Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông – Lư Sĩ Pháp

Tài liệu gồm 34 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Lư Sĩ Pháp, hướng dẫn phương pháp giải các dạng toán Hình học 9 chương 1 chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông. Mời bạn đọc đón xem.

119 60 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Môn: Toán 9

Thông tin:

34 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
HÌNH HOÏC 9
HỆ THỨC
LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC
VUÔNG
I Love Math
0916620899
lsp02071980@gmail.com
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
1
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
---0o0---
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
Quy ước
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
Cạnh huyền
BC a
=
Cạnh góc vuông
;AB b AC c= =
Hình chiếu của cạnh
AB
trên
BC
là
BH b
′
=
Hình chiếu của cạnh
AC
trên
BC
là
CH c
′
=
Đường cao
AH h
=
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Định lí 1.
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu
của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền
Tức là:
=
2
.AB BC BH
hay
2
b ab
′
=
=
2
.AC BC CH
hay
2
c ac
′
=
Định lí Py – ta – go
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông
Tức là :
+ =
2 2 2
AB AC BC
hay
2 2 2
a b c= +
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao
Định lí 2.
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của
hai cạnh của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền
Tức là:
2
.AH BH HC=
hay
2
.h b c
′ ′
=
Định lí 3.
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng
Tức là:
. .AB AC BC AH=
hay
. .b c a h=
Định lí 4.
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các
nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Tức là: = +
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
hay = +
h b c
2 2 2
1 1 1
B. BÀI TẬP
Bài 1.
Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người đo
đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đo đến
mặt đất là 1,5m.
HD Giải
Xét tam giác
ACD
vuông tại
D
có đường cao
BD
và
1,5AB m=
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
2
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
Ta có:
2 2
. (2,25) 1,5. 3,375BD AB BC BC BC m= ⇔ = =
Vậy chiều cao của cây là
1,5 3,375 4,875AC AB BC m= + = + =
Bài 2. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
6 , 8 .AB cm AC cm= =
Tính độ dài cạnh huyền và đường
cao
AH
HD Giải
Xét tam giác
ABC
vuông tại
A
, ta có
2 2 2 2 2
6 8 100BC AB AC= + = + =
Suy ra:
10BC cm=
Ta lại có:
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 AB AC
AH
AH AB AC AB AC
= + =
+
Vậy
2 2
2 2
6 .8
4,8
6 8
AH cm= =
+
Bài 3. Hãy tìm
x
và
y
trong mỗi hình sau
a) b)
c)
d)
e) f)
g)
h)
k)
Bài 4. Trong một tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với
cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài 5. Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Tính
các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài 6. Cho hình vuông
.ABCD
Gọi
I
là một điểm cố định giữa
A
và
B
. Tia
DI
và
CB
cắt nhau tại
K
. Kẻ đường thẳng qua
D
vuông góc với
DI
và cắt
BC
tại
.
L
Chứng minh rằng
a) Tam giác
DIL
là tam giác cân
b) Tổng
2 2
1 1
DI DK
+
không đổi khi
I
thay đổi trên cạnh
AB
.
Bài 7. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
.AH
Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
, , ,BH CH AH AC
nếu biết:
a.
6 ; 10 .AB cm BC cm= =
b.
20 ; 25 .AB cm BC cm= =
6cm
8cm
H
C
B
A
y
x
6
8
H
C
B
A
y
x
12
20
H
C
B
A
y
x
1
4
H
C
B
A
7
5
y
x
H
C
B
A
y
x
2
4
H
C
B
A
2
1
y
x
H
C
B
A
9
4
H
C
B
A
x
y
2
y
x
H
C
B
A
16
12
y
x
H
C
B
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
3
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
c.
12 ; 13 .
AB cm BC cm
= =
d.
3 ; 2 .
AB cm BC cm
= =
e.
5 ; 1 .
AB cm BC dm
= =
f.
2 2 ; 4 .
AB cm BC cm
= =
Bài 8. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
.
AH
Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
, , ,
BC AH BH CH
nếu biết:
a.
3 ; 4 .
AB cm AC cm
= =
b.
12 ; 9 .
AB cm AC cm
= =
c.
12 ; 5 .
AB cm AC cm
= =
d.
2 ; 2 .
AB cm AC cm
= =
e.
3 ; 1 .
AB cm AC cm
= =
6.
3 ; 4
AB a AC a
= =
(với
a
là độ dài cho trước,
0
a
>
).
Bài 9. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
.
AH
Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
, , ,
AH BC AB AC
nếu biết:
a.
9 ; 16 .
BH cm CH cm
= =
b.
2 ; 2 .
BH cm CH cm
= =
c.
1 ; 3 .
BH cm CH cm
= =
d.
25 ; 144 .
BH cm CH cm
= =
e.
16 ; 9
BH a CH a
= =
(với
a
là độ dài cho trước,
0
a
>
).
f.
144 , 25
BH a CH a
= =
(với
a
là độ dài cho trước,
0
a
>
).
Bài 4. Cho tam giác
DEF
vuông tại
D
có
DI
là đường cao. Tính độ dài
DI
nếu biết:
a.
15 , 20 .
DE cm DF cm
= =
b.
1 , 1 .
DE cm DF cm
= =
c.
7 , 24 .
DE cm DF cm
= =
d.
12 , 15 .
DE cm EF cm
= =
e.
3 , 2 .
DF cm EF cm
= =
f.
9 , 25 .
EI cm EF cm
= =
Bài 5. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
có đường cao
.
AH
Hãy điền các số thích hợp vào ô trống. (Sử
dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm).
AB
AC
BC
AH
BH
CH
3 4
5 12
7 24
9 40
20 29
60 61
84 85
9 16
3,2 1,8
1,96 23,04
Bài 6. Giả sử tam giác
ABC
không có góc tù. Chứng minh tam giác
ABC
là tam giác vuông nếu biết:
a.
6 , 8 , 10 .
AB cm AC cm BC cm
= = =
b.
15 , 20 , 12 .
AB cm AC cm AH cm
= = =
c.
12 , 16 , 9 .
AH cm BH cm CH cm
= = =
d.
30 , 36 , 25 .
AH cm BH cm CH cm
= = =
e.
2 , 1 , 4 .
AB cm BH cm BC cm
= = =
f.
24 , 1,96 , 25 .
AC cm BH cm BC cm
= = =
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
4
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
§2. T
Ỉ
S
Ố
L
ƯỢ
NG GIÁC C
Ủ
A GÓC NH
Ọ
N
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn
a. Mở đầu
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Xét góc nhọn
B
của nó.
Cạnh
AB
được gọi là cạnh kề của góc
B
Cạnh
AC
được gọi là cạnh đối của góc
B
b. Định nghĩa
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền
được gọi là sin của góc
α
, kí hiệu là
α
sin
α
=
caïnh ñoái
sin
caïnh huyeàn
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được
gọi là cosin của góc
α
, kí hiệu là
α
cos
α
=
caïnh keà
cos
caïnh huyeàn
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được
gọi là tang của góc
α
, kí hiệu là
α
tan
α
=
caïnh ñoái
tan
caïnh keà
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được
gọi là côtang của góc
α
, kí hiệu là
α α
cot (cot )g
α
=
caïnh keà
cot
caïnh ñoái
g
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
a. Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia
Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Ta có:
α β
,
là hai góc phụ nhau.
α β α β
α β α β
= =
= =
sin cos cos sin
tan cot cot tang
b. Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt
α
TSLG
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
α
0
3
3
1
3
||
cot
α
||
3
1
3
3
0
c. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
0 sin 1;0 cos 1
α α
< < < <
. Ta có:
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
2 2
sin cos 1
α α
+ =
tan .cot 1
α α
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
cạnh kề
cạnh huyền
cạnh đối
α
C
B
A
β
α
C
B
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
5
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm tỉ số lượng giác của góc
B
.
HD Giải
Ta có:
= = = =
0
2
sin sin 45
2
2
AC a
B
BC
a
= = = =
0
2
cos cos45
2
2
AB a
B
BC
a
= = = =
0
tan tan 45 1
AC a
B
AB a
= = = =
0
cot cot 45 1
AB a
gB g
AC a
Bài 2. Tìm tỉ số lượng giác của góc
B
.
HD Giải
Ta có:
= = = =
0
3 3
sin sin60
2 2
AC a
B
BC a
= = = =
0
1
cos cos60
2 2
AB a
B
BC a
= = = =
0
3
tan tan 60 3
AC a
B
AB a
= = = =
0
3
cot cot 60
3
3
AB a
gB g
AC
a
Bài 3. Trong hình tìm
y
HD Giải
Ta có:
=
= = ≈
0 0
17 3
cos30 17.cos30 14,7
17 2
y
y
Bài 4. Dựng góc nhọn
α
biết
α
=
2
tan
3
HD Giải
Dựng góc vuông
xOy
.
Trên tia
,Ox
lấy điểm
A
sao cho
= 2OA
Trên tia
,Oy
lấy điểm
B
sao cho
= 3OB
Suy ra góc
α
=OBA
. Thật vậy, ta có:
α
= = =
2
tan tan
3
OA
BOA
OB
Bài 5. Dựng góc nhọn
β
biết
β
=
1
sin
2
HD Giải
Dựng góc vuông
xOy
.
Trên tia
,Oy
lấy điểm
M
sao cho
=1OM
Trên tia
,Ox
lấy điểm
N
sao cho
= 2MN
Suy ra góc
β
=MNO
. Thật vậy, ta có:
β
= = =
1
sin sin
2
OM
MNO
MN
Bài 6. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn
0
34
rồi viết các tỉ số lượng giác của góc
0
34
.
Bài 7. Cho tam giác
ABC
vuông tại
,C
trong đó
= =
0,9 , 1,2 .
AC m BC m
Tính các tỉ số lượng giác của
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
6
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
góc
,B
từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc
.
A
Bài 8. Dựng góc nhọn
α
, biết
a)
α
=
2
sin
3
b)
α
=
cos 0,6
c)
α
=
3
tan
4
d)
α
=
3
cot
2
Bài 9. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Biết
=
cos 0,8B
, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc
.
C
Bài 10. Cho tam giác vuông có một góc
0
60
và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tính độ dài của cạnh đối
diện với góc
0
60
Bài 11. Tìm
x
trong hình bên
Bài 12. Tìm
;x y
trong các hình sau:
Bài 13. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Đường cao
AH
. Tính
sin B
và
sinC
trong mỗi trường hợp
sau:
a)
13; 5.AB BH
= =
b)
3; 4.BH CH
= =
Bài 14. Cho hình vẽ. Biết
9 ; 6,4 ; 36AB cm AC cm AN cm
= = =
;
0
90
AND
=
và
0
34
DAN
=
. Hãy tính: Độ
dài đoạn
;CN AD
; Góc
ABN
và
CAN
.
Bài 15. Cho hình vẽ bên. Biết
2AB BC CD DE cm= = = =
. Hãy tính:
a) Độ dài đoạn
AD
và
BE
b) Góc
DAC
và
BXD
Bài 16. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
, có
= =
6 , 8
AB cm AC cm
. Tính các tỉ số lượng giác của góc
B
.
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc
C
.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
7
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 17. Tìm sin
α
,cot
α
, tan
α
biết
1
cos .
5
α
=
Bài 18. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
,
0
30
C
=
và
10BC cm=
a) Tính độ dài đoạn
,AB AC
b) Kẻ từ
A
các đường thẳng
,AM AN
lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của
góc
B
. Chứng minh
MN AB=
.
c) Chứng minh hai tam giác
MAB
và
ABC
đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
Bài 19. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Biết
30AB cm=
,
B
α
=
,
5
tan
12
α
=
. Tính cạnh
BC
và
AC
.
Bài 20. Tính
sin L
trong hình dưới
Bài 21. Tìm
x
trong hình dưới
Bài 22. Trong hình bên. Hãy tính
a) Độ dài cạnh
BC
b) góc
ADC
c) Khoảng cách từ điểm
B
đến cạnh
AD
Bài 23. Trong hình bên. Hãy tính
a) Độ dài cạnh
PT
b) Diện tích tam giác
PQR
Bài 24. Trong hình bên dưới, cho tam giác
BCD
là tam giác đều cạnh
5cm
và góc
0
40
DAB
=
. Hãy tính
AD
và
AB
.
Bài 25. Cho tam giác
ABC
có
0
12 , 60BC cm B= = và
0
40
C
=
. Tính:
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
8
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
a)
Đườ
ng cao
CH
và c
ạ
nh
AC
. b) Di
ệ
n tích tam giác
ABC
.
Bài 26.
Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c:
a)
2 0 0 2 0 0
cos 52 .sin 45 sin 52 .cos 45
A = +
b)
0 2 0 2 0 0
tan 60 .cos 47 sin 47 .cot 30
B = +
Bài 27.
Tìm cos
α
, tan
α
,cot
α
. bi
ế
t
1
sin
5
α
=
Bài 28.
Không dùng máy tính ho
ặ
c b
ả
ng s
ố
, hãy tính:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 20 cos 30 cos 40 cos 50 cos 60 cos 70
A
= + + + + +
b)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 5 sin 25 sin 45 sin 65 sin 85
B
= + + + +
c)
0 0 0 0 0 0
tan1 .tan 2 .tan 3 .tan 4 ...tan88 .tan89
C
=
.
Bài 29.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Đặ
t
ABC x
=
v
ớ
i
0 90 .
x
° < < °
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
)
sin cos 90 .
x x
= ° −
b.
)
cos sin 90
x x
= ° −
c.
)
tan cot 90 .
x x
= °−
d.
)
cot tan 90 .
x x
= ° −
Bài 30.
Cho tam giác
đề
u
ABC
có c
ạ
nh b
ằ
ng
2
a
v
ớ
i
0
a
>
và
đườ
ng cao
.
AH
a. Tính
,
BH AH
theo
.
a
b. Tính t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a góc
30
°
và góc
60 .
°
Bài 31.
Cho tam giác
ABC
vuông cân t
ạ
i
A
có
2
BC a
=
v
ớ
i
0.
a
>
a. Tính
AB
và
AC
theo
.
a
b. Tính t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a góc
45 .
°
Bài 32.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Hãy tính t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a góc
B
và góc
C
n
ế
u bi
ế
t:
a.
3 , 4 .
AB cm AC cm
= =
b.
6 , 10 .
AB cm BC cm
= =
c.
5 , 12 .
AC cm BC cm
= =
d.
5 , 1 .
AB cm BC dm
= =
e.
2 , 2 .
AC cm BC cm
= =
f.
3 3 , 3 .
AB cm AC cm
= =
Bài 33.
Tính các t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a các góc sau (S
ử
d
ụ
ng máy tính b
ỏ
túi
để
làm tròn các k
ế
t qu
ả
đế
n ch
ữ
s
ố
hàng ph
ầ
n nghìn)
a.
sin1 , sin23 , sin 45 , sin67 , sin89 .
° ° ° ° °
b.
cos1 , cos 23 , cos 45 , cos 67 , cos89 .
° ° ° ° °
c.
tan1 , tan 23 , tan 45 , tan 67 , tan 89 .
° ° ° ° °
d.
cot1 , cot 23 , cot 45 , cot 67 , cot89 .
° ° ° ° °
Bài 34.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Hãy
đ
i
ề
n các s
ố
thích h
ợ
p vào ô tr
ố
ng (S
ử
d
ụ
ng máy tính b
ỏ
túi
để
làm tròn các k
ế
t qu
ả
đế
n ch
ữ
s
ố
hàng ph
ầ
n tr
ă
m và
đổ
i k
ế
t qu
ả
đ
o góc sang
độ
, phút, giây)
AB
AC
BC
Góc
B
Góc
C
3 4
5 12
2
2
3
30
°
20
40
°
1
15
°
5
18
°
30
54
°
100
22 30
′
°
2
7 30
′
°
Bài 35.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Đặ
t
ABC x
=
v
ớ
i
0 90 .
x
° < < °
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
2 2
sin cos 1.
x x
+ =
b.
sin
tan ;
cos
x
x
x
=
c.
cos
cot ;
sin
x
x
x
=
d.
tan .cot 1.
x x
=
e.
2
2
1
1 tan ;
cos
x
x
= +
f.
2
2
1
1 cot .
sin
x
x
= +
Bài 36.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
sin 23 cos67 .
A
= ° − °
b.
cos34 sin56 .
B
= °− °
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
9
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
c.
tan18 cot72 .
C
= °− °
d.
cot36 tan54 .
D
= ° − °
Bài 37.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
sin10 sin 40 cos50 cos80 .
A
= ° + °− ° − °
b.
cos15 cos35 sin55 sin 75 .
B
= ° + ° − ° − °
c.
tan 27 .tan63
.
cot63 .cot 27
C
° °
=
° °
d.
cot 20 cot 45 cot70
tan 20 tan 45 tan70
D
° ° °
=
° ° °
.
Bài 38.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
2 2
sin 22 cos 22
A
= ° + °
b.
2 2
sin 40 sin 50 .
B
= ° + °
c.
2 2
cos 20 cos 70 .
C
= ° + °
d.
tan15 .cot15 .
D
= ° °
e.
tan18 .tan72 .
E
= ° °
f.
cot16 .cot74 .
F
= ° °
Bài 39.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
2 2 2 2
sin 15 sin 35 sin 55 sin 75 .
A
= ° + ° + ° + °
b.
2 2 2 2
cos 15 cos 35 cos 55 cos 75 .
B
= ° + ° + °+ °
c.
tan15 .tan35 .tan55 .tan75 .
C
= ° ° ° °
d.
cot15 .cot35 .cot55 .cot75 .
D
= ° ° ° °
Bài 40.
