ ( 5
− ) + 4 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm và 1 x = 1 2 x = 4
Vậy với m = 6 thì tập hợp nghiệm của phương trình (1) là S = 1; 4
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x thỏa mãn hệ thức 1 1 3 + = . x x 2 1 2
Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x thì: 2 0 ( 5
− ) − 4(m − 2) 0 33 3 3− 4m 0 m S = + 1 x 2 x 0 5 0 4 m 2 P = m − 2 0 m 2 1 x . 2 x 0 Vậy với 33 2 m
thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2 x 4 x + x = 5
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có 1 2 (3) = − 1 x . 2 x m 2 Ta có 1 1 3 + = x x 2 1 2 2 x 1 x 3 + = x x x x 2 1 2 1 2 2( + = 1 x 2 x ) 3 1 x . 2 x 4( + + = (4) 1 x 2 x 2 1 x . 2 x ) 9 1 x . 2 x Thay (3) vào (4) ta có:
4(5 + 2 m − 2 ) = 9(m − 2) 9(m − 2) −8 m − 2 − 20 = 0 (5)
Đặt t = m − 2 điều kiện t 0 khi đó phương trình (5) trở thành phương trình: 2
9t − 8t − 20 = 0 (6) −
Giải phương trình (6) ta được t = 2 (thỏa mãn) hoặc 10 t = (không thỏa mãn) 9
Với t = 2 m − 2 = 2 m − 2 = 4 m = 6
Vậy m = 6 thì phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt 1 x ; 2
x thỏa mãn hệ thức 1 1 3 + = . x x 2 1 2
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh
Chuyên đề Ôn thi TS và o lớ
p 10 hệ GDPT năm 2021-2022 Câu 4: x = 1 − 1) Với m = 2 − thì ( ) 2
1 x + 4x + 3 = 0
(vì: a −b + c = 0 ) x = 3 −
Vậy PT có hai nghiệm x = 1 − ; x = 3 −
2) Ta có: =(−m)2 − (− m − ) = m + m+ =(m + )2 2 ' 1. 4 5 4 5 2 +1 0 m Vậy phương trình ( )
1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi . m
x + x = 2m Theo Vi-Et ta có: 1 2 x .x = 4 − m − 5 1 2 Mà: 1 33 2
x − m −1 x + x − 2m +
= 4059 x − 2 m −1 x + 2x − 4m+ 33=8118 1 ( ) 1 2 1 ( ) 1 2 2 2 2 2
x − 2mx + 2x + 2x − 4m− 5 +38=8118 x − 2mx − 4m− 5 + 2 x + x =8080 * 1 1 1 2 1 1 ( 1 2 ) ( )
Do: x là một nghiệm của phương trình ( ) 1 nên: 2
x − 2mx − 4m − 5= 0 1 1 1 ( ) * 2( x + x
= 8080 2.2m = 8080 (Vì: x + x = 2m ) 1 2 ) 1 2
4m = 8080 m = 2020.
Vậy m = 2020 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
St&Bs-FB: Duong Hung-Zalo 0774860155—File Word xinh lung linh Word xinh