Đề Thi Tuyển Sinh 10 Toán Chuyên Tin Sở GD Quảng Nam 2025-2026 Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : TOÁN (Chuyên Tin)
(Đề có 1 trang)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (1,5 điểm). x 4 Cho biểu thức A = −
, với x  0 và x  4. Rút gọn biểu thức A và tìm x để x − 2 x x − 4 2 A = . 5
Câu 2 (1,0 điểm).
Tìm hai số nguyên tố p và q, biết rằng p + q và p + 4q đều là các số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm). a) Giải phương trình 2
x − 3x + 2 = (x −1) 4 − x. 2 2
x − x − y + y = 0
b) Giải hệ phương trình  . 2 2
2x − y + x + y − 3 = 0
Câu 4 (1,0 điểm).
Cho đường thẳng (d) : y = 2x + m ( m là tham số) và parabol 2
(P) : y = x . Tìm m để (d )
cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 x , 2 x sao cho 2 2 1 x + 2 x = 10.
Câu 5 (3,5 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai điểm
K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
a) Chứng minh AL.CB = AB.KL .
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L). Chứng minh AM = AN = AH.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ab
thức A = a + b + . a + b
--------------- HẾT ---------------
Họ và tên thí sinh: .................................................................. Số báo danh: ........................... Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM HDC CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Chuyên Tin)
(Bản hướng dẫn này gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm x 4 Cho biểu thức A = −
, với x  0 và x  4 . Rút gọn biểu thức A và tìm x để x − 2 x x − 4 1,5 2 A = . 5 x 4 x 4 A = − = −
(mỗi ý được 0,25đ) 0,5 Câu 1 x − 2 x x − 4
x( x − 2) ( x + 2)( x − 2) (1,5) 1 4 x + 2 − 4 1 = − = =
(mỗi ý được 0,25đ) 0,5
x − 2 ( x + 2)( x − 2)
( x + 2)( x − 2) x + 2 2 1 2 1 A =  =  x = 0,25 5 x + 2 5 2 1  x = . 0,25 4 Câu Nội dung Điểm
Tìm 2 số nguyên tố p và q, biết rằng p + q và p + 4q đều là các số chính phương. 1,0 2
 p + q = a  Theo đề ta có 2
 p + 4q = b , suy ra 2 2
b − a = 3q  (b − a)(b + a) = 3q 0,25  * a;b  N 
Từ q là số nguyên tố và a + b  2 nên ta có các trường hợp sau: b  − a =1 + TH 1: 
suy ra b = a +1 và 2a +1 = 3q , suy ra q lẻ. b  + a = 3q 0,25
Ta viết q = 2k +1 ( * k  N ) Câu 2 2 2
(1,0) Khi đó 2a = 3q −1 = 6k + 2 hay a = 3k +1 và p = a – q = 9k + 4k = k (9k + 4)
Do p nguyên tố nên k = 1 và p = 13, q = 3 . b  − a = 3 + TH 2: 
, suy ra b = a + 3 và q = 2a + 3 b  + a = q 0,25 Lại có 2 2
p = a − q = a − 2a – 3 = (a + )
1 (a – 3). Do p nguyên tố nên a = 4 và p = 5, q =11 . b  − a = q + TH 3: 
và b  a  1. b  + a = 3 0,25
Suy ra b = 2 và a = 1 khi đó q = 1 không phải số nguyên tố.
Kết luận: (p;q) = (5;11), (13;3).
Trình bày cách khác: Trang 2 2
 p + q = a  Theo đề ta có 2
 p + 4q = b .  * (0,25) a;b  N  Suy ra 2 2
b − a = 3q  (b − a)(b + a) = 3q .
Vì p, q là các số nguyên tố nên a  2, b  4 . Do đó ta có các trường hợp sau: b  − a =1 + TH 1: 
. Khi đó b = a +1 và 2a +1 = 3q . Suy ra q lẻ. b  + a = 3q (0,25)
Ta viết q = 2k +1 ( * k  N )
Khi đó 2a = 3q −1 = 6k + 2 hay a = 3k +1 và 2 2
p = a – q = 9k + 4k = k (9k + 4)
Do p nguyên tố nên k = 1. Suy ra p = 13, q = 3. b  − a = 3 + TH 2: 
. Khi đó b = a + 3 và q = 2a + 3 b  + a = q (0,25) Lại có 2 2
p = a − q = a − 2a – 3 = (a + ) 1 (a – 3).
Do p nguyên tố nên a = 4 . Suy ra p = 5, q = 11.
Vậy p = 13, q = 3 hoặc p = 5, q = 11. (0,25) Câu Nội dung Điểm a) Giải phương trình 2
x − 3x + 2 = (x −1) 4 − x. 1,0
Điều kiện: x  4 . 2
x − 3x + 2 = (x −1) 4 − x  (x −1)(x − 2 − 4 − x ) = 0 0,25 x =1   0,25
x − 2 − 4 − x = 0 x  2 
x − 2 − 4 − x = 0  
 x = 3 (thỏa điều kiện 2 ≤ x ≤ 4). 0,25 2
4 − x = (x − 2)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 1, x = 3. 0,25 Câu 3 2 2
x − x − y + y = 0
(2,0) b) Giải hệ phương trình  . 1,0 2 2
2x − y + x + y − 3 = 0 2 2
x − x − y + y = 0  (x − y)(x + y −1) = 0  x = y hoặc x + y −1 = 0 0,25
+ Với x = y thay vào pt thứ hai ta được: 2
x + 2x − 3 = 0  x = 1 hoặc x = −3.