Cho
x
là góc nh
ọ
n.
a. Tính
cos , tan , cot
x x x
n
ế
u bi
ế
t
3
sin .
5
x
=
b. Tính
sin , tan , cot
x x x
n
ế
u bi
ế
t
12
cos .
13
x =
c. Tính
sin ,cos , cot
x x x
n
ế
u bi
ế
t
tan 3.
x =
d. Tính
sin ,cos , tan
x x x
n
ế
u bi
ế
t
cot 1.
x
=
Bài 41.
S
ắ
p x
ế
p theo th
ứ
t
ự
t
ă
ng d
ầ
n các t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác sau:
a.
sin15 , sin30 , sin45 , sin60 , sin75 .
° ° ° ° °
b.
cos15 ,cos30 , cos 45 , cos60 ,cos 75 .
° ° ° ° °
c.
tan15 , tan 30 , tan 45 , tan 60 , tan 75 .
° ° ° ° °
d.
cot15 , cot 30 , cot 45 , cot 60 , cot 75 .
° ° ° ° °
Bài 42.
S
ắ
p x
ế
p theo th
ứ
t
ự
t
ă
ng d
ầ
n các t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác sau:
a.
sin11 , sin33 ,cos55 ,cos77 .
° ° ° °
b.
tan 22 , tan 44 , cot 66 , cot88 .
° ° ° °
c.
sin15 , cos80 , tan 25 , cot75 .
° ° ° °
d.
sin10 , cos10 ,tan45 , cot33 .
° ° ° °
Bài 43.
Cho
0 90
x
° < < °
. Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a.
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cos .
x x x x
+ = −
b.
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cos .
x x x x
+ = −
c.
4 4 2
sin cos 1 2cos .
x x x
− = −
d.
1 cos sin
.
sin 1 cos
x x
x x
−
=
+
e.
sin 1 cos 2
.
1 cos sin sin
x x
x x x
+
+ =
+
f.
sin cos 1 2cos
.
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
+ −
=
− − +
Bài 44.
Cho
0 90
x
° < < °
. Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a.
2 2 2 2
tan sin tan .sin .
x x x x
− =
b.
2 2 2 2
cot cos cot .cos .
x x x
− =
c.
1 1
1.
tan 1 cot 1
x x
+ =
+ +
d.
2
2
cos sin 1 cot
.
sin cos sin cos 1 cot
x x x
x x x x x
+
+ =
− + −
e.
2
2
1 sin 1 sin
4tan .
1 sin 1 sin
x x
x
x x
+ −
− =
− +
f.
2
2
1 cos 1 cos
4cot .
1 cos 1 cos
x x
x
x x
+ −
− =
− +
Bài 45.
Cho
0 90
x
° < < °
. Ch
ứ
ng minh các bi
ể
u th
ứ
c sau không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n:
a.
4 2 2 2
cos sin cos sin .
A x x x x
= + +
b.
4 4 2
cos sin 2cos .
B x x x
= − +
c.
(
)
(
)
6 6 4 4
2 sin cos 3 sin cos .
C x x x x
= + − +
d.
6 6 4 4 2
sin cos 2sin cos sin .
D x x x x x
= + − − +
e.
6 6 4 4 2 2
sin cos sin cos 5sin cos .
E x x x x x x
= + + + +
f.
(
)
(
)
2
4 4 2 2 8 8
2 sin cos sin cos sin cos .
F x x x x x x
= + + − +
Bài 46.
Tính giá tr
ị
các bi
ể
u th
ứ
c sau:
a.
)
sin1 sin 2 sin3 ... sin88 sin89
A
= ° + ° + ° + + ° + °
)
cos1 cos2 cos3 ... 88 cos89
− ° + ° + ° + + ° + °
b.
tan1 .tan2 .tan3 ....tan87 .tan88 .tan89 .
B
= ° ° ° ° ° °
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
10
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
c.
cot1 .cot 2 .cot3 ....cot87 .cot88 .cot89 .
C
= ° ° ° ° ° °
d.
2 2 2 2 2 2
sin 1 sin 2 sin 3 ... sin 87 sin 88 sin 89
D
= ° + ° + ° + + ° + ° + °
e.
2 2 2 2 2 2
cos 1 cos 2 cos 3 ... cos 87 cos 88 cos 89
E
= ° + ° + ° + + ° + ° + °
Bài 47.
Tính k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
a)
2 2 2 2 2 2
sin 10 sin 20 sin 30 sin 80 sin 70 sin 60
o o o o o o
A = + + + + +
.
b)
2 2 2 2
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89
o o o o
B = + + +
c)
2 2 2 2
sin 3 sin 15 sin 75 sin 87
o o o o
C = + + +
.
d)
2 2
cos 45 .cos 23 sin 45 .cos 67
o o o o
D = +
. e)
tan 64
1
cot 26
o
o
E
= −
Bài 49.
a) Bi
ế
t
1
cos
2
x
=
, tính
2 2
3sin 4cos
P x x
= +
.
b) Cho góc nh
ọ
n
β
mà
1
sin
4
β
=
.Tính
cos
β
và
tan
β
c) Cho góc
α
mà
1
cos
3
α
= −
cos
α
= -
3
1
. Tính
sin ,tan
α α
và
cot .
α
d) Cho
tan 2 2
x =
. Tính
sin
x
và
cos
x
.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
11
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
§3. M
Ộ
T S
Ố
H
Ệ
TH
Ứ
C V
Ề
C
Ạ
NH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Các hệ thức
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
A
, có
,
BC a AB c
= =
và
AC b
=
Đị
nh lí: Trong tam giác vuông, m
ỗ
i c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng:
a) C
ạ
nh huy
ề
n nhân v
ớ
i sin góc
đố
i ho
ặ
c nhân v
ớ
i cos góc k
ề
b) C
ạ
nh góc vuông kia nhân v
ớ
i tang góc
đố
i ho
ặ
c nhân v
ớ
i
côtang góc k
ề
Ngh
ĩ
a là:
.sin .cosb a B a C
= =
.sin .cosc a C a B
= =
.tan .cotb c B c C
= =
.tan .cotc b C b B
= =
2. Các công thức tính diện tích:
a) Tam giác:
= = =
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
, ,
a b c
h h h
các
đườ
ng cao t
ươ
ng
ứ
ng
= = =
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C
=
S pr
;
2
a b c
p
+ +
=
;
=
4
abc
S
R
p
: n
ữ
a chu vi;
,
r R
: bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i, ngo
ạ
i
ti
ế
p tam giác
(
)
(
)
(
)
= − − −S p p a p b p c
Công th
ứ
c Hê-rông
∆
ABC
đề
u, c
ạ
nh
a
:
=
2
3
4
a
S
,
đườ
ng cao
a
AH
3
2
=
∆
ABC
vuông t
ạ
i
A
:
= =
1 1
. . . .
2 2
S AB AC BC AH
b) Hình vuông:
S = a
2
(a: c
ạ
nh hình vuông)
c) Hình ch
ữ
nh
ậ
t:
S = a.b (a, b: hai kích th
ướ
c)
d) Hình bình hành:
S =
đ
áy
×
cao =
. .AB AD sinBAD
e) Hình thoi:
= =
1
. . .
2
S AB AD sinBAD AC BD
f) Hình thang:
( )
= +
1
.
2
S a b h
(a, b: hai
đ
áy, h: chi
ề
u cao)
g) T
ứ
giác có hai
đườ
ng chéo vuông góc
( )
AC BD
⊥
:
=
1
.
2
S AC BD
Lưu ý:
- Trong m
ộ
t tam giác vuông, n
ế
u cho bi
ế
t tr
ướ
c hai c
ạ
nh ho
ặ
c m
ộ
t c
ạ
nh và m
ộ
t góc nh
ọ
n thì ta s
ẽ
tìm
đượ
c t
ấ
t c
ả
các c
ạ
nh và góc còn l
ạ
i c
ủ
a nó.
- Bài toán
đặ
t ra nh
ư
v
ậ
y g
ọ
i là bài toán “Gi
ả
i tam giác vuông”
B. BÀI TẬP
Bài 1.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
A
,có
5, 8.
AB AC
= =
Hãy gi
ả
i tam giác vuông
ABC
.
HD Giải
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Py-ta-go, ta có:
2 2 2 2
5 8 9,434BC AB AC
= + = + ≈
Ta l
ạ
i có:
0
5
tan 0,625 32
8
AB
C C
AC
= = =
≈
0 0 0 0
90 90 32 58B C B
+ =
≈ − =
Bài 2.
Cho tam giác
OPQ
vuông t
ạ
i
O
,có
0
36 , 8.
P PQ
= =
Hãy gi
ả
i tam giác vuông
OPQ
HD Giải
a
b
c
C
B
A
5
8
C
B
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
12
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Ta có:
0 0 0 0 0
90 90 90 36 54
P Q Q P
+ =
= − = − =
Theo h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a c
ạ
nh và góc trong tam giác vuông, ta
có:
0
.sin 7.sin 54 5,663
OP PQ Q
= = ≈
0
.sin 7.sin 36 4,114
OQ PQ P
= = ≈
Bài 3.
Cho tam giác
LMN
vuông t
ạ
i
L
,có
0
51 , 2,8.
M LM
= =
Hãy gi
ả
i tam giác vuông
LMN
HD Giải
Ta có:
0 0 0 0
90 90 51 39N M
= − = − =
Theo h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a c
ạ
nh và góc trong tam giác vuông, ta
có:
0
.tan 2,8.tan51 3,458
LN LM M
= = ≈
0
2,8
4,449
cos51 0,6293
LM
MN
= ≈ ≈
Bài 4.
M
ộ
t chi
ế
c máy bay bay lên v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
500 / .km h
Đườ
ng bay lên t
ạ
o v
ớ
i ph
ươ
ng n
ằ
m ngang m
ộ
t
góc
0
30
. H
ỏ
i sau
1,2
phút máy bay lên cao
đượ
c bao nhiêu kilômét theo ph
ươ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng?
HD Giải
Ta có:
1,2
phút
1
50
=
gi
ờ
Đ
o
ạ
n
đườ
ng
500
10
50
AB km
= =
Do
đ
ó:
0
sin 10.sin 30 5BH AB A km
= = =
Bài 5.
Cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A. G
ọ
i BC = a, AC = b, AB = c. Gi
ả
i tam giác ABC, bi
ế
t:
a)
10b cm
=
,
0
30C
=
= 30° ; b)
20a cm
=
,
0
35B
=
= 35°; c)
15 , 10a cm b cm
= =
;
d)
12 , 7b cm c cm
= =
. e)
10c cm
=
,
45C
= °
; f)
11a cm
=
,
0
60C
=
Bài 6.
Cho tam giác ABC có BC = 11 cm,
38ABC
= °
và
30 .ACB
= °
G
ọ
i N là chân
đườ
ng vuông góc
k
ẻ
t
ừ
A
đế
n c
ạ
nh
BC
. Hãy tính:
a)
Độ
dài
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AN; b)
Độ
dài
đ
o
ạ
n thang AC. (K
ẻ
BK
vuông góc v
ớ
i
AC
)
Bài 7.
Các tia n
ắ
ng m
ặ
t tr
ờ
i t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t
góc x
ấ
p x
ỉ
b
ằ
ng
0
34
và bóng c
ủ
a m
ộ
t tháp trên
m
ặ
t n
ướ
c dài
86m
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tháp
Bài 8.
M
ộ
t c
ộ
t
đ
èn cao
7m
có bóng trên m
ặ
t
đấ
t
dài
4m
. Hãy tính góc (làm tròn
đế
n phút) mà tia
sáng m
ặ
t tr
ờ
i t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t góc
.
α
36
0
7
P
Q
O
51
0
2,8
N
M
L
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
13
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 9.
M
ộ
t khúc sông r
ộ
ng kho
ả
ng
250m
. M
ộ
t
chi
ế
c
đ
ò chèo qua sông b
ị
dòng n
ướ
c
đẩ
y xiên
nên ph
ả
i chèo kho
ả
ng
320m
m
ớ
i sang
đượ
c b
ờ
bên kia. H
ỏ
i dòng n
ướ
c
đ
ã
đẩ
y chi
ế
c
đ
ò l
ệ
ch
đ
i
m
ộ
t góc
α
b
ằ
ng bao nhiêu
độ
?
Bài 10.
Trong hình bên, có
8 ,AC cm
=
9,6 ,AD cm
=
0 0
90 , 54ABC ACB
= =
và
0
74ACD
=
. Hãy tính:
a)
Độ
dài
AB
b) Góc
ADC
Bài 11.
T
ượ
ng
đ
ài chi
ế
n th
ắ
ng là m
ộ
t công trình
ki
ế
n trúc
độ
c
đ
áo
đượ
c thi công nh
ằ
m k
ỷ
ni
ệ
m
ngày gi
ả
i phóng th
ị
xã Long Khánh, ngày 21 – 4
– 1975 th
ể
hi
ệ
n ý chí quy
ế
t th
ắ
ng c
ủ
a quân và
dân ta.
Em hãy tính chi
ề
u cao c
ủ
a công trình này bi
ế
t
r
ằ
ng khi tia n
ắ
ng c
ủ
a m
ặ
t tr
ờ
i t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t
góc 52
0
thì bóng c
ủ
a nó trên m
ặ
t
đấ
t là 16m.
(
Gi
ả
s
ử
chu vi m
ặ
t
đ
áy c
ủ
a kh
ố
i chóp tam giác không
đ
áng k
ể
)
Bài 12.
H
ằ
ng ngày hai anh em An và Bình cùng
đ
i b
ộ
t
ừ
nhà
ở
A
để
đế
n tr
ườ
ng. Tr
ườ
ng c
ủ
a An
ở
v
ị
trí
B
, tr
ườ
ng c
ủ
a Bình
ở
v
ị
trí
C
theo hai
h
ướ
ng vuông góc v
ớ
i nhau. An
đ
i v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
4 /km h
và
đế
n tr
ườ
ng sau
15
phút. Bình
đ
i v
ớ
i
v
ậ
n t
ố
c
3 /
km h
và
đế
n tr
ườ
ng sau
12
phút.Tính
kho
ả
ng cách
BC
gi
ữ
a hai tr
ườ
ng (làm tròn
đế
n
mét).
Bài 13.
M
ộ
t ng
ườ
i
A
đ
ang
ở
trên khinh khí c
ầ
u
ở
độ
cao
150m
nhìn th
ấ
y m
ộ
t v
ậ
t
B
trên m
ặ
t
đấ
t
cách hình chi
ế
u c
ủ
a khí c
ầ
u xu
ố
ng
đấ
t m
ộ
t
kho
ả
ng
285m
. Tính góc h
ạ
c
ủ
a tia
AB
. N
ế
u
khinh khí c
ầ
u ti
ế
p t
ụ
c bay lên th
ẳ
ng
đứ
ng thì khi
góc h
ạ
c
ủ
a tia
AB
là
46°
thì
độ
cao c
ủ
a khinh khí
c
ầ
u là bao nhiêu? (làm tròn
đế
n mét).
52
°
B
A
C
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
14
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 14.
M
ộ
t ng
ườ
i có m
ắ
t cách m
ặ
t
đấ
t
1, 4m
,
đứ
ng cách tháp Eiffel
400m
nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp
v
ớ
i góc nâng
39°
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tháp (làm
tròn
đế
n mét).
Bài 15.
M
ộ
t c
ộ
t
đ
èn cao
8
m
. Tính góc t
ạ
o b
ở
i tia n
ắ
ng m
ặ
t tr
ờ
i và m
ặ
t
đấ
t lúc nó có bóng trên m
ặ
t
đấ
t là
5m
.
Bài 16.
M
ộ
t cái thang dài
4m
đ
ang d
ự
a vào t
ườ
ng, chân thang cách chân t
ườ
ng
2m
.Tính góc t
ạ
o b
ở
i thang
v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t và v
ớ
i m
ặ
t t
ườ
ng.
Bài 17.
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t ng
ọ
n núi cho bi
ế
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m cách nhau
1km
trên m
ặ
t
đấ
t ng
ườ
i ta nhìn
th
ấ
y
đỉ
nh núi v
ớ
i góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
40°
và
32°
.
Bài 18.
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t cái tháp, cho bi
ế
t
khi các tia n
ắ
ng m
ặ
t tr
ờ
i t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t góc
42°
thì bóng c
ủ
a tháp trên m
ặ
t
đấ
t có chi
ề
u dài
150
m
.
Bài 19. Để
đ
o chi
ề
u r
ộ
ng
AB
c
ủ
a m
ộ
t con sông
mà không ph
ả
i b
ă
ng ngang qua sông, m
ộ
t ng
ườ
i
đ
i t
ừ
A
đế
n
C đ
o
đượ
c
50AC m=
và t
ừ
C
nhìn
th
ấ
y
B
v
ớ
i góc nghiêng
62°
v
ớ
i b
ờ
sông. Tính
b
ề
r
ộ
ng c
ủ
a con sông.
Bài 20.
M
ộ
t ng
ườ
i quan sát
đứ
ng cách m
ộ
t tòa
nhà 25m. Góc nâng t
ừ
ch
ỗ
anh ta
đứ
ng
đế
n nóc
tòa nhà là
36°
.
a. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tòa nhà (làm tròn
đế
n mét).
1km
40°
32°
A
C
D
B
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
15
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
b. N
ế
u anh ta d
ị
ch chuy
ể
n sao cho góc nâng là
32
°
thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi
đ
ó anh ta
ti
ế
n l
ạ
i g
ầ
n hay cách ra xa tòa nhà (làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
hai).
Bài 21.
T
ừ
trên tháp quan sát c
ủ
a m
ộ
t ng
ọ
n h
ả
i
đă
ng cao
28 m
, ng
ườ
i ta nhìn th
ấ
y m
ộ
t chi
ế
c
thuy
ề
n c
ứ
u h
ộ
v
ớ
i góc h
ạ
20
°
. Tính kho
ả
ng cách
t
ừ
chân tháp
đế
n thuy
ề
n.
.
Bài 22. Đ
ài quan sát Toronto, Ontario (canada)
cao
533m
.
Ở
m
ộ
t th
ờ
i
đ
i
ể
m vào ban ngày, m
ặ
t
tr
ờ
i chi
ế
u t
ạ
o thành bóng dài
1100 m
. H
ỏ
i lúc
đ
ó
góc t
ạ
o b
ở
i tia sát m
ặ
t tr
ờ
i và m
ặ
t
đấ
t là bao nhiêu
(làm tròn
đế
n
độ
).
Bài 23.
Hai ng
ư
dân
đứ
ng
ở
m
ộ
t bên b
ờ
sông cách nhau
250 m
cùng nhìn th
ấ
y m
ộ
t cù lao trên sông v
ớ
i
các góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
30
°
và
40
°
.Tính kho
ả
ng cách
d
t
ừ
b
ờ
sông
đế
n cù lao.
Bài 26.
Lúc 6 gi
ờ
sáng, b
ạ
n An
đ
i xe
đạ
p t
ừ
nhà (
đ
i
ể
m
A
)
đế
n tr
ườ
ng (
đ
i
ể
m
B
) ph
ả
i leo lên và xu
ố
ng
m
ộ
t con d
ố
c (nh
ư
hình v
ẽ
). Cho bi
ế
t
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
AB
dài
762m
, góc
A
b
ằ
ng
6
°
, góc
B
b
ằ
ng
4
°
.
a. Tính chi
ề
u cao
h
c
ủ
a con d
ố
c.
b. H
ỏ
i b
ạ
n An
đế
n tr
ườ
ng lúc m
ấ
y gi
ờ
? Bi
ế
t r
ằ
ng t
ố
c
độ
trung bình lên d
ố
c là
4km/h
và t
ố
c
độ
trung
bình xu
ố
ng d
ố
c là
19 km/h
.
Bài 27.
T
ừ
đỉ
nh m
ộ
t tòa nhà cao
54 m
, ng
ườ
i ta
nhìn th
ấ
y m
ộ
t ô tô
đ
ang
đỗ
d
ướ
i m
ộ
t góc nghiêng
xu
ố
ng là
40
°
. H
ỏ
i ô tô
đ
ang
đỗ
cách tòa nhà
đ
ó
bao nhiêu mét ?
h
4°
6°
762 m
H
A
B
C
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
16
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 28.
M
ộ
t h
ọ
c sinh
đứ
ng
ở
m
ặ
t
đấ
t cách tháp
ă
ng ten cao
150m
nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp theo m
ộ
t góc nghiêng
lên là
20
°
và kho
ả
ng cách t
ừ
m
ắ
t
đế
n m
ặ
t
đấ
t là
1m
. Tính kho
ả
ng cách t
ừ
h
ọ
c sinh
đ
ó
đế
n tháp (làm tròn
đế
n mét).
Bài 29.
M
ộ
t cái thang dài
4,8m
d
ự
a vào t
ườ
ng làm thành m
ộ
t góc
58
°
so v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a
thang so v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t (làm tròn
đế
n mét).
Bài 30.
M
ộ
t ng
ườ
i quan sát
ở
đ
ài h
ả
i
đă
ng cao
800 feet
(
đơ
n v
ị
đ
o l
ườ
ng Anh) so v
ớ
i m
ự
c n
ướ
c bi
ể
n nhìn
th
ấ
y m
ộ
t con tàu
ở
xa v
ớ
i m
ộ
t góc nghiêng xu
ố
ng là
1 42'
°
. H
ỏ
i kho
ả
ng cách t
ừ
tàu
đế
n chân ng
ọ
n h
ả
i
đă
ng
là bao nhiêu h
ả
i lý (1 h
ả
i lý =
5280feet
)?
Bài 31.
M
ộ
t ng
ườ
i quan sát
ở
đ
ài h
ả
i
đă
ng cao
149m
so v
ớ
i m
ự
c n
ướ
c bi
ể
n nhìn th
ấ
t m
ộ
t con tàu
ở
xa v
ớ
i
m
ộ
t góc nghiêng xu
ố
ng là
27
°
. H
ỏ
i tàu
đ
ang
đứ
ng cách chân h
ả
i
đă
ng là bao nhiêu mét?
Bài 32.
M
ộ
t h
ọ
c sinh th
ả
di
ề
u ngoài
đồ
ng, cho
bi
ế
t
đ
o
ạ
n dây
đ
ã th
ả
dài
100m
và có góc nâng
52
°
. Tính
độ
cao c
ủ
a di
ề
u so v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t (làm
tròn
đế
n mét).
Bài 33.
M
ộ
t chi
ế
c thuy
ề
n th
ả
neo trên sông. Cho
bi
ế
t dây neo dài
30 m
và có góc nghiêng lên là
39
°
. Tính
độ
sâu c
ủ
a m
ự
c n
ướ
c ch
ỗ
thuy
ề
n
đ
ang
đậ
u (làm tròn
đế
n mét).
Bài 34.
M
ộ
t ng
ườ
i
đứ
ng trên
đỉ
nh tháp cao
325m
nhìn th
ấ
y 2
đ
i
ể
m
A
và
B
v
ớ
i hai góc h
ạ
l
ầ
n l
ượ
t là
37
°
và
72
°
.Tính kho
ả
ng cách
AB
.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
17
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 35.
M
ộ
t ng
ườ
i
đứ
ng cách chân tháp
14m
nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp theo góc nghiêng
60
°
. Tính
chi
ề
u cao c
ủ
a tháp.
Bài 36.
M
ộ
t máy bay c
ấ
t cánh theo ph
ươ
ng có góc
nâng
23
°
.H
ỏ
i mu
ố
n
đạ
t
độ
cao
2500 m
, máy bay
ph
ả
i bay m
ộ
t
đ
o
ạ
n
đườ
ng là bao nhiêu mét?
Bài 37.
M
ộ
t cái cây có bóng trên m
ặ
t
đấ
t dài
20 m
.Cho bi
ế
t tia n
ắ
ng qua ng
ọ
n cây nghiêng m
ộ
t góc
31
°
so v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a cây.
Bài 38.
M
ộ
t cái cây cao
6m
đ
ang có bóng dài
3,2 m
. Tính góc h
ợ
p b
ở
i tia n
ắ
ng v
ớ
i thân cây.
Bài 39.
M
ộ
t ng
ườ
i
đứ
ng cách chân tháp
14 m
nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp theo góc nghiêng
60
°
. Tính chi
ề
u cao
c
ủ
a tháp.
Bài 40.
Ban Hùng có t
ầ
m m
ắ
t cao
1,5m
đ
ang
đứ
ng g
ầ
n m
ộ
t cao
ố
c cao
30 m
thì nhìn th
ấ
y nóc
tòa nhà v
ớ
i góc nâng
30
°
. Hùng
đ
i v
ề
phía tòa
nhà cho
đế
n khi nhìn th
ấ
y nóc tòa nhà v
ớ
i góc
nâng
60
°
. Tính quãng
đườ
ng mà b
ạ
n Hùng
đ
ã
đ
i
đượ
c.
30m
60
o
30
o
1,5m
B
A
C
K
D
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
18
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 41.
M
ộ
t h
ọ
c sinh có t
ầ
m m
ắ
t cao
1,5 m
đứ
ng
trên sân th
ượ
ng c
ủ
a m
ộ
t c
ă
n nhà cao
15 m
nhìn
th
ấ
y b
ạ
n mình v
ớ
i góc nghiêng xu
ố
ng
49
°
. H
ỏ
i cô
b
ạ
n
đ
ang
ở
cách c
ă
n nhà bao nhiêu mét?
Bài 42.
M
ộ
t máy bay th
ể
thao
đ
ang bay ngang
ở
độ
cao
3000 m
nhìn th
ấ
y m
ộ
t cái cây v
ớ
i góc
nghiêng xu
ố
ng
15
°
. H
ỏ
i máy bay ph
ả
i bay m
ộ
t
đ
o
ạ
n
đườ
ng là bao nhiêu mét thì s
ẽ
ở
ngay trên
ng
ọ
n cây?
Bài 43.
T
ừ
nóc m
ộ
t cao
ố
c cao
50 m
ng
ườ
i ta nhìn th
ấ
y chân và
đỉ
nh m
ộ
t
ă
ng-ten v
ớ
i các góc h
ạ
n l
ầ
n l
ượ
t
là
62
°
và
34
°
. Tính chi
ề
u cao c
ộ
t
ă
ng-ten.
Bài 44.
M
ộ
t cái di
ề
u
đ
ang bay
ở
độ
cao
60 m.
S
ợ
i dây c
ộ
t di
ề
u nghiêng v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t góc
60
°
. Tính chi
ề
u dài c
ủ
a s
ợ
i dây (làm tròn
đế
n
mét) khi nó c
ă
ng th
ẳ
ng (không có ch
ỗ
b
ị
võng).
Bài 45.
Tháp Capital Gate t
ạ
i Abu Dhabi cao
160m
và nghiêng
18
°
. N
ế
u không nghiêng thì
tháp cao bao nhiêu mét?
Bài 46.
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t ng
ọ
n núi, cho
bi
ế
t t
ạ
i hai
đ
i
ể
m cách nhau
500 m
, ng
ườ
i ta nhìn
th
ấ
y hai
đỉ
nh núi v
ớ
i góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
34
°
và
38
°
.
A
B
C
D
E
5
0
62
0
34
0
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
19
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 47.
M
ộ
t cái tháp
đượ
c d
ự
ng bên b
ờ
m
ộ
t con
sông, t
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m
đố
i di
ệ
n v
ớ
i tháp ngay b
ờ
bên
kia ng
ườ
i ta nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp v
ớ
i góc nâng
60
°
. T
ừ
m
ộ
t
đ
i
ể
m khác cách
đ
i
ể
m ban
đầ
u
20 m,
ng
ườ
i ta c
ũ
ng nhìn th
ấ
y
đỉ
nh tháp v
ớ
i góc nâng
30
°
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tháp.
Bài 48.
M
ộ
t b
ứ
c t
ượ
ng cao
1,6m
đượ
c
đặ
t trên m
ộ
t cái b
ệ
. T
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m trên m
ặ
t
đấ
t ng
ườ
i ta nhìn th
ấ
y
nóc t
ượ
ng và nóc b
ệ
v
ớ
i các góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
60
°
và
45
°
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a cái b
ệ
.
Bài 49.
M
ộ
t nhà tr
ẻ
mu
ố
n thi
ế
t k
ế
hai cái c
ầ
u tu
ộ
t trong sân ch
ơ
i.
Đố
i v
ớ
i tr
ẻ
d
ướ
i 5 tu
ổ
i, c
ầ
u tu
ộ
t cao
1,5m
và nghiêng v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t góc
30
°
.
Đố
i v
ớ
i tr
ẻ
trên 5 tu
ổ
i c
ầ
u tu
ộ
t cao
1,5m
và nghiêng v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t m
ộ
t góc
45
°
. Tính chi
ề
u dài c
ủ
a m
ỗ
i máng tu
ộ
t.
Bài 50.
T
ừ
chân m
ộ
t cái tháp cao
50 m
ng
ườ
i ta
nhìn th
ấ
y
đỉ
nh m
ộ
t tòa nhà v
ớ
i góc nâng
30
°
.
Trong khi
đ
ó t
ừ
chân tòa nhà l
ạ
i nhìn th
ấ
y
đỉ
nh
tháp v
ớ
i góc nâng
60
°
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tòa
nhà.
Bài 51.
Hai tr
ụ
đ
i
ệ
n có cùng chi
ề
u cao
đặ
t cách
nhau
80 m
. M
ộ
t ng
ườ
i
đứ
ng
ở
xa (th
ẳ
ng hàng v
ớ
i
hai tr
ụ
đ
i
ệ
n, không
đứ
ng gi
ữ
a hai tr
ụ
đ
i
ệ
n) nhìn
đỉ
nh hai tr
ụ
đ
i
ệ
n v
ớ
i góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
60
°
và
30
°
. Tính chi
ề
u cao tr
ụ
đ
i
ệ
n và kho
ả
ng cách t
ừ
ng
ườ
i
đ
ó
đế
n chân các tr
ụ
đ
i
ệ
n. Bi
ế
t m
ắ
t ng
ườ
i
đ
ó
cách m
ặ
t
đấ
t
1, 2 m
.
45
°
30
°
2m
E CB
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
20
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 52.
T
ừ
trên m
ộ
t ng
ọ
n h
ả
i
đă
ng cao
75 m
, ng
ườ
i ta quan sát hai l
ầ
n th
ấ
y m
ộ
t chi
ế
c thuy
ề
n
đ
ang
h
ướ
ng v
ề
phía h
ả
i
đă
ng v
ớ
i góc h
ạ
l
ầ
n l
ượ
t là
30
°
và
45
°
. H
ỏ
i chi
ế
c thuy
ề
n
đ
i
đượ
c bao nhiêu
mét gi
ữ
a hai l
ầ
nquan sát?
Bài 53.
M
ộ
t th
ủ
y th
ủ
lái thuy
ề
n ra bi
ể
n h
ướ
ng v
ề
h
ướ
ng
đ
ông b
ắ
c v
ớ
i góc nghiêng so v
ớ
i ph
ươ
ng b
ắ
c là
41
°
.
Đ
i
đượ
c
2,8km
anh ta phát hi
ệ
n s
ắ
p h
ế
t nhiên li
ệ
u nên v
ộ
i quay thuy
ề
n vào b
ờ
,
đ
i
đượ
c
1,8km
thì
thuy
ề
n t
ắ
t máy. H
ỏ
i lúc
đ
ó thuy
ề
n cách b
ờ
bao xa?
Bài 54.
T
ừ
trên
đỉ
nh m
ộ
t tòa nhà cao
7m
, ng
ườ
i
ta nhìn th
ấ
y
đỉ
nh m
ộ
t tháp truy
ề
n hình v
ớ
i góc
nâng
60
°
và nhìn th
ấ
y chân c
ủ
a tháp v
ớ
i góc h
ạ
45
°
. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tháp truy
ề
n hình?
Bài 55.
M
ộ
t h
ọ
c sinh có kho
ả
ng cách t
ừ
m
ặ
t
đế
n
m
ặ
t
đấ
t là
1, 2 m
b
ắ
t
đầ
u quan sát m
ộ
t trái bóng
bay v
ớ
i góc nâng
60
°
. M
ộ
t lúc sau l
ạ
i nhìn th
ấ
y
qu
ả
bóng bay v
ớ
i góc nâng
30
°
. H
ỏ
i gi
ữ
a hai l
ầ
n
quan sát qu
ả
bóng
đ
ã bay
đượ
c bao nhiêu mét?
Cho bi
ế
t
độ
cao c
ủ
a qu
ả
bóng luôn luôn không
đổ
i
và b
ằ
ng
88,2 m
.
Bài 56.
M
ộ
t ng
ườ
i
đ
ang
ở
trên m
ộ
t cái tháp có chi
ề
u cao
h =100 m
nhìn xu
ố
ng m
ộ
t con
đườ
ng ch
ạ
y th
ẳ
ng
đế
n chân tháp. Anh ta nhìn th
ấ
y m
ộ
t chi
ế
c xe máy v
ớ
i góc h
ạ
30
°
. Sáu phút sau l
ạ
i nhìn th
ấ
y nó v
ớ
i góc
h
ạ
60
°
. H
ỏ
i sau bao nhiêu phút thì xe máy
đế
n chân tháp? Cho bi
ế
t v
ậ
n t
ố
c xe máy không
đổ
i.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
21
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 57. Để
đ
o chi
ề
u cao m
ộ
t cái cây
AB
. Ng
ườ
i ta
đặ
t g
ươ
ng ph
ẳ
ng t
ạ
i v
ị
trí
C
. Ng
ườ
i
đ
o
đ
i lùi l
ạ
i (th
ẳ
ng
ng
ườ
i) cho
đế
n khi nhìn th
ấ
y bóng ng
ọ
n cây
A
(lúc này là
F
). Bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ
g
ươ
ng
đế
n g
ố
c cây là
BC 30
=
mét, kho
ả
ng cách t
ừ
g
ươ
ng
đế
n ch
ỗ
đứ
ng là
CD 1,5
=
mét. Kho
ả
ng cách t
ừ
m
ắ
t ng
ườ
i
đ
o
E
đế
n
m
ặ
t
đấ
t là
ED 1,6
=
mét. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a cây? (bi
ế
t
BCA DCE
=
).
Bài 58.
Quan sát hình v
ẽ
d
ướ
i
đ
ây. Gi
ả
s
ử
CD h
=
là chi
ề
u cao c
ủ
a tháp trong
đ
ó
C
là chân
tháp. Ch
ọ
n hai
đ
i
ể
m
A
,
B
trên m
ặ
t
đấ
t sao cho
ba
đ
i
ể
m
A
,
B
và
C
th
ẳ
ng hàng. Ta
đ
o kho
ả
ng
cách
AB
và các góc
CAD
,
CBD
. Ch
ẳ
ng h
ạ
n ta
đ
o
đượ
c
AB 24
=
m,
CAD 63
α
= = °
,
CBD 48
β
= = °
. Hãy tính chi
ề
u cao
h
c
ủ
a tháp.