Suy ra được: (x; y) = (1;1) hoặc (x; y) = ( 3 − ; 3 − ) 0,5
+ Với x + y −1 = 0  y = 1− x thay vào pt thứ hai ta được: 2
x + 2x − 3 = 0  x = 1 hoặc x = −3. 0,25
Suy ra được: (x; y) = (1;0) hoặc (x; y) = ( 3 − ;4)
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: (1;1),( 3 − ; 3 − ),(1;0),( 3 − ;4).
* Lưu ý: Học sinh giải đúng một trong 2 trường hợp: với x = y , với x + y −1 = 0 cho 0,5đ Trang 3 Câu Nội dung Điểm
Cho đường thẳng (d ) : y = 2x + m ( m là tham số) và parabol 2
(P) : y = x . Tìm m để (d ) 1,0
cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 x , 2 x sao cho 2 2 1 x + 2 x = 10.
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) : 2
x − 2x − m = 0 (1) 0,25 +  ' =1+ m 0,25
Câu 4 + (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi  '  0 hay m  −1. 0,25 (1,0) + 1 x , 2
x là hai hoành độ của hai giao điểm (d) và (P) nên 1 x , 2
x là 2 nghiệm của pt (1). x + x = 2 Theo định lý Viet: 1 2 
(thí sinh không viết định lý này mà thể hiện ở dòng dưới  1 x . 2 x = −m 0,25 đúng cũng được). 2 2 2 1 x + 2 x = 10  ( 1 x + 2 x ) − 2 1 x 2
x = 10  4 + 2m = 10  m = 3 (thỏa m  −1).
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Lưu ý : Nếu thí sinh không lập ∆’ riêng mà ghi chung ở phần lập luận 2 nghiệm phân
biệt thì vẫn được 0,5đ. Câu Nội dung Điểm
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) , D là điểm chính giữa trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O) , H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC. Hai
điểm K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. A O L N E 0,5 K M __ B H C / Câu 5 (3,5) D
Hình vẽ phục câu a: 0,25 đ
Hình vẽ phục cả hai câu b, c: 0,25 đ a) Chứng minh AL.CB = AB.KL 1,0
- Xét hai tam giác AKL và ACB, có: 0,25 + A chung ; + 2 AK AL AK.AB = AH = AL.AC  = . 0,25 AC AB
Suy ra hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. 0,25 AL KL Suy ra =  AL.CB = AB.KL . 0,25 AB CB
Lưu ý: HS chứng minh được ∆AKL ~ ∆ACB theo cách khác vẫn được 0,75đ.
b) Lấy điểm E trên đoạn thẳng AD sao cho DB = DE. Chứng minh E là tâm đường tròn 1,0 nội tiếp tam giác ABC. Trang 4
+ AE là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC (*). 0,25
+ Tam giác DBE cân tại D nên: BED = EBD (1).
BED = BAD + ABE = BCD + ABE = DBC + ABE (2); EBD = DBC + EBC (3) 0,5
Từ (1), (2) và (3) suy ra ABE = EBC hay BE là phân giác trong của góc B của tam giác ABC (**). 0,25
Từ (*) và (**) suy ra E là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
c) Đường thẳng KL cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N (K nằm giữa M, L). 1,0 Chứng minh AM = AN = AH.
+ Hai tam giác AKL và ACB đồng dạng. 1 1
Suy ALK = ABC  (sdAM+ sd NC) = sdAC 0,25 2 2 1  ( ) 1
sdAM + sd NC = (sdAN+ sd NC)  sdAM = sdAN  AM = AN (4). 0,25 2 2
+ Chứng minh được hai tam giác ALN và ANC đồng dạng. 0,25 AL AN Suy ra 2 =  AN = AL.AC . Mà 2 AL.AC = AH  AN = AH (5). AN AC 0,25
Từ (5) và (6) suy ra AM = AN = AH. Câu Nội dung Điểm
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu ab 1,0
thức A = a + b + . a + b a,b  0 a,b  0   Ta có:    1 1
 a + b  ab +  1  a b 0,25 1 1 x, y  0 1 1 1 Đặt = x,
= y ; khi đó ta có  và A = + + . a b x + y 1 2 2 2 2 x y x + y Câu 6 2 2 2 2 2 2 2 2 (1,0) x + y 1
3(x + y ) x + y 1 3.2xy x + y 1 A = + = + +  + 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x + y 4x y 4x y x + y 2 2 2 2 2 2 4x y 4x y x + y 0,25 3 1 5  A  + = . 2xy xy 2xy 2 2 2  x + y   x + y   1  1
x + y  2 xy 
 xy  2xy  2  2 =        2   2   2  2 x = y 1 0,5
Suy ra A  10 . Dấu bằng xảy ra khi 
 x = y = hay a = b = 4 . x + y =1 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a = b = 4 . Cách khác: Câu Nội dung Điểm
Cho hai số thực dương a và b thỏa mãn a + b  ab . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu Câu 6 ab 1,0
thức A = a + b + . (1,0) a + b Ta có: 2
a b  a + b  ab  ab  4 . (0,25) Trang 5  a = b
Dấu đẳng thức xảy ra    a = b = 4 .  ab = 4 ab
3(a + b) a + b ab 3 ab 5 ab
A = a + b + = + +  + ab =  10 . a + b 4 4 a + b 2 2 (0,5) Suy ra: A  10 . a = b = 4 
Đẳng thức xảy ra khi a + b
ab  a = b = 4 . =  (0,25)  4 a + b
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi a = b = 4 .
--------------- HẾT --------------- * Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm
từng phần như hướng dẫn quy định. Trang 6