Bài 59.
M
ộ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t có kích th
ướ
c là
20cm
và
30cm
. Ng
ườ
i ta t
ă
ng m
ỗ
i kích th
ướ
c thêm
x
cm.
G
ọ
i
y
là chu vi c
ủ
a hình ch
ữ
nh
ậ
t m
ớ
i.
a. Hãy tính
y
theo x .
b. Tính giá tr
ị
c
ủ
a y t
ươ
ng
ứ
ng v
ớ
i
x = 3
cm;
x = 5
cm.
Bài 60.
M
ộ
t th
ử
a
đấ
t hình ch
ữ
nh
ậ
t có chi
ề
u dài
là 32 m và chi
ề
u r
ộ
ng là 24 m. Ng
ườ
i ta
đị
nh làm
m
ộ
t v
ườ
n cây c
ả
nh có con
đườ
ng
đ
i xung quanh,
có b
ề
r
ộ
ng x(m) (hình v
ẽ
bên). H
ỏ
i b
ề
r
ộ
ng c
ủ
a
m
ặ
t
đườ
ng là bao nhiêu
để
di
ệ
n tích ph
ầ
n
đấ
t còn
l
ạ
i là 560 m
2
.
Bài 61.
M
ộ
t c
ă
n phòng hình vuông
đượ
c lát b
ằ
ng nh
ữ
ng viên g
ạ
ch men hình vuông cùng kích c
ỡ
, v
ừ
a h
ế
t
441 viên (không viên nào b
ị
c
ắ
t xén). G
ạ
ch g
ồ
m 2 lo
ạ
i men tr
ắ
ng và men xanh, lo
ạ
i men tr
ắ
ng n
ằ
m trên 2
đườ
ng chéo c
ủ
a n
ề
n nhà còn l
ạ
i là lo
ạ
i men xanh. Tính s
ố
viên g
ạ
ch men xanh.
x
x
x
x
24 m
32 m
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
22
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 62.
B
ạ
n Nam
đ
i xe
đạ
p t
ừ
nhà (
đ
i
ể
m A)
đế
n tr
ườ
ng (
đ
i
ể
m B) g
ồ
m
đ
o
ạ
n lên d
ố
c và
đ
o
ạ
n xu
ố
ng d
ố
c,
5A
= °
,
4
B
= °
,
đ
o
ạ
n lên d
ố
c dài 325 m.
a. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a d
ố
c và chi
ề
u dài quãng
đườ
ng t
ừ
nhà
đế
n tr
ườ
ng.
b. Bi
ế
t v
ậ
n t
ố
c trung bình lên d
ố
c là 8 km/h và v
ậ
n t
ố
c trung bình xu
ố
ng d
ố
c là 15 km/h. Tính th
ờ
i gian
(phút) b
ạ
n Nam
đ
i t
ừ
nhà
đế
n tr
ườ
ng. (L
ư
u ý k
ế
t qu
ả
c
ủ
a phép tính làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
nh
ấ
t)
Bài 63.
M
ộ
t b
ứ
c t
ượ
ng cao 1,6 m
đượ
c
đặ
t trên m
ộ
t cái b
ệ
. T
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m trên m
ặ
t
đấ
t ng
ườ
i ta nhìn th
ấ
y
nóc t
ượ
ng và nóc b
ệ
v
ớ
i các góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
60
°
và
45
°
. Tính chi
ề
u cao cái b
ệ
.
Bài 64.
M
ộ
t cây có chi
ề
u cao 14 m m
ọ
c
ở
phía sau m
ộ
t b
ứ
c t
ườ
ng cao 8 m và cách b
ứ
c t
ườ
ng 12 m. H
ỏ
i
ng
ườ
i quan sát có chi
ề
u cao
1,8
m ph
ả
i
đứ
ng cách b
ứ
c t
ườ
ng bao nhiêu mét
để
có th
ể
nhìn th
ấ
y ng
ọ
n cây.
Bài 65.
Nhà b
ạ
n An
ở
v
ị
trí
A
, nhà b
ạ
n Bình
ở
v
ị
trí
B
cách nhau 1200 m. Tr
ườ
ng h
ọ
c
ở
v
ị
trí
C
cách nhà
b
ạ
n An 500m và
AB
vuông góc v
ớ
i
AC
. An
đ
i b
ộ
đế
n tr
ườ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 4 km/h, Bình
đ
i xe
đạ
p
đế
n
tr
ườ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 12 km/h. Lúc 6 gi
ờ
30 phút, c
ả
hai cùng xu
ấ
t phát
đế
n tr
ườ
ng. H
ỏ
i b
ạ
n nào
đế
n tr
ườ
ng
tr
ướ
c?
Bài 66.
Bóng c
ủ
a tháp Bình S
ơ
n (V
ĩ
nh Phúc) trên m
ặ
t
đấ
t có
độ
dài 20 m. Cùng th
ờ
i
đ
i
ể
m
đ
ó, m
ộ
t c
ộ
t s
ắ
t
cao
1,65
m c
ắ
m vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t có bóng dài 2 m. Tính chi
ề
u cao c
ủ
a tháp.
Bài 67.
M
ộ
t con
đ
ê
đượ
c
đắ
p ch
ắ
n sóng theo hình d
ướ
i,
độ
d
ố
c c
ủ
a con
đ
ê phía sông dài 7 m. H
ỏ
i
độ
d
ố
c
còn l
ạ
i c
ủ
a con
đ
ê dài bao nhiêu mét?
Bài 68.
Xem hình v
ẽ
sau, ng
ườ
i ta có th
ể
dùng giác k
ế
để
đ
o
đượ
c góc
43CAB
= °
và
38CBA
= °
. H
ỏ
i tàu
đ
ang
ở
v
ị
trí
đ
i
ể
m
H
s
ẽ
ch
ạ
y v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c bao nhiêu km/h
để
sau 5 phút s
ẽ
đế
n v
ị
trí
đ
i
ể
m
C
. Bi
ế
t kho
ả
ng
cách t
ừ
v
ị
trí
đ
i
ể
m
A
đế
n v
ị
trí
đ
i
ể
m
B
là 300 m và v
ị
trí 3
đ
i
ể
m
A
,
H
,
B
th
ẳ
ng hàng (làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
hai).
B
C
H
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
23
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 69.
Ba An mu
ố
n mua m
ộ
t cái thang dùng
để
lên mái nhà. Ba h
ỏ
i An ph
ả
i mua cái thang dài bao
nhi
ề
u mét
để
đả
m b
ả
o s
ự
an toàn và có th
ể
leo lên
đượ
c mái nhà cao
4,5
m so v
ớ
i m
ặ
t
đấ
t. Em hãy
giúp An tính chi
ề
u dài thang c
ầ
n mua, bi
ế
t góc kê
thang an toàn là
75
°
so v
ớ
i ph
ươ
ng ngang (làm
tròn
đế
n s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
nh
ấ
t).
Bài 70.
M
ộ
t chi
ế
c máy bay bay lên cao v
ớ
i v
ậ
n
t
ố
c
520 /km h
.
Đườ
ng bay lên t
ạ
o v
ớ
i ph
ươ
ng
n
ằ
m ngang m
ộ
t góc
24
°
. H
ỏ
i sau 90 giây máy bay
lên cao
đượ
c bao nhiêu km theo ph
ươ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng? (k
ế
t qu
ả
làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
nh
ấ
t)
Bài 71.
T
ừ
đ
ài quan sát cao 10 m, Nam có th
ế
nhìn th
ấ
y 2 chi
ế
c thuy
ề
n d
ướ
i góc
45
°
và
30
°
so
v
ớ
i ph
ươ
ng ngang. Hãy tính kho
ả
ng cách 2 chi
ế
c
thuy
ề
n, làm tròn
đế
n ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân th
ứ
nh
ấ
t.
(
đ
i
ề
u ki
ệ
n lý t
ưở
ng: v
ị
trí 2 chi
ế
c thuy
ề
n và v
ị
trí
đ
ài quan sát th
ẳ
ng hàng).
Bài 72.
Hình
ả
nh m
ặ
t c
ắ
t m
ộ
t qu
ả
đồ
i
đượ
c minh
h
ọ
a là m
ộ
t
ABC
∆
v
ớ
i các chi ti
ế
t nh
ư
sau: c
ạ
nh
đ
áy là
AC
,
BH AC
⊥
,
45
BAC
= °
,
200AH
=
m,
210HC
=
m. M
ộ
t nhóm h
ọ
c sinh
đ
i dã ngo
ạ
i
đ
i t
ừ
đỉ
nh
A
lên
đỉ
nh
B
r
ồ
i xu
ố
ng d
ố
c tr
ở
v
ề
C
. Hãy tính quãng
đườ
ng này?
Bài 73.
Hai chi
ế
c thuy
ề
n
A
và
B
ở
v
ị
trí
đượ
c
minh h
ọ
a nh
ư
trong hình v
ẽ
. Tính kho
ả
ng cách
gi
ữ
a chúng (k
ế
t qu
ả
là tròn
đế
n mét).
Bài 74.
Lúc 6h45 phút sáng b
ạ
n Nam
đ
i xe
đạ
p
đ
i
ệ
n t
ừ
nhà t
ớ
i tr
ườ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c trung bình là
15
km/h
b
ạ
n
đ
i theo con
đườ
ng t
ừ
A B C D E G H
֏ ֏ ֏ ֏ ֏ ֏
(nh
ư
trong hình). N
ế
u có
1
con
đườ
ng th
ẳ
ng
t
ừ
A H֏
và
đ
i theo con
đườ
ng
đ
ó v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c trung bình 15 km/h, b
ạ
n Nam s
ẽ
t
ớ
i tr
ườ
ng lúc m
ấ
y gi
ờ
?
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
24
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Bài 75.
Hai ng
ư
dân
đứ
ng
ở
m
ộ
t bên b
ờ
sông cách nhau
50
m cùng nhìn th
ấ
y m
ộ
t cù lao trên sông v
ớ
i các
góc nâng l
ầ
n l
ượ
t là
30
°
và
40
°
. Tính kho
ả
ng cách d t
ừ
b
ờ
sông
đế
n cù lao.
Bài 76.
M
ộ
t ng
ườ
i
đ
i xe máy lên d
ố
c có
độ
nghiêng
5
°
so v
ớ
i ph
ươ
ng ngang v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c trung bình lên
d
ố
c là
18
km/h. H
ỏ
i ng
ườ
i
đ
ó m
ấ
t bao lâu
để
lên t
ớ
i
đỉ
nh d
ố
c? Bi
ế
t
đỉ
nh d
ố
c cách m
ặ
t
đấ
t
18
m.
Bài 77.
T
ừ
v
ị
trí xu
ấ
t phát
A
, hai xe cùng m
ộ
t lúc
đ
i th
ẳ
ng theo hai h
ướ
ng khác nhau, t
ạ
o m
ộ
t góc
70A
= °
. Xe th
ứ
nh
ấ
t
đ
i v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 40 km/h và xe th
ứ
hai
đ
i v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 50 km/h. Sau 1 gi
ờ
30 phút, hai xe cách
nhau bao nhiêu km? (làm tròn
đế
n 2 ch
ữ
s
ố
th
ậ
p phân).
Bài 78.
M
ộ
t máy kéo nông nghi
ệ
p có bánh xe sau to h
ơ
n bánh xe tr
ướ
c. Bánh xe sau có
đườ
ng kính
124
cm và bánh xe tr
ướ
c có
đườ
ng kính
80
cm. H
ỏ
i khi bánh xe sau l
ă
n
đượ
c
20
vòng thì xe di chuy
ể
n
đượ
c
bao nhiêu mét (làm tròn m
ộ
t ch
ữ
s
ố
) và khi
đ
ó bánh xe tr
ướ
c l
ă
n
đượ
c m
ấ
y vòng?
Bài 79.
Trong hình v
ẽ
d
ướ
i
đ
ây, hai
đị
a
đ
i
ể
m
A
,
B
cách nhau 100 km. M
ộ
t xe ô tô kh
ở
i hành t
ừ
B
đế
n
A
v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 40 km/h. Cùng lúc
đ
ó, m
ộ
t xe
đạ
p
đ
i
ệ
n c
ũ
ng kh
ở
i hành t
ừ
A
trên
đ
o
ạ
n
đườ
ng
vuông góc v
ớ
i
AB
v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 20 km/h. H
ỏ
i sau
90 phút thì hai xe cách nhau bao xa.
Bài 80.
V
ớ
i s
ố
li
ệ
u ghi trên hình (bi
ế
t t
ứ
giác
EFHI
là hình ch
ữ
nh
ậ
t và
A
,
I
,
H
th
ẳ
ng hàng). Cây trong
hình cao bao nhiêu mét? (làm tròn k
ế
t qu
ả
đế
n ch
ữ
s
ố
hàng
đơ
n v
ị
).
Bài 81.
M
ộ
t ng
ườ
i quan sát
đứ
ng cách m
ộ
t tòa nhà kho
ả
ng 25 m (
đ
i
ể
m
A
). Góc nâng t
ừ
ch
ỗ
anh ta
đứ
ng
đế
n nóc tòa nhà (
đ
i
ể
m
C
) là
36
°
.
500m
400m
300m
600m
700m
1000m
Trường học
Nhà
H
G
E
D
C
B
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
25
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
a. Tính chi
ề
u cao tòa nhà (làm tròn
đế
n
0,5
mét)
b. N
ế
u anh ta
đ
i thêm 5 m n
ữ
a,
đế
n v
ị
trí
D
n
ằ
m gi
ữ
a
A
và
B
thì góc nâng t
ừ
D
đế
n nóc nhà là bao nhiêu?
(làm tròn
đế
n phút).
Bài 82.
M
ộ
t ng
ườ
i
đ
o chi
ề
u cao c
ủ
a m
ộ
t cây nh
ờ
m
ộ
t c
ọ
c chôn xu
ố
ng
đấ
t,c
ọ
c cao 2 m và
đặ
t xa cây 15
m. Sau khi ng
ườ
i
ấ
y lùi ra xa cách c
ọ
c
0,8
m thì nhìn th
ấ
y
đầ
u c
ọ
c và
đỉ
nh cây cùng n
ằ
m trên m
ộ
t
đ
o
ạ
n
đườ
ng th
ẳ
ng. H
ỏ
i cây cao bao nhiêu, bi
ế
t r
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
chân
đế
n m
ắ
t ng
ườ
i
ấ
y là
1,6
m?
Bài 83.
Cho tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
( )
A AB AC<
có
đườ
ng cao
AH
và
đườ
ng trung tuy
ế
n
.AM
Đặ
t
( )
0 90 .ACB x x= ° < < °
Đặ
t
, , .BC a AC b AB c= = =
a. Tính
độ
dài các c
ạ
nh c
ủ
a tam giác
AHM
theo
, , .a b c
b. Tính t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a góc
x
và góc
2x
theo
, , .a b c
c. Ch
ứ
ng minh:
i)
sin 2 2sin cosx x x=
ii)
2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−
iii)
2 2 2 2
cos 2 2cos 1 cos sin 1 2sin
x x x x x
= − = − = −
Bài 84:
Cho tam giác
ABC
nh
ọ
n có
đườ
ng phân giác trong
.AD
Đặ
t
, ,BC a AC b= =
AB c
= và
.
2
a b c
p
+ +
=
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
sin 2sin cos
2 2
BAC BAC
BAC =
b.
1
. .sin
2
ABC
S AB AC BAC
∆
=
và
1
. .sin .
2 2
ABD
BAC
S AB AD
∆
=
c.
.
ABD
ABC
S BD c
S BC b c
∆
∆
= =
+
d.
2 cos
2
A
bc
AD
b c
=
+
Bài 85.
Cho tam giác
ABC
nh
ọ
n có
đườ
ng phân giác trong
.AD
Đặ
t
, , ,BC a AC b AB c= = =
.
2
a b c
p
+ +
=
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a.
2 2 2
2 . .cos
2
BAC
AD c c AD BD= + −
. b.
2 2 2
2 . .cos
2
BAC
AD b b AD CD= + −
.
c.
( )
( )
2
.
cos
2
p p a
AD
BAC
b c
−
=
+
d.
( )
2 bcp p a
AD
b c
−
=
+
Bài 86.
Cho tam giác
ABC
có
2, 60 , 45 .AB BAC ACB= = ° = ° K
ẻ
các
đườ
ng cao
AH
và
BK
c
ủ
a
tam giác
.ABC
1. Tính
, , , , .
AK BK CK BC AH
2. Tính t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác c
ủ
a góc
15
° và góc
75 .
°
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
26
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Hệ thức lượng trong tam giác:
Cho
∆
ABC vuông t
ạ
i A, có
đườ
ng cao AH.
+ =
2 2 2
AB AC BC
=
2
.AB BC BH
=
2
.
AC BC CH
= +
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= =.sin .cosAB BC C BC B
= =.tan .cotAB AC C AC B
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
:
0 sin 1;0 cos 1
α α
< < < <
. Ta có:
sin
tan
cos
α
α
α
=
cos
cot
sin
α
α
α
=
2 2
sin cos 1
α α
+ =
tan .cot 1
α α
=
2
2
1
1 tan
cos
α
α
+ =
2
2
1
1 cot
sin
α
α
+ =
Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt
α
TSLG
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
α
0
3
3
1
3
||
cot
α
||
3
1
3
3
0
3. Các công thức tính diện tích:
a) Tam giác:
= = =
1 1 1
. . .
2 2 2
a b c
S a h b h c h
= = =
1 1 1
sin .sin sin
2 2 2
S bc A ca B ab C
=
S pr
;
2
a b c
p
+ +
=
;
=
4
abc
S
R
(
)
(
)
(
)
= − − −
S p p a p b p c
∆
ABC
đề
u, c
ạ
nh a:
=
2
3
4
a
S
,
đườ
ng cao
a
AH
3
2
=
∆
ABC vuông t
ạ
i A:
= =
1 1
. . . .
2 2
S AB AC BC AH
b) Hình vuông: S = a
2
(a: c
ạ
nh hình vuông)
c) Hình ch
ữ
nh
ậ
t: S = a.b (a, b: hai kích th
ướ
c)
d) Hình bình hành: S =
đ
áy
×
cao =
. .AB AD sinBAD
e) Hình thoi:
= =
1
. . .
2
S AB AD sinBAD AC BD
f) Hình thang:
( )
= +
1
.
2
S a b h
(a, b: hai
đ
áy, h: chi
ề
u cao)
g) T
ứ
giác có hai
đườ
ng chéo vuông góc:
=
1
.
2
S AC BD
c
b
a
H
C
B
A
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
27
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
BÀI TẬP
Bài 1.
Cho m
ộ
t tam giác có m
ộ
t góc b
ằ
ng
0
45 .
Đườ
ng cao chia m
ộ
t c
ạ
nh k
ề
v
ớ
i góc
đ
ó thành các ph
ầ
n
20cm và 21cm
.
Tính c
ạ
nh l
ớ
n trong hai c
ạ
nh còn l
ạ
i (l
ư
u ý có hai tr
ườ
ng h
ợ
p)
Bài 2.
Cho tam giác ABC có 6 , 4,5 , 7,5 .
AB cm AC cm BC cm= = =
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác
ABC
vuông t
ạ
i
.
A
Tính các góc
,B C
và
đườ
ng cao
AH
.
b) H
ỏ
i r
ằ
ng
đ
i
ể
m
M
mà di
ệ
n tích tam giác
MBC
b
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác
ABC
n
ằ
m trên
đườ
ng nào?
Bài 3.
Hai chi
ế
c thuy
ể
n
A
và
B
ở
v
ị
trí
đượ
c minh h
ọ
a nh
ư
trong hình. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a chúng (làm
tròn
đế
n mét)
Bài 4.
Tìm kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai c
ọ
c
để
c
ă
ng dây v
ượ
t qua v
ự
c, minh h
ọ
a trong hình.
Bài 5.
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a cây trong hình d
ướ
i
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
28
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
Bài 6.
Cho tam
ABC
vuông t
ạ
i
A,
đườ
ng cao
AH.
Trong các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
AB, AC, BC, AH, HB, HC,
hãy tính
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng còn l
ạ
i n
ế
u bi
ế
t:
a)
6 , 9
AB cm AC cm
= =
; b)
15 , 9
AB cm HB cm
= =
.
Bài 7.
Cho tam giác ABC có
đườ
ng cao CH, BC = 12 cm,
0
60
B =
và
0
40
C =
. Tính:
a)
Độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng CH và AC; b) Di
ệ
n tích tam giác ABC.
Bài 8.
Cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A (AB < AC) có
đườ
ng cao AH và AH = 12 cm, BC = 25 cm.
a) Tìm
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng BH, CH, AB và AC.
b) V
ẽ
trung tuy
ế
n AM. Tìm s
ố
đ
o c
ủ
a
AMH
.
c) Tính di
ệ
n tích tam giác AHM.
Bài 9.
Cho tam giác ABC vuông
ở
A,
đườ
ng cao AH,
3 , 4
AB cm AC cm
= =
.
a) Tính
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng BC và AH.
b) Tính s
ố
đ
o
B
và
C
.
c)
Đườ
ng phân giác trong
A
c
ắ
t c
ạ
nh
BC
t
ạ
i
E.
Tính
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
BE, CE
và
AE.
Bài 10.
Cho tam giác nh
ọ
n
ABC có
đườ
ng cao
AH.
T
ừ
H
k
ẻ
HF
vuông góc v
ớ
i
AB
(
F
thu
ộ
c
AB)
và k
ẻ
HE
vuông góc vói
AC
(E thu
ộ
c AC).
a) Ch
ứ
ng minh
AFE ACB
=
.
b)
Đườ
ng th
ẳ
ng
EF
c
ắ
t
BC
t
ạ
i
M.
Ch
ứ
ng minh
ME.MF = MBMC.
Bài 11.
Hình thang
MNEF
vuông t
ạ
i
M, F
có
EF
là
đ
áy l
ớ
n. Hai
đườ
ng chéo
ME
và
NF
vuông góc v
ớ
i
nhau t
ạ
i
O
.
a) Cho bi
ế
t
9
MN cm
=
và
12
MF cm
=
.
Hãy:
i) Gi
ả
i tam giác
MNF;
ii) Tính
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
,
MO FO
;
iii) K
ẻ
NH
vuông góc v
ớ
i
EF
t
ạ
i
H.
Tính di
ệ
n tích tam giác FNE. T
ừ
đ
ó tính di
ệ
n tích tam giác
FOH.
b) Ch
ứ
ng minh
2
. .
MF MN FE
=
Bài 12.
Không dùng máy tính, s
ắ
p x
ế
p các t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác sau theo th
ứ
t
ự
t
ừ
bé
đế
n l
ớ
n:
a)
sin 24 ,cos35 ,sin 54 ,cos 70 ,sin 78 ;
° ° ° ° °
b)
cot 24 , tan 6 ,cot 57 67’,cot 30 , tan80 .
l
° ° ° ° °
Bài 13.
Không dùng máy tính, s
ắ
p x
ế
p các t
ỉ
s
ố
l
ượ
ng giác sau theo th
ứ
t
ự
t
ă
ng d
ầ
n:
a)
sin 40 ,cos 28 ,sin 65 ,cos88 ,cos 20 ;
° ° ° ° °
b)
tan 32 48’,cot 28 36’, tan 56 32’,cot 67 18’
° ° ° °
.
Bài 14.
Cho
0
0 90
x
< <
. Ch
ứ
ng minh các
đẳ
ng th
ứ
c sau:
a)
4 4 2 2
sin cos 1 2sin cos
x x x x
+ = −
; b)
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cos
x x x x
+ = −
.
c)
1 cos sin
sin 1 cos
x x
x x
−
=
+
d)
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x
+
+ =
+
Bài 15.
Cho tam giác DEF bi
ế
t DE = 6 cm, DF = 8 cm và EF = 10 cm.
a) Ch
ứ
ng minh DEF là tam giác vuông.
b) V
ẽ
đườ
ng cao DK. Hãy tính DK, FK.
c) Gi
ả
i tam giác vuông EDK.
d) V
ẽ
phân giác trong EM c
ủ
a DEF. Tính các
độ
dài các
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng MD, MF, ME.
e) Tính sinE trong các tam giác vuông DFK và DEF.
f) T
ừ
đ
ó suy ra ED.DF = DK.EF.
Bài 16.
Cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
29
Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899
a) Bi
ế
t
B
= 60° và BC = 6 cm.
i) Tính
độ
dài các c
ạ
nh AB, AC.
ii) Trên tia
đố
i c
ủ
a tia BA l
ấ
y
đ
i
ể
m D sao cho BD = BC. Ch
ứ
ng minh:
AB AC
BD CD
=
b)
Đườ
ng th
ẳ
ng song v
ớ
i phân giác
CBD
k
ẻ
t
ừ
A c
ắ
t CD t
ạ
i H. Ch
ứ
ng minh:
2 2 2
1 1 1
AH AC AD
= +
Bài 17.
Cho hình vuông ABCD và
đ
i
ể
m E tùy ý trên c
ạ
nh BC. Tia Ax vuông góc v
ớ
i AE t
ạ
i A c
ắ
t CD kéo
dài t
ạ
i F. K
ẻ
trung tuyên AI c
ủ
a tam giác AEF và kéo dài c
ắ
t c
ạ
nh CD t
ạ
i K.
a) Ch
ứ
ng minh AE = AF.
b) Ch
ứ
ng minh các tam giác AKF, CAF
đồ
ng d
ạ
ng và AF
2
=KF.CF;
c) Cho AB = 4 cm, BE =
3
4
BC. Tính di
ệ
n tích tam giác AEF.
d) Khi E di
độ
ng trên c
ạ
nh BC, tia AE c
ắ
t CD t
ạ
i J. Ch
ứ
ng minh bi
ể
u th
ứ
c
.AJ
AE
FJ
có giá tr
ị
không ph
ụ
thu
ộ
c v
ị
trí c
ủ
a E.
Bài 18.
a) Tính sin
sin ,tan ,cot
α α α
biêt
1
cos
5
α
=
.
b) Tính
cos , tan ,cot
α α α
bi
ế
t
2
sin
3
α
=
.
c) Cho
tan 2
α
=
. Tính
sin ,cos ,cot
α α α
d) Cho
cot 3
α
=
. Tính
sin ,cos , tan
α α α
e) Tính giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c:
2 2 2 2
cos 20 cos 40 cos 50 cos 70 .
A
= °+ ° + °+ °
f) Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c:
6 6 2 2
sin cos 3sin .cos
B a a a a
= + +
.
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
30
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:
Hãy ch
ọ
n câu
Sai
A.
Trong m
ộ
t tam giác vuông, bình ph
ươ
ng m
ỗ
i c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng tích c
ủ
a c
ạ
nh huy
ề
n và
hình chi
ế
u c
ủ
a c
ạ
nh góc vuông
đ
ó trên c
ạ
nh huy
ề
n.
B.
Trong m
ộ
t tam giác vuông, bình ph
ươ
ng
đườ
ng cao
ứ
ng v
ớ
i c
ạ
nh huy
ề
n b
ằ
ng tích hai hình
chi
ế
u c
ủ
a hai c
ạ
nh góc vuông trên c
ạ
nh huy
ề
n.
C.
Trong m
ộ
t tam giác vuông,
độ
dài m
ộ
t c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng t
ổ
ng
độ
dài c
ạ
nh huy
ề
n v
ớ
i c
ạ
nh
góc vuông còn l
ạ
i.
D.
Trong m
ộ
t tam giác vuông, ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a bình ph
ươ
ng
đườ
ng cao
ứ
ng v
ớ
i c
ạ
nh huy
ề
n b
ằ
ng
t
ổ
ng các ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a bình ph
ươ
ng hai c
ạ
nh góc vuông.
Câu 2:
Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
Bình ph
ươ
ng c
ạ
nh huy
ề
n b
ằ
ng t
ổ
ng ngh
ị
ch
đả
o bình ph
ươ
ng hai c
ạ
nh góc vuông.
B.
C
ạ
nh góc vuông nào có hình chi
ế
u trên c
ạ
nh huy
ề
n l
ớ
n h
ơ
n thì l
ớ
n h
ơ
n.
C.
C
ạ
nh góc vuông nào có hình chi
ế
u trên c
ạ
nh huy
ề
n l
ớ
n h
ơ
n thì bé h
ơ
n.
D.
T
ỉ
s
ố
hai c
ạ
nh góc vuông b
ằ
ng t
ỉ
s
ố
c
ủ
a c
ạ
nh huy
ề
n v
ớ
i
đườ
ng cao
ứ
ng v
ớ
i c
ạ
nh huy
ề
n.
Câu 3:
Cho tam giác
MPQ
vuông t
ạ
i M. Khi
đ
ó
A.
MP là c
ạ
nh k
ề
c
ủ
a góc Q.
B.
PQ và PM là hai c
ạ
nh góc vuông.
C.
MP là c
ạ
nh
đố
i c
ủ
a góc Q.
D.
MQ là c
ạ
nh k
ề
c
ủ
a góc P.
Câu 4:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
5
32
x =
B.
32
5
x =
C.
18
5
y =
D.
18
5
x =
Câu 5:
Cho hình v
ẽ
. Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
80x
=
B.
80x
=
C.
48x
=
D.
48x
=
Câu 6:
Cho hình v
ẽ
. Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
5x
=
B.
4x
=
C.
3x
=
D.
3x
=
Câu 7:
Cho hình v
ẽ
. Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
9, 14x y
= =
B.
15, 13x y
= =
C.
15, 9x y
= =
D.
9, 15x y
= =
Câu 8:
Cho hình v
ẽ
, bi
ế
t 3AC cm
=
, BD là phân giác c
ủ
a
B
.
Hãy ch
ọ
n câu
Sai
A.
3AB cm
=
B.
2 3BC cm
=
C.
1x
=
D.
5
2
AB
x
=
y
x
8
6
10
x
8
6
x
2
1
2
2
A
E
B
C
D
y
x
12
16
30
0
x
D
C
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
31
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Câu 9:
Cho hình v
ẽ
. Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
32x
=
B.
40x
=
C.
30x
=
D.
64x
=
Câu 10:
Cho hình v
ẽ
. Hãy ch
ọ
n câu
đúng
A.
13x
=
B.
14x
=
C.
15x
=
D.
12x
=
Câu 11:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
5 ; 4x cm y cm= =
B.
6 ; 2 5x cm y cm= =
C.
2 5 ; 5x cm y cm= =
D.
5 ; 2 5x cm y cm= =
Câu 12:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
15x cm=
B.
2x cm=
C.
18x cm=
D.
7x cm=
Câu 13:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
4x cm=
B.
5x cm=
C.
6x cm=
D.
7x cm=
Câu 14:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
7,2 ; 10x cm y cm= =
B.
2,8 ; 12,8x cm y cm= =
C.
8 ; 12,8x cm y cm= =
D.
7,2 ; 12,8x cm y cm= =
Câu 15:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
10 ; 25x cm y cm= =
B.
20 ; 15x cm y cm= =
C.
30 ; 25x cm y cm= =
D.
15 ; 20x cm y cm= =
4 cm
1 cm
y
x
x
x
18 cm
7 cm
B
A
C
60°
16cm
14 cm
x
B
A
C
20 cm
y
x
12 cm
x
16 cm9 cm
y
32
18
x
B
C
A
H
x
8
7
120
0
A
B
C
Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
32
Tr
ọ
ng tâm toán 9
I Love Math _0916620899
Câu 16:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
5 ; 9,6x cm y cm≈ ≈
B.
6 ; 10,6x cm y cm≈ ≈
C.
4 ; 8,6x cm y cm≈ ≈
D.
3 ; 7,6x cm y cm≈ ≈
Câu 17:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
3 ; 4 5x cm y cm= =
B.
5 ; 3 5x cm y cm= =
C.
2 ; 5x cm y cm= =
D.
4 ; 2 5x cm y cm= =
Câu 18:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
6a cm=
B.
7a cm=
C.
8a cm=
D.
9a cm=
Câu 19:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
5x cm=
B.
6x cm=
C.
13x cm=
D.
36x cm=
Câu 20:
Cho hình v
ẽ
, hãy ch
ọ
n câu
đ
úng
A.
49x cm=
B.
8x cm=
C.
9x cm=
D.
7x cm=
y
x
7cm
5cm
y
x
2 cm
1 cm
a
2 cm
4 cm
9 cm
x
4 cm
D
11 cm
9 cm
x
3 cm
B
A
C
| 1/34
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

I Love Math HÌNH HOÏC 9 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 0916620899 lsp02071980@gmail.com Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ---0o0---
§1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Quy ước
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
Cạnh huyền BC = a
Cạnh góc vuông AB = ; b AC = c
Hình chiếu của cạnh AB trên BC là BH = b′
Hình chiếu của cạnh AC trên BC là CH = c′
Đường cao AH = h
1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1.
Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu
của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền Tức là: 2 2
AB = BC.BH hay 2 b = ab′
AC = BC.CH hay 2 c = ac′
Định lí Py – ta – go
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông Tức là : 2 2 2
AB + AC = BC hay 2 2 2
a = b + c
2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí 2.
Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của
hai cạnh của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Tức là:  2
AH = BH.HC hay 2
h = b .′c′ Định lí 3.
Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Tức là:  A .
B AC = BC.AH hay . b c = . a h Định lí 4.
Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các
nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. 1 1 1 1 1 1 Tức là:  hay 2 = 2 + 2 = 2 + 2 AH AB AC h b c2 B. BÀI TẬP Bài 1.
Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người đo
đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1,5m. HD Giải
Xét tam giác ACD vuông tại D có đường cao BD và AB = 1,5m 1 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: 2 2
BD = AB.BC ⇔ (2, 25) = 1, 5.BC BC = 3, 375 m
Vậy chiều cao của cây là AC = AB + BC = 1,5 + 3,375 = 4,875m
Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm, AC = 8c .
m Tính độ dài cạnh huyền và đường cao AH. HD Giải
Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có A 2 2 2 2 2
BC = AB + AC = 6 + 8 = 100
Suy ra: BC = 10cm 6cm 8cm 2 2 1 1 1 Ta lại có: AB AC = +  AH = 2 2 2 2 2 AH AB AC AB + AC 2 2 6 .8 B C Vậy AH = = 4,8cm H 2 2 6 + 8
Bài 3. Hãy tìm x và y trong mỗi hình sau a) b) c) A A A y 8 12 x 6 x y x y 1 4 B B C H C 20 B H C H d) e) f) B A B 1 H y H 5 y 2 x 2 x x 4 B A y C C H C A 7 g) h) k) A B B y x x H 16 4 9 y B x H C 2 H 12 x A y C A y C
Bài 4. Trong một tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với
cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
Bài 5. Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Tính
các cạnh góc vuông của tam giác này.
Bài 6. Cho hình vuông ABC .
D Gọi I là một điểm cố định giữa A và B . Tia DI và CB cắt nhau tại
K . Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI và cắt BC tại . L Chứng minh rằng
a) Tam giác DIL là tam giác cân 1 1 b) Tổng +
không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB . 2 2 DI DK
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
BH , CH , AH , AC nếu biết:
a. AB = 6cm; BC = 10cm.
b. AB = 20cm; BC = 25cm. 2 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
c. AB = 12cm; BC = 13c . m d. AB = 3c ; m BC = 2c . m e. AB = 5c ; m BC = 1d . m
f. AB = 2 2cm; BC = 4c . m
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
BC, AH , BH , CH nếu biết:
a. AB = 3cm; AC = 4c . m
b. AB = 12cm; AC = 9c . m
c. AB = 12cm; AC = 5c . m d. AB = 2c ; m AC = 2c . m e. AB = 3c ; m AC = 1c . m
6. AB = 3a; AC = 4a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn
AH , BC, AB, AC nếu biết:
a. BH = 9cm; CH = 16c . m b. BH = 2c ; m CH = 2c . m
c. BH = 1cm; CH = 3c . m d. BH = 25c ; m CH = 144c . m
e. BH = 16a; CH = 9a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
f. BH = 144a, CH = 25a (với a là độ dài cho trước, a > 0 ).
Bài 4. Cho tam giác DEF vuông tại D có DI là đường cao. Tính độ dài DI nếu biết:
a. DE = 15cm, DF = 20c . m
b. DE = 1cm, DF = 1c . m
c. DE = 7cm, DF = 24c . m
d. DE = 12cm, EF = 15c . m
e. DF = 3cm, EF = 2c . m
f. EI = 9cm, EF = 25c . m
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy điền các số thích hợp vào ô trống. (Sử
dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm). AB AC BC AH BH CH 3 4 5 12 7 24 9 40 20 29 60 61 84 85 9 16 3,2 1,8 1,96 23,04
Bài 6. Giả sử tam giác ABC không có góc tù. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông nếu biết:
a. AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10c . m
b. AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12c . m
c. AH = 12cm, BH = 16cm, CH = 9c . m
d. AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25c . m
e. AB = 2cm, BH = 1cm, BC = 4c . m
f. AC = 24cm, BH = 1,96cm, BC = 25c . m 3 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
§2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM
1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn a. Mở đầu
Cho tam giác ABC vuông tại A . Xét góc nhọn B của nó.
Cạnh AB được gọi là cạnh kề của góc B
Cạnh AC được gọi là cạnh đối của góc B b. Định nghĩa
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền caïnh ñoái
được gọi là sin của góc α , kí hiệu là sinα = caïnh huyeàn sinα A
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được caïnh keà
gọi là cosin của góc α , kí hiệu là cạnh kề cosα = cạnh đối caïnh huyeàn cosα
Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được α caïnh ñoái
gọi là tang của góc α , kí hiệu là tanα tanα = B cạnh huyền C caïnh keà
Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được caïnh keà
gọi là côtang của góc α , kí hiệu là cot α g = caïnh ñoái cot α g (cotα )
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
a. Định lí: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia A
Cho tam giác ABC vuông tại A . Ta có:α , β là hai góc phụ nhau. sinα = cos β cosα = sin β α β tanα = cot β cot α g = tan β B C
b. Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt α 00 300 450 600 900 π π π π 0 6 4 3 2 TSLG sinα 1 2 3 0 2 2 2 1 cosα 3 2 1 1 2 2 2 0 tanα 3 3 0 3 1 | cotα 3 3 | 1 3 0
c. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: 0 < sinα <1;0 < cosα <1. Ta có: sinα cosα 2 2 tanα = cotα = sin α + cos α =1 cosα sinα tanα.cotα =1 2 1 1 1+ tan α = 2 1+ cot α = 2 cos α 2 sin α 4 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp B. BÀI TẬP
Bài 1. Tìm tỉ số lượng giác của góc B . Ta có: AC a B = 0 2 sin sin 45 = = = BC a 2 2 AB a B = 0 2 cos cos45 = = = BC a 2 2 AC a HD Giải B = 0 tan tan 45 = = = 1 AB a AB a gB = 0 cot cot g45 = = = 1 AC a
Bài 2. Tìm tỉ số lượng giác của góc B . Ta có: AC a B = 0 3 3 sin sin 60 = = = BC 2a 2 AB a B = 0 1 cos cos60 = = = BC 2a 2 AC a B = 0 3 tan tan 60 = = = 3 AB a 0 AB a 3 cot gB cot g60 HD Giải = = = = AC a 3 3
Bài 3. Trong hình tìm y HD Giải Ta có: y 0 =  y = 0 17 3 cos30 17.cos30 = ≈ 14,7 17 2 2
Bài 4. Dựng góc nhọn α biết tanα = 3 HD Giải
Dựng góc vuông xOy .
Trên tia Ox, lấy điểm A sao cho OA = 2
Trên tia Oy, lấy điểm B sao cho OB = 3
Suy ra góc OBA = α . Thật vậy, ta có: α OA 2 tan = tan BOA = = OB 3 1
Bài 5. Dựng góc nhọn β biết sin β = 2 HD Giải
Dựng góc vuông xOy .
Trên tia Oy, lấy điểm M sao cho OM = 1
Trên tia Ox, lấy điểm N sao cho MN = 2
Suy ra góc MNO = β . Thật vậy, ta có: β OM 1 sin = sin MNO = = MN 2
Bài 6. Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 0
34 rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 0 34 .
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9 m, BC = 1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của 5 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc . A
Bài 8. Dựng góc nhọn α , biết 2 3 3 a) sinα = b) cosα = 0,6 c) tanα = d) cotα = 3 4 2
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết cos B = 0,8 , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.
Bài 10. Cho tam giác vuông có một góc 0
60 và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tính độ dài của cạnh đối diện với góc 0 60
Bài 11. Tìm x trong hình bên Bài 12. Tìm ;
x y trong các hình sau:
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH . Tính sin B và sin C trong mỗi trường hợp sau:
a) AB = 13; BH = 5.
b) BH = 3;CH = 4.
Bài 14. Cho hình vẽ. Biết AB = 9c ; m AC = 6, 4c ; m AN = 36cm ; 0 AND = 90 và 0
DAN = 34 . Hãy tính: Độ
dài đoạn CN; AD ; Góc ABN và CAN .
Bài 15. Cho hình vẽ bên. Biết AB = BC = CD = DE = 2cm . Hãy tính:
a) Độ dài đoạn AD và BE
b) Góc DAC và BXD
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm, AC = 8cm . Tính các tỉ số lượng giác của góc B .
Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C . 6 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Bài 17. 1
Tìm sinα ,cotα , tanα biết cosα = . 5
Bài 18. Cho tam giác ABC vuông tại A , 0
C = 30 và BC = 10cm
a) Tính độ dài đoạn AB, AC
b) Kẻ từ A các đường thẳng AM , AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của
góc B . Chứng minh MN = AB .
c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng. Bài 19. 5
Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết AB = 30cm , B = α , tanα =
. Tính cạnh BC và AC . 12
Bài 20. Tính sin L trong hình dưới
Bài 21. Tìm x trong hình dưới
Bài 22. Trong hình bên. Hãy tính
a) Độ dài cạnh BC b) góc ADC
c) Khoảng cách từ điểm B đến cạnh AD
Bài 23. Trong hình bên. Hãy tính
a) Độ dài cạnh PT
b) Diện tích tam giác PQR
Bài 24. Trong hình bên dưới, cho tam giác BCD là tam giác đều cạnh 5cm và góc 0 DAB = 40 . Hãy tính AD và AB .
Bài 25. Cho tam giác ABC có 0 BC = 12c , m B = 60 và 0 C = 40 . Tính: 7 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
a) Đường cao CH và cạnh AC .
b) Diện tích tam giác ABC .
Bài 26. Tính giá trị biểu thức: a) 2 0 0 2 0 0
A = cos 52 .sin 45 + sin 52 .cos 45 b) 0 2 0 2 0 0
B = tan 60 .cos 47 + sin 47 .cot 30 Bài 27. 1
Tìm cosα , tanα ,cotα . biết sinα = 5
Bài 28. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: a) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
A = cos 20 + cos 30 + cos 40 + cos 50 + cos 60 + cos 70 b) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
B = sin 5 + sin 25 + sin 45 + sin 65 + sin 85 c) 0 0 0 0 0 0
C = tan1 . tan 2 .tan 3 . tan 4 ...tan 88 . tan 89 .
Bài 29. Cho tam giác ABC vuông tại .
A Đặt ABC = x với 0° < x < 90 . ° Chứng minh rằng:
a. sin x = cos(90° − x).
b. cos x = sin (90° − x)
c. tan x = cot (90° − x).
d. cot x = tan (90° − x).
Bài 30. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a với a > 0 và đường cao AH.
a. Tính BH , AH theo a.
b. Tính tỉ số lượng giác của góc 30° và góc 60 . °
Bài 31. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có BC = 2a với a > 0.
a. Tính AB và AC theo a.
b. Tính tỉ số lượng giác của góc 45 . °
Bài 32. Cho tam giác ABC vuông tại .
A Hãy tính tỉ số lượng giác của góc B và góc C nếu biết:
a. AB = 3cm, AC = 4c . m
b. AB = 6cm, BC = 10c . m
c. AC = 5cm, BC = 12c . m d. AB = 5c , m BC = 1d . m
e. AC = 2cm, BC = 2c . m
f. AB = 3 3cm, AC = 3c . m
Bài 33. Tính các tỉ số lượng giác của các góc sau (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần nghìn) a. sin1 ,
° sin 23 ,° sin 45 ,° sin67 ,° sin89 .° b. cos1 ,
° cos 23 ,° cos 45 ,° cos67 ,° cos89°. c. tan1 ,
° tan 23 ,° tan 45 ,° tan 67 ,° tan 89 .° d. cot1 ,
° cot 23 ,° cot 45 ,° cot 67 ,° cot 89°.
Bài 34. Cho tam giác ABC vuông tại .
A Hãy điền các số thích hợp vào ô trống (Sử dụng máy tính bỏ túi
để làm tròn các kết quả đến chữ số hàng phần trăm và đổi kết quả đo góc sang độ, phút, giây) AB AC BC Góc B Góc C 3 4 5 12 2 2 3 30° 20 40° 1 15° 5 18° 30 54° 100 22 3 ° 0′ 2 7 3 ° 0′
Bài 35. Cho tam giác ABC vuông tại .
A Đặt ABC = x với 0° < x < 90 . ° Chứng minh rằng: sin x cos x a. 2 2
sin x + cos x = 1. b. tan x = ; c. cot x = ; cos x sin x 1 1 d. tan . x cot x = 1. e. 2 =1+ tan ; x f. 2 =1+ cot . x 2 cos x 2 sin x
Bài 36. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = sin 23° − cos67 . °
b. B = cos34° − sin 56 . ° 8 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
c. C = tan18° − cot 72 . °
d. D = cot 36° − tan 54 . °
Bài 37. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = sin10° + sin 40° − cos50° − cos80 . °
b. B = cos15° + cos35° − sin 55° − sin 75 . ° tan 27 . ° tan 63° cot 20°cot 45°cot 70° c. C = . d. D = . cot 63 . ° cot 27° tan 20°tan 45°tan 70°
Bài 38. Tính giá trị các biểu thức sau: a. 2 2
A = sin 22° + cos 22° b. 2 2 B = sin 40° + sin 50 . ° c. 2 2 C = cos 20° + cos 70 . ° d. D = tan15 . ° cot15 .° e. E = tan18 . ° tan 72 .° f. F = cot16 . ° cot 74 .°
Bài 39. Tính giá trị các biểu thức sau: a. 2 2 2 2
A = sin 15° + sin 35° + sin 55° + sin 75 . ° b. 2 2 2 2
B = cos 15° + cos 35° + cos 55° + cos 75°. c. C = tan15 .
° tan35 .°tan55 .°tan 75 .° d. D = cot15 .
° cot35 .°cot55 .°cot 75 .°
Bài 40. Cho x là góc nhọn. 3 12
a. Tính cos x, tan x, cot x nếu biết sin x = . b. Tính sin ,
x tan x, cot x nếu biết cos x = . 5 13 c. Tính sin ,
x cos x, cot x nếu biết tan x = 3. d. Tính sin , x cos ,
x tan x nếu biết cot x = 1.
Bài 41. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau: a. sin15 ,
° sin30 ,° sin 45 ,° sin60 ,° sin75 .° b. cos15 ,
° cos30 ,° cos 45 ,° cos60 ,°cos75°. c. tan15 ,
° tan 30 ,° tan 45 ,° tan 60 ,° tan 75 .° d. cot15 ,° cot 30 ,° cot 45 ,° cot 60 ,° cot 75°.
Bài 42. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các tỉ số lượng giác sau: a. sin11 ,
° sin33 ,°cos55 ,°cos77 .° b. tan 22 ,
° tan 44 ,° cot 66 ,° cot88°. c. sin15 ,
° cos80 ,° tan 25 ,° cot 75 .° d. sin10 ,
° cos10 ,°tan 45 ,° cot33 .°
Bài 43. Cho 0° < x < 90°. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 4 4 2 2
sin x + cos x = 1− 2sin x cos . x b. 6 6 2 2
sin x + cos x = 1− 3sin x cos . x 1− cos x sin x c. 4 4 2
sin x − cos x = 1− 2 cos . x d. = . sin x 1+ cos x sin x 1+ cos x 2
sin x + cos x −1 2cos x e. + = . f. = . 1+ cos x sin x sin x 1− cos x
sin x − cos x +1
Bài 44. Cho 0° < x < 90°. Chứng minh các đẳng thức sau: a. 2 2 2 2
tan x − sin x = tan . x sin . x b. 2 2 2 2 cot x − cos = cot . x cos . x 1 1 2 cos x sin x 1+ cot x c. + =1. d. + = .
tan x +1 cot x +1 2
sin x − cos x sin x + cos x 1− cot x 2  2 1 sin x 1 sin x  + −  1 cos x 1 cos x  + − e. 2  −  = 4 tan . x f. 2  −  = 4cot . x  1− sin x 1+ sin x   1− cos x 1+ cos x
Bài 45. Cho 0° < x < 90°. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: a. 4 2 2 2
A = cos x + sin x cos x + sin . x b. 4 4 2
B = cos x − sin x + 2 cos . x c. C = ( 6 6 x + x) − ( 4 4 2 sin cos
3 sin x + cos x). d. 6 6 4 4 2
D = sin x + cos x − 2 sin x − cos x + sin . x e. 6 6 4 4 2 2
E = sin x + cos x + sin x + cos x + 5sin x cos . x 2 f. F = ( 4 4 2 2 x + x + x x) − ( 8 8 2 sin cos sin cos sin x + cos x).
Bài 46. Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A = (sin1° + sin 2° + sin3° + ...+ sin88° + sin89°)
−(cos1° + cos 2° + cos3° + ...+ 88° + cos89°) b. B = tan1 .
° tan 2 .°tan3 .°...tan87 .°tan88 .°tan89 .° 9 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp c. C = cot1 .
° cot 2 .°cot3 .°...cot87 .°cot88 .°cot89 .° d. 2 2 2 2 2 2
D = sin 1° + sin 2° + sin 3° + ... + sin 87° + sin 88° + sin 89° e. 2 2 2 2 2 2
E = cos 1° + cos 2° + cos 3° + ... + cos 87° + cos 88° + cos 89°
Bài 47. Tính kết quả của biểu thức a) 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 sin 10 sin 20 sin 30 sin 80 sin 70 sin 60o A = + + + + + . b) 2 o 2 o 2 o 2 cos 12 cos 78 cos 1 cos 89o B = + + + c) 2 o 2 o 2 o 2 sin 3 sin 15 sin 75 sin 87o C = + + + . tan 64o d) o 2 o o 2 cos 45 .cos 23 sin 45 .cos 67o D = + . e) E = −1 cot 26o 1 Bài 49.
a) Biết cos x = , tính 2 2
P = 3sin x + 4 cos x . 2 1
b) Cho góc nhọn β mà sin β = .Tính cos β và tan β 4 1 1
c) Cho góc α mà cosα = − cosα = - . Tính sinα, tanα và cotα. 3 3
d) Cho tan x = 2 2 . Tính sin x và cos x . 10 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
§3. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 1. Các hệ thức
Cho tam giác ABC vuông tại A , có BC = a, AB = c và A AC = b
Định lí: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: b
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề c
b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề Nghĩa là: a C Bb = . a sin B = . a cos C c = . a sin C = . a cos B b = . c tan B = . c cot C c = . b tan C = . b cot B
2. Các công thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S = . a h = . b h = . c h
S = bcsin A = c .
a sin B = absinC 2 a 2 b 2 c 2 2 2
h , h , h các đường cao tương ứng a b c a + b + c abc
S = p( p − a)( p − b)( p − c)
S = pr ; p = ; S = 2 4R Công thức Hê-rông
p : nữa chu vi; r, R : bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác 2 a 3 3 1 1 ∆ a S .A . B AC .BC.
ABC đều, cạnh a: S = , đường cao AH =
∆ABC vuông tại A: = = AH 4 2 2 2 b) Hình vuông: S = a2
(a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b
(a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:
S = đáy × cao = A . B A . D sinBAD 1 e) Hình thoi: S = A .
B AD.sinBAD = AC.BD 2 1
f) Hình thang: S = (a + b).h 2
(a, b: hai đáy, h: chiều cao) 1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc ( AC ⊥ BD) :
S = AC.BD 2 Lưu ý:
- Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì ta sẽ tìm
được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó.
- Bài toán đặt ra như vậy gọi là bài toán “Giải tam giác vuông” B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A ,có AB = 5, AC = 8. Hãy giải tam giác vuông ABC . HD Giải
Áp dụng định lý Py-ta-go, ta có: C 2 2 2 2 BC =
AB + AC = 5 + 8 ≈ 9, 434 Ta lại có: AB 5 0 tan C = = = 0,625  C ≈ 32 8 AC 8 0 0 0 0
B + C = 90  B ≈ 90 − 32 = 58 5 B A
Bài 2. Cho tam giác OPQ vuông tại O ,có 0
P = 36 , PQ = 8. Hãy giải tam giác vuông OPQ HD Giải 11 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp Ta có: 0 0 0 0 0
P + Q = 90  Q = 90 − P = 90 − 36 = 54 P
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: 360 7 0 OP = P .
Q sin Q = 7.sin 54 ≈ 5, 663 0 OQ = P .
Q sin P = 7.sin 36 ≈ 4,114 Q O
Bài 3. Cho tam giác LMN vuông tại L ,có 0
M = 51 , LM = 2,8.Hãy giải tam giác vuông LMN HD Giải Ta có: 0 0 0 0
N = 90 − M = 90 − 51 = 39 N
Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có: 0
LN = LM . tan M = 2,8.tan 51 ≈ 3, 458 LM 2,8 MN = ≈ ≈ 4, 449 0 cos 51 0, 6293 510 2,8 M L
Bài 4. Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500 km / .
h Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc 0
30 . Hỏi sau 1, 2 phút máy bay lên cao được bao nhiêu kilômét theo phương thẳng đứng? HD Giải 1 Ta có: 1, 2 phút = giờ 50 500 Đoạn đường AB = =10 km 50 Do đó: 0
BH = AB sin A = 10.sin 30 = 5 km
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết: a) b = 10cm , 0 C = 30 = 30° ; b) a = 20cm , 0 B = 35 = 35°;
c) a = 15cm,b = 10cm ;
d) b = 12cm,c = 7cm .
e) c =10cm , C = 45° ; f) a = 11cm , 0 C = 60
Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ABC = 38° và ACB = 30 .
° Gọi N là chân đường vuông góc
kẻ từ A đến cạnh BC . Hãy tính:
a) Độ dài đoạn thẳng AN;
b) Độ dài đoạn thang AC. (Kẻ BK vuông góc với AC )
Bài 7. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 0
34 và bóng của một tháp trên
mặt nước dài 86m . Tính chiều cao của tháp
Bài 8. Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất
dài 4m . Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia
sáng mặt trời tạo với mặt đất góc α. 12 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 9. Một khúc sông rộng khoảng 250m . Một
chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên
nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ
bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi
một góc α bằng bao nhiêu độ?
Bài 10. Trong hình bên, có AC = 8cm, AD = 9, 6cm, 0 0
ABC = 90 , ACB = 54 và 0 ACD = 74 . Hãy tính: a) Độ dài AB b) Góc ADC
Bài 11. Tượng đài chiến thắng là một công trình A
kiến trúc độc đáo được thi công nhằm kỷ niệm
ngày giải phóng thị xã Long Khánh, ngày 21 – 4
– 1975 thể hiện ý chí quyết thắng của quân và dân ta.
Em hãy tính chiều cao của công trình này biết
rằng khi tia nắng của mặt trời tạo với mặt đất một
góc 520 thì bóng của nó trên mặt đất là 16m. (Giả
sử chu vi mặt đáy của khối chóp tam giác không 52° đáng kể) B C
Bài 12. Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng
đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An
ở vị trí B , trường của Bình ở vị trí C theo hai
hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc
4km / h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với
vận tốc 3km / h và đến trường sau 12 phút.Tính
khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét).
Bài 13. Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở
độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất
cách hình chiếu của khí cầu xuống đất một
khoảng 285m . Tính góc hạ của tia AB . Nếu
khinh khí cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi
góc hạ của tia AB là 46° thì độ cao của khinh khí
cầu là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). 13 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 14. Một người có mắt cách mặt đất 1, 4m ,
đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp
với góc nâng 39° . Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét).
Bài 15. Một cột đèn cao 8m . Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc nó có bóng trên mặt đất là 5m .
Bài 16. Một cái thang dài 4m đang dựa vào tường, chân thang cách chân tường 2m .Tính góc tạo bởi thang
với mặt đất và với mặt tường.
Bài 17. Tính chiều cao của một ngọn núi cho biết tại hai điểm cách nhau 1km trên mặt đất người ta nhìn
thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 40° và 32° . D 32° 40° A 1km C B
Bài 18. Tính chiều cao của một cái tháp, cho biết
khi các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc
42° thì bóng của tháp trên mặt đất có chiều dài 150m .
Bài 19. Để đo chiều rộng AB của một con sông
mà không phải băng ngang qua sông, một người
đi từ A đến C đo được AC = 50m và từ C nhìn
thấy B với góc nghiêng 62° với bờ sông. Tính bề rộng của con sông.
Bài 20. Một người quan sát đứng cách một tòa
nhà 25m. Góc nâng từ chỗ anh ta đứng đến nóc tòa nhà là 36° .
a. Tính chiều cao của tòa nhà (làm tròn đến mét). 14 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
b. Nếu anh ta dịch chuyển sao cho góc nâng là 32° thì anh ta cách tòa nhà bao nhiêu mét? Khi đó anh ta
tiến lại gần hay cách ra xa tòa nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 21. Từ trên tháp quan sát của một ngọn hải
đăng cao 28 m , người ta nhìn thấy một chiếc
thuyền cứu hộ với góc hạ 20°. Tính khoảng cách
từ chân tháp đến thuyền. .
Bài 22. Đài quan sát Toronto, Ontario (canada)
cao 533m . Ở một thời điểm vào ban ngày, mặt
trời chiếu tạo thành bóng dài 1100 m . Hỏi lúc đó
góc tạo bởi tia sát mặt trời và mặt đất là bao nhiêu (làm tròn đến độ).
Bài 23. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 250 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với
các góc nâng lần lượt là 30° và 40°.Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Bài 26. Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà (điểm A ) đến trường (điểm B ) phải leo lên và xuống
một con dốc (như hình vẽ). Cho biết đoạn thẳng AB dài 762 m , góc A bằng 6° , góc B bằng 4° . C h 4° 6° A B H 762 m
a. Tính chiều cao h của con dốc.
b. Hỏi bạn An đến trường lúc mấy giờ ? Biết rằng tốc độ trung bình lên dốc là 4 km/h và tốc độ trung
bình xuống dốc là 19 km/h .
Bài 27. Từ đỉnh một tòa nhà cao 54 m , người ta
nhìn thấy một ô tô đang đỗ dưới một góc nghiêng
xuống là 40°. Hỏi ô tô đang đỗ cách tòa nhà đó bao nhiêu mét ? 15 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 28. Một học sinh đứng ở mặt đất cách tháp ăng ten cao 150 m nhìn thấy đỉnh tháp theo một góc nghiêng
lên là 20° và khoảng cách từ mắt đến mặt đất là 1m . Tính khoảng cách từ học sinh đó đến tháp (làm tròn đến mét).
Bài 29. Một cái thang dài 4,8m dựa vào tường làm thành một góc 58° so với mặt đất. Tính chiều cao của
thang so với mặt đất (làm tròn đến mét).
Bài 30. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 800 feet (đơn vị đo lường Anh) so với mực nước biển nhìn
thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống là1 4
° 2'. Hỏi khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng
là bao nhiêu hải lý (1 hải lý = 5280 feet )?
Bài 31. Một người quan sát ở đài hải đăng cao 149 m so với mực nước biển nhìn thất một con tàu ở xa với
một góc nghiêng xuống là 27°. Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét?
Bài 32. Một học sinh thả diều ngoài đồng, cho
biết đoạn dây đã thả dài 100 m và có góc nâng
52° . Tính độ cao của diều so với mặt đất (làm tròn đến mét).
Bài 33. Một chiếc thuyền thả neo trên sông. Cho
biết dây neo dài 30 m và có góc nghiêng lên là
39° . Tính độ sâu của mực nước chỗ thuyền
đang đậu (làm tròn đến mét).
Bài 34. Một người đứng trên đỉnh tháp cao
325 m nhìn thấy 2 điểm A và B với hai góc hạ
lần lượt là 37° và 72° .Tính khoảng cách AB . 16 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 35. Một người đứng cách chân tháp 14 m
nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60° . Tính chiều cao của tháp.
Bài 36. Một máy bay cất cánh theo phương có góc
nâng 23°.Hỏi muốn đạt độ cao 2500 m , máy bay
phải bay một đoạn đường là bao nhiêu mét?
Bài 37. Một cái cây có bóng trên mặt đất dài 20 m
.Cho biết tia nắng qua ngọn cây nghiêng một góc
31° so với mặt đất. Tính chiều cao của cây.
Bài 38. Một cái cây cao 6m đang có bóng dài
3, 2 m . Tính góc hợp bởi tia nắng với thân cây.
Bài 39. Một người đứng cách chân tháp 14 m nhìn thấy đỉnh tháp theo góc nghiêng 60° . Tính chiều cao của tháp.
Bài 40. Ban Hùng có tầm mắt cao 1,5m đang C
đứng gần một cao ốc cao 30 m thì nhìn thấy nóc
tòa nhà với góc nâng 30° . Hùng đi về phía tòa
nhà cho đến khi nhìn thấy nóc tòa nhà với góc
nâng 60° . Tính quãng đường mà bạn Hùng đã đi 30m được. 60o 30o B A D 1,5m K 17 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 41. Một học sinh có tầm mắt cao 1,5 m đứng
trên sân thượng của một căn nhà cao 15 m nhìn
thấy bạn mình với góc nghiêng xuống 49°. Hỏi cô
bạn đang ở cách căn nhà bao nhiêu mét?
Bài 42. Một máy bay thể thao đang bay ngang ở
độ cao 3000 m nhìn thấy một cái cây với góc
nghiêng xuống 15° . Hỏi máy bay phải bay một
đoạn đường là bao nhiêu mét thì sẽ ở ngay trên ngọn cây?
Bài 43. Từ nóc một cao ốc cao 50 m người ta nhìn thấy chân và đỉnh một ăng-ten với các góc hạn lần lượt
là 62° và 34° . Tính chiều cao cột ăng-ten. E B 340 D 620 50 A C
Bài 44. Một cái diều đang bay ở độ cao 60 m.
Sợi dây cột diều nghiêng với mặt đất một góc
60° . Tính chiều dài của sợi dây (làm tròn đến
mét) khi nó căng thẳng (không có chỗ bị võng).
Bài 45. Tháp Capital Gate tại Abu Dhabi cao
160 m và nghiêng 18° . Nếu không nghiêng thì tháp cao bao nhiêu mét?
Bài 46. Tính chiều cao của một ngọn núi, cho
biết tại hai điểm cách nhau 500 m , người ta nhìn
thấy hai đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38° . 18 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 47. Một cái tháp được dựng bên bờ một con
sông, từ một điểm đối diện với tháp ngay bờ bên
kia người ta nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 60°
. Từ một điểm khác cách điểm ban đầu 20 m,
người ta cũng nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng
30° . Tính chiều cao của tháp.
Bài 48. Một bức tượng cao 1,6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy
nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45°. Tính chiều cao của cái bệ.
Bài 49. Một nhà trẻ muốn thiết kế hai cái cầu tuột trong sân chơi. Đối với trẻ dưới 5 tuổi, cầu tuột cao
1,5 m và nghiêng với mặt đất một góc 30° . Đối với trẻ trên 5 tuổi cầu tuột cao 1,5 m và nghiêng với mặt
đất một góc 45°. Tính chiều dài của mỗi máng tuột. A 2m 30 45 ° ° E B C
Bài 50. Từ chân một cái tháp cao 50 m người ta
nhìn thấy đỉnh một tòa nhà với góc nâng 30° .
Trong khi đó từchân tòa nhà lại nhìn thấy đỉnh
tháp với góc nâng 60° . Tính chiều cao của tòa nhà.
Bài 51. Hai trụ điện có cùng chiều cao đặt cách
nhau 80 m . Một người đứng ở xa (thẳng hàng với
hai trụ điện, không đứng giữa hai trụ điện) nhìn
đỉnh hai trụ điện với góc nâng lần lượt là 60°và
30° . Tính chiều cao trụ điện và khoảng cách từ
người đó đến chân các trụ điện. Biết mắt người đó
cách mặt đất1, 2 m . 19 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 52. Từ trên một ngọn hải đăng cao 75 m , người ta quan sát hai lần thấy một chiếc thuyền đang
hướng về phía hải đăng với góc hạ lần lượt là 30° và 45°. Hỏi chiếc thuyền đi được bao nhiêu
mét giữa hai lầnquan sát?
Bài 53. Một thủy thủ lái thuyền ra biển hướng về hướng đông bắc với góc nghiêng so với phương bắc là
41°. Đi được 2,8 km anh ta phát hiện sắp hết nhiên liệu nên vội quay thuyền vào bờ, đi được 1,8km thì
thuyền tắt máy. Hỏi lúc đó thuyền cách bờ bao xa?
Bài 54. Từ trên đỉnh một tòa nhà cao 7m , người
ta nhìn thấy đỉnh một tháp truyền hình với góc
nâng 60° và nhìn thấy chân của tháp với góc hạ
45°. Tính chiều cao của tháp truyền hình?
Bài 55. Một học sinh có khoảng cách từ mặt đến
mặt đất là 1, 2 m bắt đầu quan sát một trái bóng
bay với góc nâng 60° . Một lúc sau lại nhìn thấy
quả bóng bay với góc nâng 30° . Hỏi giữa hai lần
quan sát quả bóng đã bay được bao nhiêu mét?
Cho biết độ cao của quả bóng luôn luôn không đổi và bằng 88, 2 m .
Bài 56. Một người đang ở trên một cái tháp có chiều cao h =100 m nhìn xuống một con đường chạy thẳng
đến chân tháp. Anh ta nhìn thấy một chiếc xe máy với góc hạ 30° . Sáu phút sau lại nhìn thấy nó với góc
hạ 60° . Hỏi sau bao nhiêu phút thì xe máy đến chân tháp? Cho biết vận tốc xe máy không đổi. 20 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 57. Để đo chiều cao một cái cây AB . Người ta đặt gương phẳng tại vị trí C . Người đo đi lùi lại (thẳng
người) cho đến khi nhìn thấy bóng ngọn cây A (lúc này là F ). Biết khoảng cách từ gương đến gốc cây là
BC = 30mét, khoảng cách từ gương đến chỗ đứng là CD = 1,5 mét. Khoảng cách từ mắt người đo E đến
mặt đất là ED = 1,6 mét. Tính chiều cao của cây? (biết BCA = DCE ).
Bài 58. Quan sát hình vẽ dưới đây. Giả sử
CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân
tháp. Chọn hai điểm A , B trên mặt đất sao cho
ba điểm A , B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng
cách AB và các góc CAD , CBD . Chẳng hạn ta đo được AB = 24 m, CAD = α = 63°,
CBD = β = 48°. Hãy tính chiều cao h của tháp.
Bài 59. Một hình chữ nhật có kích thước là 20cm và 30cm . Người ta tăng mỗi kích thước thêm x cm.
Gọi y là chu vi của hình chữ nhật mới. a. Hãy tính y theo x .
b. Tính giá trị của y tương ứng với x = 3 cm; x = 5 cm.
Bài 60. Một thửa đất hình chữ nhật có chiều dài 32 m
là 32 m và chiều rộng là 24 m. Người ta định làm
một vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh, x
có bề rộng x(m) (hình vẽ bên). Hỏi bề rộng của
mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn x x 24 m lại là 560 m2. x
Bài 61. Một căn phòng hình vuông được lát bằng những viên gạch men hình vuông cùng kích cỡ, vừa hết
441 viên (không viên nào bị cắt xén). Gạch gồm 2 loại men trắng và men xanh, loại men trắng nằm trên 2
đường chéo của nền nhà còn lại là loại men xanh. Tính số viên gạch men xanh. 21 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 62. Bạn Nam đi xe đạp từ nhà (điểm A) đến trường (điểm B) gồm đoạn lên dốc và đoạn xuống dốc,
A = 5° , B = 4° , đoạn lên dốc dài 325 m.
a. Tính chiều cao của dốc và chiều dài quãng đường từ nhà đến trường.
b. Biết vận tốc trung bình lên dốc là 8 km/h và vận tốc trung bình xuống dốc là 15 km/h. Tính thời gian
(phút) bạn Nam đi từ nhà đến trường. (Lưu ý kết quả của phép tính làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 63. Một bức tượng cao 1,6 m được đặt trên một cái bệ. Tại một điểm trên mặt đất người ta nhìn thấy
nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 60° và 45°. Tính chiều cao cái bệ.
Bài 64. Một cây có chiều cao 14 m mọc ở phía sau một bức tường cao 8 m và cách bức tường 12 m. Hỏi
người quan sát có chiều cao 1,8 m phải đứng cách bức tường bao nhiêu mét để có thể nhìn thấy ngọn cây.
Bài 65. Nhà bạn An ở vị trí A , nhà bạn Bình ở vị trí B cách nhau 1200 m. Trường học ở vị trí C cách nhà
bạn An 500m và AB vuông góc với AC . An đi bộ đến trường với vận tốc 4 km/h, Bình đi xe đạp đến
trường với vận tốc 12 km/h. Lúc 6 giờ 30 phút, cả hai cùng xuất phát đến trường. Hỏi bạn nào đến trường trước?
Bài 66. Bóng của tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc) trên mặt đất có độ dài 20 m. Cùng thời điểm đó, một cột sắt
cao 1, 65 m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 2 m. Tính chiều cao của tháp.
Bài 67. Một con đê được đắp chắn sóng theo hình dưới, độ dốc của con đê phía sông dài 7 m. Hỏi độ dốc
còn lại của con đê dài bao nhiêu mét?
Bài 68. Xem hình vẽ sau, người ta có thể dùng giác kế để đo được góc CAB = 43° và CBA = 38° . Hỏi tàu
đang ở vị trí điểm H sẽ chạy với vận tốc bao nhiêu km/h để sau 5 phút sẽ đến vị trí điểm C . Biết khoảng
cách từ vị trí điểm A đến vị trí điểm B là 300 m và vị trí 3 điểm A , H , B thẳng hàng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). C A H B 22 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 69. Ba An muốn mua một cái thang dùng để
lên mái nhà. Ba hỏi An phải mua cái thang dài bao
nhiều mét để đảm bảo sự an toàn và có thể leo lên
được mái nhà cao 4,5m so với mặt đất. Em hãy
giúp An tính chiều dài thang cần mua, biết góc kê
thang an toàn là 75° so với phương ngang (làm
tròn đến số thập phân thứ nhất).
Bài 70. Một chiếc máy bay bay lên cao với vận
tốc 520 km / h . Đường bay lên tạo với phương
nằm ngang một góc 24°. Hỏi sau 90 giây máy bay
lên cao được bao nhiêu km theo phương thẳng
đứng? (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 71. Từ đài quan sát cao 10 m, Nam có thế
nhìn thấy 2 chiếc thuyền dưới góc 45° và 30° so
với phương ngang. Hãy tính khoảng cách 2 chiếc
thuyền, làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
(điều kiện lý tưởng: vị trí 2 chiếc thuyền và vị trí
đài quan sát thẳng hàng).
Bài 72. Hình ảnh mặt cắt một quả đồi được minh họa là một A
∆ BC với các chi tiết như sau: cạnh
đáy là AC , BH ⊥ AC , BAC = 45°, AH = 200
m, HC = 210 m. Một nhóm học sinh đi dã ngoại
đi từ đỉnh A lên đỉnh B rồi xuống dốc trở về C
. Hãy tính quãng đường này?
Bài 73. Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được
minh họa như trong hình vẽ. Tính khoảng cách
giữa chúng (kết quả là tròn đến mét).
Bài 74. Lúc 6h45 phút sáng bạn Nam đi xe đạp điện từ nhà tới trường với vận tốc trung bình là 15 km/h
bạn đi theo con đường từ A ֏ B ֏ C ֏ D ֏ E ֏ G ֏ H (như trong hình). Nếu có 1 con đường thẳng
từ A ֏ H và đi theo con đường đó với vận tốc trung bình 15 km/h, bạn Nam sẽ tới trường lúc mấy giờ? 23 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp H Trường học 500m E 400m G 300m C 600m D 700m 1000m A Nhà B
Bài 75. Hai ngư dân đứng ở một bên bờ sông cách nhau 50 m cùng nhìn thấy một cù lao trên sông với các
góc nâng lần lượt là 30° và 40°. Tính khoảng cách d từ bờ sông đến cù lao.
Bài 76. Một người đi xe máy lên dốc có độ nghiêng 5° so với phương ngang với vận tốc trung bình lên
dốc là 18 km/h. Hỏi người đó mất bao lâu để lên tới đỉnh dốc? Biết đỉnh dốc cách mặt đất 18 m.
Bài 77. Từ vị trí xuất phát A , hai xe cùng một lúc đi thẳng theo hai hướng khác nhau, tạo một góc A = 70°
. Xe thứ nhất đi với vận tốc 40 km/h và xe thứ hai đi với vận tốc 50 km/h. Sau 1 giờ 30 phút, hai xe cách
nhau bao nhiêu km? (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).
Bài 78. Một máy kéo nông nghiệp có bánh xe sau to hơn bánh xe trước. Bánh xe sau có đường kính 124
cm và bánh xe trước có đường kính 80 cm. Hỏi khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì xe di chuyển được
bao nhiêu mét (làm tròn một chữ số) và khi đó bánh xe trước lăn được mấy vòng?
Bài 79. Trong hình vẽ dưới đây, hai địa điểm A ,
B cách nhau 100 km. Một xe ô tô khởi hành từ B
đến A với vận tốc 40 km/h. Cùng lúc đó, một xe
đạp điện cũng khởi hành từ A trên đoạn đường
vuông góc với AB với vận tốc 20 km/h. Hỏi sau
90 phút thì hai xe cách nhau bao xa.
Bài 80. Với số liệu ghi trên hình (biết tứ giác EFHI là hình chữ nhật và A , I , H thẳng hàng). Cây trong
hình cao bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị).
Bài 81. Một người quan sát đứng cách một tòa nhà khoảng 25 m (điểm A ). Góc nâng từ chỗ anh ta đứng
đến nóc tòa nhà (điểm C ) là 36° . 24 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
a. Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến 0,5 mét)
b. Nếu anh ta đi thêm 5 m nữa, đến vị trí D nằm giữa A và B thì góc nâng từ D đến nóc nhà là bao nhiêu? (làm tròn đến phút).
Bài 82. Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất,cọc cao 2 m và đặt xa cây 15
m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8 m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đoạn
đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6 m?
Bài 83. Cho tam giác ABC vuông tại A( AB < AC) có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Đặt
ACB = x (0° < x < 90°). Đặt BC = a, AC = , b AB = . c
a. Tính độ dài các cạnh của tam giác AHM theo a, , b . c
b. Tính tỉ số lượng giác của góc x và góc 2x theo a, , b . c c. Chứng minh: 2 tan x
i) sin 2x = 2sin x cos x ii) tan 2x = 2 1− tan x iii) 2 2 2 2
cos 2x = 2cos x −1 = cos x − sin x = 1− 2sin x
Bài 84: Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác trong A . D a + b + c Đặt BC = , a AC = ,
b AB = c và p = . Chứng minh rằng: 2 BAC BAC
a. sin BAC = 2sin cos 2 2 1 1 BAC b. S = A .
B AC.sin BAC và S = A . B A . D sin . A ∆ BC 2 A ∆ BD 2 2 2 cos A bc S BD c c. A ∆ BD = = . d. 2 AD = S BC b + c b + c A ∆ BC
Bài 85. Cho tam giác ABC nhọn có đường phân giác trong A .
D Đặt BC = a, AC = , b AB = , c a + b + c p = . Chứng minh rằng: 2 BAC BAC a. 2 2 2 2A . D . c cos
= c + AD − BD . b. 2 2 2 2A . D . b cos
= b + AD − CD . 2 2
2 p( p − a)
2 bcp ( p − a) c. AD = . d. AD = ( + + ) b c cos BAC b c 2
Bài 86. Cho tam giác ABC có AB = 2, BAC = 60 ,
° ACB = 45 .° Kẻ các đường cao AH và BK của tam giác ABC.
1. Tính AK , BK , CK , BC, AH .
2. Tính tỉ số lượng giác của góc 15° và góc 75 . ° 25 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp ÔN TẬP CHƯƠNG I
1. Hệ thức lượng trong tam giác:
Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. A 2 2 2
AB + AC = BC 2
AB = BC.BH c b 2
AC = BC.CH 1 1 1  2 = 2 + 2 B H a C AH AB AC
AB = BC.sin C = BC.cos B AB = A .
C tanC = A . C cot B
2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn: 0 < sinα <1;0 < cosα <1. Ta có: sinα cosα 2 2 tanα = α + α cotα = sin cos =1 cosα sinα tanα.cotα =1 2 1 1 1+ tan α = 2 1+ cot α = 2 cos α 2 sin α
Bảng giá trị lượng giác các đặc biệt α 00 300 450 600 900 π π π π 0 6 4 3 2 TSLG sinα 1 2 3 0 2 2 2 1 cosα 3 2 1 1 2 2 2 0 tanα 3 3 0 3 1 | cotα 3 3 | 1 3 0
3. Các công thức tính diện tích: a) Tam giác: 1 1 1 1 1 1 S = . a h = . b h = . c h
S = bcsin A = c .
a sin B = absinC 2 a 2 b 2 c 2 2 2 a + b + c abc
S = pr ; p = ; S =
S = p( p − a)( p − b)( p − c) 2 4R 2 a 3 3 1 1 ∆ a S .A . B AC .BC.
ABC đều, cạnh a: S = , đường cao AH =
∆ABC vuông tại A: = = AH 4 2 2 2 b) Hình vuông: S = a2
(a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = a.b
(a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành:
S = đáy × cao = A . B A . D sinBAD 1 e) Hình thoi: S = A .
B AD.sinBAD = AC.BD 2 1
f) Hình thang: S = (a + b).h 2
(a, b: hai đáy, h: chiều cao) 1
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
S = AC.BD 2 26 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp BÀI TẬP
Bài 1. Cho một tam giác có một góc bằng 0
45 . Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần
20cm và 21cm . Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp)
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5c , m BC = 7, 5c . m
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại .
A Tính các góc B,C và đường cao AH .
b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?
Bài 3. Hai chiếc thuyển A và B ở vị trí được minh họa như trong hình. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)
Bài 4. Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực, minh họa trong hình.
Bài 5. Tính chiều cao của cây trong hình dưới 27 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Bài 6. Cho tam ABC vuông tại A, đường cao AH. Trong các đoạn thẳng AB, AC, BC, AH, HB, HC, hãy tính
độ dài các đoạn thẳng còn lại nếu biết:
a) AB = 6cm, AC = 9cm ; b) AB = 15c , m HB = 9cm .
Bài 7. Cho tam giác ABC có đường cao CH, BC = 12 cm, 0 B = 60 và 0 C = 40 . Tính:
a) Độ dài các đoạn thẳng CH và AC;
b) Diện tích tam giác ABC.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và AH = 12 cm, BC = 25 cm.
a) Tìm độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AB và AC.
b) Vẽ trung tuyến AM. Tìm số đo của AMH .
c) Tính diện tích tam giác AHM.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, AB = 3cm, AC = 4cm .
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH.
b) Tính số đo B và C .
c) Đường phân giác trong A cắt cạnh BC tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng BE, CE và AE.
Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Từ H kẻ HF vuông góc với AB (F thuộc AB) và kẻ
HE vuông góc vói AC (E thuộc AC).
a) Chứng minh AFE = ACB .
b) Đường thẳng EF cắt BC tại M. Chứng minh ME.MF = MBMC.
Bài 11. Hình thang MNEF vuông tại M, F có EF là đáy lớn. Hai đường chéo ME và NF vuông góc với nhau tại O.
a) Cho biết MN = 9cm và MF = 12cm . Hãy:
i) Giải tam giác MNF;
ii) Tính độ dài các đoạn thẳng MO, FO ;
iii) Kẻ NH vuông góc với EF tại H. Tính diện tích tam giác FNE. Từ đó tính diện tích tam giác FOH. b) Chứng minh 2
MF = MN.FE.
Bài 12. Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn: a) sin 24 ,
° cos35 ,°sin 54 ,°cos 70 ,°sin 78 ;° b) cot 24 , ° tan l6 ,°cot 57 6 ° 7’,cot 30 ,° tan80 .°
Bài 13. Không dùng máy tính, sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần: a) sin 40 ,
° cos 28 ,°sin 65 ,°cos88 ,°cos 20 ;° b) tan 32 4 ° 8’,cot 28 3 ° 6’, tan 56 3 ° 2’,cot 67 1 ° 8’. Bài 14. Cho 0
0 < x < 90 . Chứng minh các đẳng thức sau: a) 4 4 2 2
sin x + cos x = 1− 2sin x cos x ; b) 6 6 2 2
sin x + cos x = 1− 3sin x cos x . 1− cos x sin sin x 1+ cos x 2 c) x = d) + = sin x 1+ cos x 1+ cos x sin x sin x
Bài 15. Cho tam giác DEF biết DE = 6 cm, DF = 8 cm và EF = 10 cm.
a) Chứng minh DEF là tam giác vuông.
b) Vẽ đường cao DK. Hãy tính DK, FK.
c) Giải tam giác vuông EDK.
d) Vẽ phân giác trong EM của DEF. Tính các độ dài các đoạn thẳng MD, MF, ME.
e) Tính sinE trong các tam giác vuông DFK và DEF.
f) Từ đó suy ra ED.DF = DK.EF.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. 28 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
a) Biết B = 60° và BC = 6 cm.
i) Tính độ dài các cạnh AB, AC.
ii) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh: AB AC = BD CD 1 1 1
b) Đường thẳng song với phân giác CBD kẻ từ A cắt CD tại H. Chứng minh: = + 2 2 2 AH AC AD
Bài 17. Cho hình vuông ABCD và điểm E tùy ý trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE tại A cắt CD kéo
dài tại F. Kẻ trung tuyên AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại K.
a) Chứng minh AE = AF.
b) Chứng minh các tam giác AKF, CAF đồng dạng và AF2=KF.CF; 3
c) Cho AB = 4 cm, BE = BC. Tính diện tích tam giác AEF. 4
d) Khi E di động trên cạnh BC, tia AE cắt CD tại J. Chứng minh biểu thức
AE.AJ có giá trị không phụ thuộc vị trí của E. FJ Bài 18. 1
a) Tính sin sinα, tanα,cotα biêt cosα = . 5 2
b) Tính cosα, tanα,cotα biết sinα = . 3
c) Cho tanα = 2 . Tính sinα,cosα,cotα
d) Cho cotα = 3 . Tính sinα,cosα, tanα
e) Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 2
A = cos 20° + cos 40° + cos 50° + cos 70 . ° f) Rút gọn biểu thức: 6 6 2 2
B = sin a + cos a + 3sin . a cos a . 29 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Hãy chọn câu Sai
A. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và
hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
B. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình
chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
C. Trong một tam giác vuông, độ dài một cạnh góc vuông bằng tổng độ dài cạnh huyền với cạnh góc vuông còn lại.
D. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng
tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.
Câu 2: Hãy chọn câu đúng
A. Bình phương cạnh huyền bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
B. Cạnh góc vuông nào có hình chiếu trên cạnh huyền lớn hơn thì lớn hơn.
C. Cạnh góc vuông nào có hình chiếu trên cạnh huyền lớn hơn thì bé hơn.
D. Tỉ số hai cạnh góc vuông bằng tỉ số của cạnh huyền với đường cao ứng với cạnh huyền.
Câu 3: Cho tam giác MPQ vuông tại M. Khi đó
A. MP là cạnh kề của góc Q.
B. PQ và PM là hai cạnh góc vuông.
C. MP là cạnh đối của góc Q.
D. MQ là cạnh kề của góc P.
Câu 4: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng 5 32 A. x = B. x = 8 32 5 6 18 18 C. y = D. x = 5 5 x y
Câu 5: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng x A. x = 80 B. x = 80 10 C. x = 48 D. x = 48 6 8
Câu 6: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A. x = 5 B. x = 4 B D C. 2 x = 3 D. x = 3 2 1 2 C x A E
Câu 7: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng
A. x = 9, y = 14
B. x = 15, y = 13
C. x = 15, y = 9
D. x = 9, y = 15 16 12 x
Câu 8: Cho hình vẽ, biết AC = 3cm , BD là phân giác của B . y Hãy chọn câu Sai B
A. AB = 3cm
B. BC = 2 3cm AB 5 C. x = 1 D. x = 2 300 x A C D 30 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 9: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng A A. x = 32 B. x = 40 x C. x = 30 D. x = 64 18 32
Câu 10: Cho hình vẽ. Hãy chọn câu đúng B C H A A. x = 13 B. x = 14 C. x = 15 D. x = 12 x 7 1200 8 C B
Câu 11: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x = 5c ; m y = 4cm x y
B. x = 6c ; m y = 2 5cm
C. x = 2 5c ; m y = 5cm 1 cm
D. x = 5c ; m y = 2 5cm 4 cm
Câu 12: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng B
A. x = 15cm 7 cm
B. x = 2cm C. x x = 18cm 18 cm
D. x = 7cm A C x
Câu 13: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A
A. x = 4cm
B. x = 5cm
C. x = 6cm 16cm 14 cm
D. x = 7cm 60° B x C
Câu 14: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x = 7, 2c ; m y = 10cm 12 cm
B. x = 2,8c ; m y = 12,8cm
C. x = 8c ; m y = 12,8cm x y
D. x = 7, 2c ; m y = 12,8cm 20 cm
Câu 15: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x = 10c ; m y = 25cm
B. x = 20c ; m y = 15cm y x
C. x = 30c ; m y = 25cm D. 9 cm 16 cm x = 15c ; m y = 20cm 31 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899 Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp
Câu 16: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x ≈ 5c ; m y ≈ 9, 6cm 5cm
B. x ≈ 6c ;
m y ≈ 10, 6cm x 7cm
C. x ≈ 4c ; m y ≈ 8, 6cm
D. x ≈ 3c ; m y ≈ 7, 6cm y
Câu 17: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x = 3c ; m y = 4 5cm B. y x = 5c ; m y = 3 5cm 2 cm
C. x = 2c ; m y = 5cm 1 cm x
D. x = 4c ; m y = 2 5cm
Câu 18: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. a = 6cm
B. a = 7cm 4 cm
C. a = 8cm 2 cm
D. a = 9cm a
Câu 19: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng
A. x = 5cm
B. x = 6cm x
C. x = 13cm D. 4 cm 9 cm x = 36cm
Câu 20: Cho hình vẽ, hãy chọn câu đúng A
A. x = 49cm
B. x = 8cm 9 cm 11 cm
C. x = 9cm
D. x = 7cm 3 cm x B D C 32 Trọng tâm toán 9
I Love Math _0916620899